Chapter 14 Integral Transform Method  kernel Laplace transform is one of the integral transform 本章討論的 integral transform: Fourier transform

Chapter 14 可看成是 Chapter 7 和 Chapter 11 的綜合 Fourier Transform: (1) 可看成將 Laplace transform 的 s 換成 j 並且將 換成 (2) 或者可看成 Fourier series 當 p 為無限大的情形 叮嚀： Chapter 14 的公式定義眾多，且非常相近，要注意彼此之間 的差異以及適用情形，以免混淆

Section 14.3 Fourier Integral 14.3.1 綱要 (1) Fourier integral: (和 Fourier series 的定義比較)

(2) complex form 或 exponential form of Fourier integral

(3) Fourier cosine integral 或 cosine integral 適用情形： (1) even 或 (2) interval: [0, ) (4) Fourier sine integral 或 sine integral 適用情形： (1) odd 或 (2) interval: [0, ) (5) Others 名詞：absolutely integrable (page 671) partial integral (page 683) 特殊公式：

14.3.2 From Fourier Series to Fourier Integral 複習：Section 11-2 的 Fourier series:

令 When p ,  0 (即 週期 )

When p ,  0 (積分的定理) 0  2 3 4

14.3.3 Fourier Integral Fourier Integral: Fourier integral 存在的 sufficient condition: converges 若這個條件滿足，f(x) 為 absolutely integrable

嚴格來說，當 f1(x) 和 f(x) 未必相等 但一般還是寫成

Theorem 14.3.1 Condition for convergence When (1) f(x) 為 piecewise continuous (2) f (x) 為 piecewise continuous (3) f(x) 為 absolutely integrable The Fourier integral of f(x) (即上一頁的 f1(x)) converges to f(x) at a point of continuity. At the point of discontinuity, f1(x) converges to

Example 1 (text page 531) Find the Fourier integral representation of f(x)

Example 1 的解的另一種表示法 (別忘了複習三角函數的公式, pages 611 and 612)

14.3.4 Fourier Transform 意外的提供了一些方程式積分的 算法 由 Example 1 When x = 1, since f(x) = 1

補充： sinc function 的定義： 常用在 sampling theory, filter design, 及通訊上

14.3.5 Fourier Cosine and Sine Integrals (A) Fourier cosine integral 或 cosine integral 注意：有三個地方和 Fourier integral 不同 (1) (2) (3) 類比於 cosine series 適用情形: (1) f(x) is even, f(x) = f(−x) (2) 只知道 f(x) 當 x > 0 的時候的值 (類似於Section 11.3 的 half-range expansion, 而且假設 f(x) = f(−x) )

(B) Fourier sine integral 或 sine integral 類比於 sine series 適用情形: (1) f(x) is odd, f(x) = −f(−x) (2) 只知道 f(x) 當 x > 0 的時候的值 (類比於Section 11.3 的 half-range expansion, 而且假設 f(x) = −f(−x) )

Example 3 (text page 533) Represent (a) by a cosine integral (b) by a sine integral Solution: (a) Suppose that (其實，有一個取巧的快速算法，用 Laplace transform)

cosine integral: (b)

(b) (a) Fig. 14.3.4

14.3.6 Partial Integral partial integral for Fourier integral partial integral for cosine integral partial integral for sine integral (用 b 取代 )

For Example 3 (a) F5(x) (b) F20(x) (b = 20) (b = 5) Fig. 14.3.5

14.3.7 Complex Form complex form or exponential form of Fourier integral remember:

Proof: 由講義 page 671 Fourier integral 的定義 注意： 對  而言是 even function

From (因為 對  而言是 odd function)

14.3.8 Section 14.3 需要注意的地方 (1) 公式積分的外面，要乘 (Fourier integral) (Complex form of Fourier integral) 或 或 (cosine integral, sine integral) (2) 一些積分的計算會常常用到 算法： 算法：假設解為 或者用 Laplace transform 的公式, s = 1

