第六講 函數極值之求法與均值定理 (Extrema & The Mean Value Theorem) 9

目錄 6.0：綱要 6.1：函數的極值 6.2：均值定理 6.3：單調函數及相對極值判別法 6.4：極值的應用問題 6.5：動動腦想一想

綱要 本講將介紹函數極值之求法（包括絕對極值與相對極值）及其應用與均值定理。

函數的極值 (Extrema) 找出『最佳』方法去完成某工作有關 的問題，稱為最適化問題(Optimization) ，最適化問題即為求函數的最大值或最小 值並判斷此值發生於何處

函數的極值 定義6.1： 設函數 f 定義在區間 I 中，且 (1)若對 I 中的所有χ恆有 ，則稱 (Extrema) 定義6.1： 設函數 f 定義在區間 I 中，且 (1)若對 I 中的所有χ恆有 ，則稱 f 在 C 處有絕對極大值或簡稱為最大值 (absolute maximum) (2)若對 I 中的所有χ恆有 ，則稱 f 在 C 處有絕對極小值或簡稱為最小值 (absolute minimum)

函數的極值 定義6.2： 設函數 f 定義在區間 J 中，且 (1)若存在包含C 之開區間I，使得 (Extrema) 定義6.2： 設函數 f 定義在區間 J 中，且 (1)若存在包含C 之開區間I，使得 對I 中的所有χ皆成立，則稱 f 在C 處有 相對極大值或簡稱為極大值 (relative maximum) (2)若存在包含C 之開區間I，使得 相對極小值或簡稱為極小值 (relative minimum)

函數的極值 以下為絕對極值與相對極值發生之處 f 在[c1,c7]中 在c6處有絕對值大值；在c2處有絕對極小值 (Extrema) 以下為絕對極值與相對極值發生之處 f 在[c1,c7]中 在c6處有絕對值大值；在c2處有絕對極小值 在c3,c6處有相對極大值；在c2,c4處有相對值小值

函數的極值 定理6.1：極值存在定理 若函數 f 在閉區間[a.b]連續，則 f 在[a,b]上有絕對極大值亦有絕對極小值 證明：略 (Extrema) 定理6.1：極值存在定理 若函數 f 在閉區間[a.b]連續，則 f 在[a,b]上有絕對極大值亦有絕對極小值 證明：略 註：此定理中之連續條件不可少且區間必須是閉 區間才一定會有絕對極值，否則未必有絕對 極值

函數的極值 (Extrema) 以下為函數 f 在 連續之情形

函數的極值 (Extrema) 以下為 f 在[a,b]連續之情形

函數的極值 定理6.2： 若函數 f 在 C 處有相對極值，則 或 不存在。其逆不真 證明： (Extrema) 定理6.2： 若函數 f 在 C 處有相對極值，則 或 不存在。其逆不真 證明： 若函數 f 在C處有相對極值，則 可能存在亦可能不 存在，如f’ (c) 不存在，則毋須再證 若 存在且 (1) 則 (2) 則

函數的極值 表 f 之函數值在C 處附近隨χ 值增加而增加，則 非相對極值 (Extrema) 表 f 之函數值在C 處附近隨χ 值增加而增加，則 非相對極值 同理，若 亦可証得 f 之函數值在C處附近隨χ值減少而減少， 亦非相對極值。 綜合上述討論，f 在C 處有相對極值 則 不存在或

函數的極值 定義6.3 設 若 或 不存在，則稱C為 f 之臨界點(critical point) (Extrema) 定義6.3 設 若 或 不存在，則稱C為 f 之臨界點(critical point) 註：由定理6.2，若函數有相對極值，則相對極值必發生於臨界點，反之，在臨界點處未必有相對極值

函數的極值 (Extrema)

函數的極值 (Extrema) 在定理6.1中 f 在[a,b]連續，則有絕對極值，事實上 f 在[a,b]之絕對極值必發生於端點或臨界點(參考 6-10三個圖形可見) 故欲求 f 在[a,b]之絕對極值，步驟如下： (1)先求 f 之臨界點C (2)再求 (3)比較(2)中函數值最大者，即為絕對極大值；函數值最小者 ，即為絕對極小值。

