數學與文化:以數學小說閱讀為進路 洪萬生 台灣師範大學數學系退休教授 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】

算術 vs. 代數、解析幾何 與微積分的歷史回顧 (I)

算術 vs. 代數 雞兔同籠問題： 今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雞兔各幾何？ 答曰：雞二十三；兔一十二。

國中一年級學生學習符號代數 我每天都幾乎有一節數學，我每天都在看黑板，老師寫的，自己慢慢的看，算法怎麼算，所以每天幾乎都可以理解了幾題。 假如我有一個題目不懂，就去問○○○怎麼做？他做一遍給我看，我再把我寫的這一題寫的想法，告訴○○○，他糾正我的寫法，我也慢慢的懂了。 我對數學有困難的是，不能容忍x, y, z是個數字，並算出一個答案，這是自己面臨到的一個困難，無法突破。

康熙皇帝學習符號代數 谕王道化。朕自起身以来每日同阿哥等察阿尔热巴拉新法。最难明白他说比旧法易。看来比旧法愈难，错处亦甚多，鹘突处也不少。前者朕偶尔传与在京西洋人开数表之根，写得极明白。尔将此上谕抄出并此书发到京里，去着西洋人共同细察，将不通的文章一概删去，还有言者甲乘甲、乙，乘乙总无数目，即乘出来亦不知多少，看起来此人算法平平尔，太少二字即可笑也。特谕。

十三世紀李冶天元術列方程式 《測圓海鏡》（1248年）卷七第二題： 假令有圓城一所，不知周徑，或問丙出南門直行一百三十五步而立，甲出東門直行一十六步見之，問徑幾何？

數論 (number theory) 問題舉隅: 物不知數、韓信點兵、求一術、中國剩餘定理

高斯同餘理論(theory of congruence) 1801年《算學講話》 其中有一個部分專門處理整數的同餘（請注意：“≡” 這個同餘記號是他所發明的）。 這一短短篇幅的一節細分成有十一個小節，1、2、3 小節主要定義同餘數 (congruent numbers)、模數 (moduli)、留數 (residues) 與非留數 (non-residues)，並推演簡單的性質與定理。第4 小節專論最小的留數 (least residue)。第5 小節介紹幾個有關同餘數的命題，比如說吧，相對於一個合成的。

模數 (composite modulus)，有一些數同餘，則相對於這個合成數的因數而言，這些數必然也會同餘。第6、7、8 小節介紹同餘的運算法則： 相對於任意模數而言，如果A ≡ a, B ≡ b, C ≡ c 等等，則A＋B＋C etc. ≡ a+b+c etc.，而且A－B ≡ a－b。 還有，若A ≡ a，則kA ≡ ka；若A ≡ a, B ≡ b, C ≡ c，則ABC≡ abc；以及若A ≡ a，且k 為一正整數，則A k ≡ ak。 第9、10、11 小節則結合同餘式與整係數方程式的有理數解，進行初步的討論。 在第12 小節，高斯提出若干應用，主要有關可以被9、11 或其他數整除的判別法則。

數學與文化:以數學小說閱讀為進路 洪萬生 台灣師範大學數學系退休教授 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】

符號法則（symbolism) 洪萬生

笛卡兒的見證 1629年《思維的指導法則》： 數學是把握其它更重要科學的最簡單和必不可少的思維訓練和準備。當代一些天才人物試圖復興這種還不正規的「代數」科學。如果我們能把它從無數的數字和令人費解的圖形中提煉出來，那麼，它就會展現我們認為真正的數學所應該具有的條理性和簡單性。

韋達（F. Viete, 1540-1603）

韋達小傳 Poitiers 法律系畢業，返鄉擔任律師。 應召到巴黎擔任密使，取得樞密院職位。 擔任破解敵人情報密碼的分析員。（參考《碼書》） 曾因此被指控使用巫術。 研究數學事業餘嗜好！

符號法則 1591：《解析技術引論》（In artem analyticem Isagoge) 將新代數與古希臘的解析方法等同起來，進一步顯示這種新代數的條理性與簡單性。 韋達宣稱：有一種尋求數學真理的方法據說是由柏拉圖最早發現的。席翁 (Theon) 稱其為解析法。 按：席翁為《風暴佳人》（電影）女主角Hypatia的父親。 古代人僅提出兩種解析形式，zetetics 和poristics，席翁對解析的定義也與其完全相符。韋達加入了第三種解析形式，並稱之為 rhetics 或者exegetics。

三種解析！ Zetetics（問題分析）：要在某一待定項與若干已知項之間建立方程或比例式； Poristics（定理分析）：要用方程或比例式檢驗所述定理的真實性； Exegetics（方程式變形以求解）：要在所給方程或比例式中，決定未知項的值。 整個解析技術在具備這三重功能之後，便可稱之為數學中有關正確發現的科學了。

符號法則之大用！ 數學史家Victor Katz評論： 儘管韋達剛開始向現代符號系統邁進，但是，使用字母表示數字常量的決定性步驟，卻幫助他擺脫其前輩舉例的風格和修辭的法則。 現在，他已經能夠處理一般的類型而非具體的例子，能夠寫出公式而非法則了。

符號常量（文字係數）現身的意義 吾人得以將注意力集中到方程式的求解程序上，而非具體的解本身。 如此，求解程序還適用於數字以外的其它量，比方說線段或角。 利用符號法則求解方程式可以使解的結構更加明顯，譬如在所列公式中保持B＋D的形式，而不是用譬如8來代替5+3，就可以在求解的最後，對於解與初始常量之間的關係進行分析。 韋達發現方程式的根與構成該方程的表達式之間的關係。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 康熙皇帝，來源： 梵蒂岡圖書館Borg. Chinese. 439. a，本作品轉載自： 5 谕王道化……即可笑也。特谕 康熙皇帝，來源： 梵蒂岡圖書館Borg. Chinese. 439. a，本作品轉載自： http://www.52wwz.cn/yd/zgzx/ZX20060000B5/ZX20060000B5092.html， 瀏覽日期：2013.1.4。依據著作權法第46、52、65條合理使用。 6 假令有圓城一所，不知周徑……甲出東門直行一十六步見之，問徑幾何？ 《測圓海鏡》〈卷七〉，李冶(1248)。 7 《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，孫子算經(下)，頁10。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 8 Wikipedia，作者：Deutsche Bundesbank。本作品轉載自： http://zh.wikipedia.org/wiki/File:10_DM_Serie4_Vorderseite.jpg，瀏覽日期：2013.1.4。

版權聲明 頁碼 作品 版權圖示 來源/作者 《思維的指導法則》，作者：笛卡兒(René Descartes)，1629年出版。 13 數學是把握其它更重要科學……數學所應該具有的條理性和簡單性。 《思維的指導法則》，作者：笛卡兒(René Descartes)，1629年出版。 14 Wikipedia，作者：未知。本作品轉載自： http://en.wikipedia.org/wiki/File:Francois_Viete.jpg，瀏覽日期：2013.1.4。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 16 韋達宣稱：有一種尋求數學真理……稱其為解析法。 《解析技術引論》（In artem analyticem Isagoge)，韋達(Viete)，1591年出版。 17 Zetetics（問題分析）……要在所給方程或比例式中，決定未知項的值。 《當數學遇見文化》，洪萬生等著，三民出版社，2009.01.01出版，頁144。 18 儘管韋達剛開始向現代符號系統邁進，…，能夠寫出公式而非法則了。 《數學史通論》，V.Katz著，李文林等譯，高等教育出版社，2004年出版，頁288-291。依據著作權法第46、52、65條合理使用。