Section 14.4 Fourier Transforms 14.4.1 綱要 Fourier transform，其實就是 complex form of Fourier integral 公式： 代表 Fourier transform 本節著重於 (1) 定義 (2) 性質 學習方式：多和 Laplace transform 比較 (3) Solving the boundary value problem (pages 703-713) 有一點複雜，且常考，要勤於練習

(A) 六大定義 (1) Fourier transform (2) inverse Fourier transform (3) Fourier sine transform (4) inverse Fourier sine transform (5) Fourier cosine transform (6) inverse Fourier cosine transform 注意：除了 ejx 變成 cos(x) 以外 還有三個地方和 Fourier transform 不同

(B) 微分性質 (7) for Fourier transform (8) (9) for Fourier sine transform 不同 (10) (11) for Fourier cosine transform 不同 (12)

(C) Problems with boundary conditions (多練習) (13) 可考慮用 Fourier transform 的情形 (14) 可考慮用 Fourier sine transform 的情形 when x = 0 (15) 可考慮用 Fourier cosine transform 的情形 另外，要熟悉 page 704 的計算流程 (D) 名詞 transform pair (page 693) heat equation (page 705)

14.4.2 Transform Pair Transform pair 的定義： A B 若 甲 乙 乙 甲 則 A 和 B 形成一個 transform pair 甲 和 乙

14.4.3 Fourier Transform Fourier transform pair 和之前 complex form of Fourier integral 相比較 只不過把 C() 換成 F() 為何要取兩個名字??? Fourier transform 存在的條件 (1) (absolutely integrable) (2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

 Fourier transform 和 Laplace transform 之間的關係： 把 s 換成 −j Laplace:

14.4.4 Fourier Sine Transform and Fourier Cosine Transform Fourier sine transform pair Fourier cosine transform pair Fourier sine / cosine transform 存在的條件 (1) (absolutely integrable) (2) f(x) and f (x) 為 piecewise continuous

Fourier sine / cosine transform 的意義： (1)當 f(x) 為 even Fourier transform Fourier cosine transform 等於 0 for Fourier cosine transform

(2) Inverse Fourier transform inverse Fourier cosine transform If f(x) is even (由前頁) 由於對 Fourier cosine transform 而言 (even function ) 等於 0

Fourier cosine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 even 的情形。當 f(x) 為 even， Fourier sine transform 等同於 Fourier transform 當 input f(x) 為 odd 的情形。當 f(x) 為 odd，  然而，若 f(x) 只有在 x  [0, ) 之間有定義，也可以用 Fourier cosine / sine transform (類似於Section 11.3 的 half-range expansion)

14.4.5 微分性質 (1) Fourier transform 的微分性質 14.4.5 微分性質 (1) Fourier transform 的微分性質 微分性質做了一些假設： f(x) = 0 when x   and x   以此類推 比較：對 Laplace transform 對 Fourier transform s  −j, without initial conditions

(2) Fourier sine transform 的微分性質 (3) Fourier cosine transform 的微分性質 注意： (1) Fourier sine, cosine transforms 互換 (2)  正負號不同 (3) Fourier cosine transform 要考慮 initial condition

14.4.6 Solving the Boundary Value Problem (BVP) ※ 概念複雜，要特別加強練習 (Condition 1) interval 為  < v <  時: 用 Fourier transform (Condition 2) interval 為 0 < v < ， 有 “u(v, …..) = 0 or a constant when v = 0” 的 boundary condition 時: 用 Fourier sine transform (Condition 3) interval 為 0 < v < ， 有 “ or a constant when v = 0” 的 boundary condition 時: 用 Fourier cosine transform