函數的極值 註： C須在[a,b]內才考慮 f 在[a,b]內之臨界點C可能不止一個，亦可能不存在 (Extrema) 註： C須在[a,b]內才考慮 f 在[a,b]內之臨界點C可能不止一個，亦可能不存在 在定理6.1中，f 須在閉區間[a,b]連續，絕對極值才必然存在，然而當 f 在開區間(a,b)或半開區間[a,b) 、(a,b] 、 (-∞,b] 、[a, ∞)連續，則欲找 f 之絕對極值往往須由 f 之函數圖形中判斷其是否有絕對極值。若 f 在區間I (含開區間、半開區間或閉區間)連續，且在此區間I 中只有一個臨界點C而 則 為絕對極大值； 則 為絕對極小值

函數的極值 例1：求 在 之絕對極值 解： f 之臨界點 -1 , 2 均在 內 又 故 f 在 之絕對極大值為：7 絕對極小值為：-20 (Extrema) 例1：求 在 之絕對極值 解： f 之臨界點 -1 , 2 均在 內 又 故 f 在 之絕對極大值為：7 絕對極小值為：-20

函數的極值 (Extrema) 例2：求 分別在(1) (2) (3) 之絕對極值 解： f 之臨界點為

函數的極值 絕對極小值為： ∴ (1) f 在 之絕對極大值為： 絕對極小值為：0 (2) f 在 之絕對極大值為： (Extrema) ∴ (1) f 在 之絕對極大值為： 絕對極小值為：0 (2) f 在 之絕對極大值為： (3) f 在 之絕對極大值為： 絕對極小值為：

函數的極值 (Extrema) 例3：求 在(1,2)之絕對極值 解： 在區間(1,2)恆正 表 f 在(1,2)為遞增的，但因 例3：求 在(1,2)之絕對極值 解： 在區間(1,2)恆正 表 f 在(1,2)為遞增的，但因 故 f 在(1,2)無相對極大值亦無相對極小值

均值定理 均值定理為微積分裡最重要的結果之一，首先討論均值定理的特例，即為洛爾定理 定理6.3：洛爾定理 若函數 f 在[a,b]連續，在(a,b)可微分，且 ，則在(a,b)中至少存在一數C使得

均值定理 證明： 因 f 在[a,b]連續，由定理6.1(極值存在定理) ，f 在[a,b]有絕對極大值M與絕對極小值m (1)若M=m，則f在[a,b]為常數函數 設 (k為常數) 故 (2)若m<M，因 ，故m,M兩數中至少有一與 不等，故在(a,b)中至少存在一數C，使得 f(c) 為極值，又 f 在(a,b)可微，根據定理6.2得

均值定理 例4：試證方程式 在區間(-2,-1)中至多有一實根 證明：令 則 ∴ f 只有一臨界點 且 若 在(-2.-1)中至少有二實根 例4：試證方程式 在區間(-2,-1)中至多有一實根 證明：令 則 ∴ f 只有一臨界點 且 若 在(-2.-1)中至少有二實根 令此二根為χ1, χ2，則 由洛爾定理，在χ1, χ2間存在一數C 使得 與 f 只有一臨界點矛盾 故 在(-2,-1)中至多有一實根

均值定理 定理6.4：均值定理 若函數 f 在[a,b]連續，且在(a,b)可微分，則在(a,b)中至少存在一數C，使得

均值定理 證明：令 則 g 在[a,b]連續 且 又 根據洛爾定理 在(a,b)中至少有一數C，使得 故 即

均值定理 例5： 設 ，試求所有 C 值， 使滿足均值定理的結論 解： 令 故c1,c2均滿足

均值定理 例6：設 ，試證，均值定理之結論不成 立，並說明其原因 證明： 設存在一數 滿足 但

均值定理 與結論不合，乃因 f 在 可微分之條件不符 ( 不存在)

均值定理 例7：試利用均值定理 證明： 解： 令 則 ∵ f 在[64,66]連續且 f 在(64,66)可微分 根據均值定理，存在一數 令 則 ∵ f 在[64,66]連續且 f 在(64,66)可微分 根據均值定理，存在一數 使得

均值定理 由(1) 又 故由(2) 即

單調函數及相對極值判別法 定義6.4： 設函數 f 定義在某區間 I (1)對 I 中的所有χ1 ,χ2，若 恆有 則稱 f 在 I 為遞增的(increasing)而 I 稱為 f 的遞增區間 (increasing interval) (2)對 I 中的所有χ1 ,χ2，若 恆有 則稱 f 在 I 為遞減的(decreasing)而 I 稱為 f 的遞減區間 (decreasing interval) (3)無論 f 在I 為遞增或遞減，均稱 f 在I上為單調的 (monotone)

