与三角形有关的内角

三角形的内角 三角形两边的夹角叫做三角形的内角

三角形的三个内角和是多少? 180° 实践操作 你有什么办法可以验证呢? 把三个角拼在一起试试看？ 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?

E D C 三角形的内角和等于1800. A B 证法一 延长BC到D， 在△ABC的外部，以CA为一边， CE为另一边作∠1=∠A， 于是CE∥BA (内错角相等，两直线平行). ∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等). A E ∵∠1+∠2+∠ACB=180° 1 ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 2 B C D

三角形的内角和等于1800. 证法二 延长BC到D， 过C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) ∵∠1+∠2+∠ACB=180° A E ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 1 2 B C D

三角形的内角和等于1800. 证法三 过A作EF∥BC， ∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠1 E A F 1 ∵∠2+∠1+∠BAC=180° B C ∴∠B+∠C+∠BAC=180°

三角形的内角和等于1800. 证法四 过A作AE∥BC， ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) E A ∴∠B+∠C+∠BAC=180° B C

思路总结 为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法. 三角形的内角和等于1800. 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。 思路总结 为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.

（2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4 则∠A = ∠ B= ∠ C= . 102 ° 应用新知 （1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 ° 则∠ C= . （2）在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4 则∠A = ∠ B= ∠ C= . 102 ° 40 ° 60 ° 80 ° 1 （3）一个三角形中最多有 个直角？为什么？ （4）一个三角形中最多有 个钝角？为什么？ （5）一个三角形中至少有 个锐角？为什么？ （6）任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 . 1 A 2 60°

在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定理，得, ∠A +∠B+ ∠C=180° 即 ∠A +∠B+ 90°=180°， 所以 例题讲解1 在直角三角形ABC中,∠C＝90°，由三角形内角和定理，得, ∠A +∠B+ ∠C=180° 即 ∠A +∠B+ 90°=180°， 所以 ∠A +∠B= 90°. A C B 也就是说， 直角三角形的两个锐角互余. 10

由三角形内角和定理可得： 有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.

已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A , BD是AC边上的高，求∠DBC的度数. 例题 2 解：设∠A＝x0，则∠ABC＝∠C＝2x0 ∴x＋2x＋2x＝180 （三角形内角和定理） 解得x＝36 ∴∠C＝2×360＝720 在△BDC中，∵∠BDC＝900 (三角形高的定义） ? C B ∴∠DBC＝1800－900－720（三角形内角和定理） ∴∠DBC＝180

如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。求下面各题. 例题 3 50° 80° （1）∠DAC＝_____ ∠DAB＝______ ∠EBC＝_______ ∠CAB ＝ ______ 40° 30 ° 北 (2)从C岛看A 、B两岛的视角∠C是多少? D B C E 北 A

解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N 北 例:如图,C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。 北 D E C N M ∟ 2 1 40 ° 解：过点C画MN⊥AD分别交AD、BE于点M、N 50° B A 在△AMC中 ∠AMC=90°, ∠MAC=50° ∴∠1=180 °-90°-50° =40° ∵ AD∥BE ∴ ∠AMC+ ∠BNC =180 ° ∴ ∠BNC =90° 同理得∠2 =50° ∴ ∠ACB =180 ° -∠1 -∠2 =180 °-40°-50° =90° 例题讲解3

∴ CF∥ BE ∴∠2＝∠CBE ＝40 ° ∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 ° D C E 北 A 你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？ 40° 2 1 50° B F 解： 过点C画CF∥AD ∴ ∠1＝∠DAC＝50 °, ∵ CF∥AD, 又AD ∥BE ∴ CF∥ BE ∴∠2＝∠CBE ＝40 ° ∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 ° 例题讲解3

1.如图,从A处观测C处时仰角∠CAD＝30°,从B处观测C处时仰角∠CBD＝45°.从C处观测A、B两处时视角∠ACB是多少? 解：在△ACD中 ∠CAD ＝30 ° ∠D ＝90 ° ∴ ∠ACD =180 ° -30 ° -90 °=6 0 ° 在△BCD中 ∠CBD = 45 ° ∠D ＝90 ° ∴ ∠BCD = 180 °- 90°-45 °=45 ° ∴ ∠ACB = ∠ACD - ∠BCD = 6 0 °- 45 °= 15 ° 巩固练习

(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去 巩固练习 2.如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ( ) C (A)带①去　　　　(B)带②去　　　　　(C)带③去　　　　(D)带①和②去

B B 巩固练习 3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是( ) A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 4. 一个三角形至少有（ ） A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个钝角 D、一个直角

5. 如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC, ∠A＝70°,∠ADE＝50°, 求∠BDC的度数. ∴∠B=∠ADE＝50° 解: ∵DE//BC A B C D E ∵∠A＝70° ∴∠ACB=180 °-∠A-∠B =180°-70°-50° =60° ∵ CD平分∠ACB 巩固练习

拓展与思考1 甲楼高16米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午12点,太阳光线与水平面夹角为450,如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应是多少？ 解:由题意知 A 16米 ？ 甲 乙 450 ∴BC=AB=16 答:两楼的距离是16米. B 450 C 16米

拓展与思考2 2、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ= ∠B= ∠ C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？ 解:设∠A=x°, 那么∠B=2x°,∠C=3x° 根据题意得: 解得 ∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90° 所以△ＡＢＣ是直角三角形

小结 1、三角形的内角和：三角形三个内角之和为180° 2、由三角形内角和等于180°，可得出 (1)直角三角形两锐角互余； (2)一个三角形最多有一个直角或钝角； (3)任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角； (4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°

实践操场： 如图：C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向， C岛在B岛的北偏西400方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 北 E C 400 1 2 北 D 800 www.czsx.com.cn B 500 F A 东