使用 Fourier transform, Fourier cosine transform, Fourier sine transform 來解 partial differential equation (PDE) 的 BVP 或IVP 的解法流程 (Step 1) 以 page 703 的規則，來決定要針對 哪一個 independent variable ，做什麼 transform (Fourier, Fourier cosine, 或Fourier sine transform) (Step 2) 對 PDE 做 Step 1 所決定的 transform, 則原本的 PDE 變成針對另外一個 independent variable 的 ordinary differential equation (ODE) (Step 3) 將 Step 2 所得出的 ODE 的解算出來 (Step 4) Step 3 所得出來的解會有一些 constants，可以對 initial conditions (或 boundary conditions) 做 transform 將 constants 解出 (※ 和 Step 1 所做的 transform 一樣，只是 transform 的對象變成是 initial 或 boundary conditions，見 pages 705, 708 的例子) (Step 5) 最後，別忘了做 inverse transform (畫龍點睛）

Example 1 (text page 538) heat equation: subject to where Step 1 決定針對 x 做 Fourier transform Step 2 原本對 x, t 兩個變數做偏微分 經過 Fourier transform 之後， 只剩下對 t 做偏微分

對於 t 而言，是 1st order ODE Step 3 這邊的 c 值，對 t 而言是 constant ， 但是可能會 dependent on  (特別注意) Step 4 根據 u(x, 0) = f(x) 將 c 解出 和 Step 1 一樣，也是針對 x 做 Fourier transform 只是對象改成 initial condition 因為

比較係數 解出 Step 5 未完待續，別忘了最後要做 inverse Fourier transform 不易化簡，課本僅依據 對  而言是 even function 將 u(x, t) 化簡為

Example 3 Laplace’s equation (text page 540) Step 1 決定針對 y 做 Fourier cosine transform Step 2 from 對於 x 的 2nd order ODE

Step 3 注意：雖然也可將解表示成 但是表示成 較容易處理 boundary value condition

Step 4 由 來解 c1, c2 和 Step 1 一樣，也是針對 y 做 Fourier cosine transform 只是對象改成 boundary conditions (1) (2) (可以用Laplace transform 的「取巧法」) 分別代入 (1) (2)

Step 5 inverse cosine transform (算到這裡即可，難以繼續化簡)

14.4.7 Section 14.4 需要注意的地方 (1) 微分公式當中，Fourier cosine transform 和 Fourier sine transform 會有互換的情形。(See pages 701, 702) (2) 公式會有很多小地方會背錯 (特別注意綱要的公式中紅色的地方) (3) 在解 boundary value problem 時，要了解 何時用 Fourier transform， 何時用Fourier cosine transform, 何時用 Fourier sine transform (see page 703) (4) 解 boundary value problem 流程雖複雜，但只要記住， 方法的精神，在於： 運用 transform， 將原本針對兩個以上 independent variables 做微分的 PDE， 變成只有針對一個 independent variable 做微分的 ODE

(5) 在解 partial differential equation 時，往往只針對一個 independent variable 做 Fourier transform, 另一個 independent variable 不受影響，如 Examples 1 and 2, pages 705 and 708 的例子 計算過程中，自己要清楚是對哪一個 independent variable 做Fourier transform ※ 本人習慣用下標做記號 (建議同學們使用) (6) Step 4 和 Step 1 必需是針對同一個 independent variable 來做同一種 transform，只是處理的對象改成了 initial (or boundary) conditions (see pages 706, 710) (7) 注意 page 709, 有時我們會用 來取代 ，以方便計算

附錄八：其他書籍常見的 Fourier Transform 的定義 或者 或者 考試時還是用課本上的定義 (見 page 694)

期末考 (1) 由於內容眾多，各位對於所學的東西，一定要有系統化的整理與比較。 (2) 公式、定理、名詞、解法甚多，若要背公式就早一點背公式 (3) 保持最佳狀態，腦筋多轉彎 祝同學們期末考順利！

Exercise for Practice Section 14-3 3, 4, 7, 12, 15, 16, 17, 19, 20 Section 14-4 1, 2, 3, 9, 12, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 27 Review 14 2, 7, 8, 11, 15, 16