單調函數及相對極值判別法 例8： 在 (-∞,0]為遞減 在(0, ∞)為遞增 故 f 在(-∞,0]與(0, ∞)均為單調函數

單調函數及相對極值判別法 例9： 在(-∞, ∞)為單調函數

單調函數及相對極值判別法 定理6.5：單調性定理(Monotoncity Theorem) 設函數 f 在[a,b]連續，且在(a,b)可微分 (1)若 對於(a,b)中所有χ均成立，則 f 在[a,b]遞增 (2)若 對於(a,b)中所有χ均成立，則 f 在[a,b]遞減

單調函數及相對極值判別法 證明： (1) ：若對於(a,b)中所有χ皆有 令 且 則根據均值定理 其中 因 故 表 f 在[a,b]遞增 令 且 則根據均值定理 其中 因 故 表 f 在[a,b]遞增 (2) ：同(1)理可證得

單調函數及相對極值判別法 例10：求 之遞增區間和遞減區間 解： 故 f 之遞增區間為[-1,1] 例10：求 之遞增區間和遞減區間 解： 故 f 之遞增區間為[-1,1] 遞減區間為 (-∞,-1] 與 [1, ∞)

單調函數及相對極值判別法 定理6.6：一階導數判別法(First Derivative Test) 設 f 在含臨界點 C 之開區間(a,b)連續 (1)當 且 則 為 f 之相對極大值 (2)當 且 則 為 f 之相對極小值 (3)當 則 不為 f 之相對極值

單調函數及相對極值判別法 證明： (1) 表 f 在 遞增 表 f 在 遞減 (其中 ) ，故存在一含 c 之區間 I = (2)同(1)理可證得

單調函數及相對極值判別法 (3)若 且 表 f 在 與 均遞增 ∴ f 在 為單調遞增 故 非相對極值 同理，若 且 ∴ f 在 為單調遞減 (3)若 且 表 f 在 與 均遞增 ∴ f 在 為單調遞增 故 非相對極值 同理，若 且 ∴ f 在 為單調遞減 亦可得 非相對極值

單調函數及相對極值判別法

單調函數及相對極值判別法 例11：求 之相對極值 解： 且 為相對極大值 為相對極小值 -1 1 1 1

單調函數及相對極值判別法 例12：試證 無相對極值 證明： 故 f 無相對極值

單調函數及相對極值判別法 例13：三次函數 在 處有相對 極大值3，而在 處有相對極小值 0，求 解： 又

單調函數及相對極值判別法 由(3)得 代入(2)得 再將之代入(1)得 故

單調函數及相對極值判別法 例14：試證若 則 證明： 令 則 ( x ≠ 0 ) 或 表 f 在 遞增 且 即

極值的應用問題 求函數級值的理論可應用在一些實際問題上，其步驟如下： 根據問題考慮已知的事實及要求的未知量 儘可能畫出圖形，適當地標上名稱，用變數來表示未知量 寫下已知的事實及變數間的關係，這種關係常以一個方程式表示 決定要使那一變數為最大或最小，並將此變數表示為其它變數之函數 再以前面討論過之極值理論解之

極值的應用問題 以下為極值的應用問題 例15：欲將一長30吋、寬16吋之厚紙板的四個角截去大小相 等的正方形，再將其作成一開口盒子(如下圖) ，如何 作可使盒子體積最大？

極值的應用問題 解： 設將原厚紙板的四個角各截去邊長 吋之正方形 則可得一長、寬、高分別為 吋、 吋、 吋之長方盒（參見上頁之右圖） 且 設將原厚紙板的四個角各截去邊長 吋之正方形 則可得一長、寬、高分別為 吋、 吋、 吋之長方盒（參見上頁之右圖） 且 故此盒體積為

極值的應用問題 在 只有一臨界點 且 為最大值 將厚紙板四個角各截去邊長 吋之正方形，所作之開口長方盒體積最大

極值的應用問題 例16：一正圓柱內接於底半徑為6吋且高為10吋的正圓錐， 若柱軸與錐軸重合，求正圓柱的最大體積？

極值的應用問題 解： 設圓柱之底半徑 吋、高 吋 則圓柱體積 ∴正圓柱最大體積為 立方吋

極值的應用問題 例17：求在拋物線 上與點 最接近的點 解： ∵點 與拋物線 上任一點 之間的距離 使得 最小之 即為使 最小之

極值的應用問題 令 則 ∴ f 只有一臨界點 2 又 ∴ f 在 處有最小值 故拋物線 上最接近 之點為

極值的應用問題 例18：設柑橘園每公畝種24棵柑橘樹，成熟後每棵每年可收 成600個柑橘，若每公畝再多種一棵，則每棵每年減 少收成12個，今欲得到最多的柑橘，每公畝應種多少 棵？ 解： 設每公畝種 棵柑橘樹時 每棵可收成 個柑橘 則柑橘園一年可收成 個柑橘 ∴ f 只有一臨界點 13 又 為最大值 故每公畝種37棵時，可得最多之柑橘

極值的應用問題 例19：某酒廠以每瓶100元之售價出售散裝葡萄酒，若每天χ瓶的總生產成本(單位：元)為 且每天最多生產12000瓶，則每天必須製造並出售多少瓶葡萄酒可得到最大利潤？ 解： 設每天製造並出售χ瓶葡萄酒時 利潤函數 收益函數－成本函數 又 為最大值 故每天製造並出售10000瓶葡萄酒時，可得到最大利潤

動動腦想一想 1.求 分別在下列區間(1) (2) (3) 之絕對極值 解： ∵多項函數 f 為連續函數 又 ∴ f 之臨界點為1,3 且

動動腦想一想 ∴(1) f 在 之絕對極大值為：14 絕對極小值為： -22 (2) f 在 之絕對極大值為： -2 絕對極小值為： -6

動動腦想一想 2.求 在 之絕對極值 解： ∴ f 在 連續，即 f 為連續函數 故 f 在 亦連續 又 表 f 在 無臨界點

動動腦想一想 不存在，而 為 f 在 之臨界點 又 ∴ f 在 之絕對極大值為：2 絕對極小值為：

動動腦想一想 3.洛爾定理對函數 能否成立？ 解： 且 f 在 連續 但 不存在 即 f 在 可微之條件不成立 故在 內不存在一數 c 使得

動動腦想一想 4.試利用均值定理，証明 証明： 設 則 ∵ f 在 連續 ；且 f 在 可微 根據均值定理在 有一數 c 滿足 即 其中

動動腦想一想 5.試求 之值，使 在點3處有相對極大值 且 解： ∴ 代入(1) 又 f 在點 3 處有相對極大值

動動腦想一想 6.求在雙曲線 上與點 最接近之點 解： 點 與雙曲線 上任一點 之距離 因 故 令 則

動動腦想一想 ∵ f 在 連續且只有一臨界點1 又 為最小值 故在雙曲線 上與點 最接近之點為 與 兩點

動動腦想一想 7.有一工廠當其生產之產品單價為5元時，每月可賣出1000個，若產品單價每減少1分錢，則銷售量可增加10個，問單價定為多少元時可得最大收益又最大收益為多少？ 解： 設產品單價定為 元時，銷售量為 則收益函數為 且 欲求 之最大值

動動腦想一想 ∵ 在 連續且只有一臨界點200 又 為最大值 故當產品單價為3元時，可得最大收益9000元 R“

動動腦想一想 8.照相機廠商發現其產品每週以 P 元售出χ台且需求方程 式為 而χ之總成本為 元，試問 式為 而χ之總成本為 元，試問 其價格與產量各為多少時，可得到最大利潤 解： ∵收益函數 又總成本函數 ∴利潤函數 C(x) P(x) C(x)

動動腦想一想 因收益函數 得 欲求 在 之最大值 為最大值，然χ應為整數 故χ=37或38時可得最大利潤 故當以單價 元賣出37台相機 因收益函數 得 欲求 在 之最大值 為最大值，然χ應為整數 故χ=37或38時可得最大利潤 故當以單價 元賣出37台相機 以單價 元賣出38台相機，可得最大利潤 P(x) P’(x) P” ∴P

動動腦想一想 9.一窗戶的形狀為一矩形加一半圓形，若該窗戶的周 長為 P，求半圓的半徑為多大時可使窗戶面積最大 (圖形如下)

動動腦想一想 解： 設半圓半徑為χ且以直徑為矩形之長，而矩形之寬為 y， 因窗戶周長 （參見6-69之圖形） 故窗戶面積 又 因窗戶周長 （參見6-69之圖形） 故窗戶面積 又 故半徑為 時，可使窗戶面積最大

動動腦想一想 10.一不動產公司擁有180間套房，當月租300元時，可全部租出 去，若月租每增加10元時，則會有5間空出來，為得到最大 的總收入，月租應為多少？ 解： 就題意，當月租為 元時，可租出 間套房 故總收入 又 為最大值 故當每間套房月租330元租出165間時，可得最大的總收入