第八章 粘弹性问题

8.1 地质现象: 冰后期回弹 雪球地球(Snowball Earth假说)

大冰期(持续数百万年以上)与小冰期 约24亿至21亿年前——休伦冰期 约8.5亿至6.35亿年前——成冰期 约4.5亿至4.2亿年前——奥陶纪 约3.6亿至2.6亿年前——石炭纪 约258万年前——第四纪冰期 (数据最多,研究最多) 冰期的可能原因？太阳？大气圈层？地球内部？

北极冰层面积变化: (全球变暖?) 地球表面温度存在着周期性的变化,并导致冰雪覆盖面积的变化

第四纪冰期峰期的冰层覆盖:

冰后期回弹模型（粘性与粘弹性）:

精确测量高度变化: 南极洲的固定GPS站点

现今地表高度变化速率(mm/yr) [Milne and Shennan, 2014]

什么是粘性流体（流体中不存在剪切应力) 流体的本构方程（位移替换为速度）: 粘性系数 (单位？): 或 容易和剪切模量混淆

粘性系数的大小 （决定变形的时间尺度）：

沥青滴落试验: （开始于1927年，持续到今天）： 测得沥青的粘性系数约为2.3x108 Pa s 水的约为0.001 Pa s 引入人： Prof. Thomas Parnell University of Queensland

短时间尺度下呈现固态的物质在长时间尺度下可能表现为流体特征（地幔对流的理论基础） 实验仍然在持续进行，2014.4.17 第9滴下落 短时间尺度下呈现固态的物质在长时间尺度下可能表现为流体特征（地幔对流的理论基础） 阴影部分安装了空调，平均温度降低

头脑风暴(Brainstorm)： 大铁球下沉试验测地幔粘性系数 Stokes速度

如何建立粘弹性模型？

8.2 理想粘性和理想弹性介质的引入 一. 理想弹性元件（弹簧）

二. 理想粘性元件（阻尼器） 弹簧和阻尼器的本构关系可以简写为： 和 可以用字母S（spring）和D（dashpot）分别表示

三. 理想元件的基本组合 （粘弹性体） 串联： 麦克斯韦尔（Maxwell）体 总应变线形叠加： 又： 得本构关系： 式中：

并联： 开尔文（Kelvin）体 总应力线形叠加：

粘弹性问题的本构方程都和时间有关 粘弹性问题的两种特性： 蠕变特性：应力保持不变，应变随时间的变化情况。 松弛特性：应变保持不变，应力随时间的变化情况。

8.3 麦克斯韦尔体的蠕变和松弛特性 本构关系也可以写为： 引入海维赛德（Heaviside）函数： 其对时间的微分为delta函数：

函数图形分别为： 首先研究其蠕变特性（应力不变看应变），令： 代入本构方程 积分得 进一步需要确定积分常数

对其本构方程作 ： 同时有：

代入得： 即： 其中 称为初始弹性模量或冲击弹性模量，表示材料对于突变载荷的弹性响应。 最后得麦克斯韦尔体的蠕变方程：

再来研究其松弛特性（应变不变看应力）， 令： 对 则由本构方程 得： 进一步确定积分常数， 将本构方程对时间t积分

最后得麦克斯韦尔体的松弛方程： 称为松弛时间，决定松弛的快慢。 如果地壳+地幔是麦克斯韦尔体，估算其松弛时间

例：麦克斯韦尔体受矩形脉冲力下的应变变化 数学表述：

代入本构方程 得： 积分得： 进一步确定积分常数， 将本构方程对时间t积分

得到: 应变和之前的蠕变一致：: 而t=T处应变为：

有: 代入最终得：

图形为：

8.4 开尔文体的蠕变和松弛特性 本构关系： 也可写为：

考虑蠕变特性，令： 代入本构方程 ， 对 解得

解得： 开尔文体的蠕变函数为： 可以定义渐进弹性模量： 反映了流变材料对长期作用常载荷的响应

考虑松弛特性，令： 代入本构方程 ， 对 得

8.5应用拉普拉斯变换研究粘弹性体性质 注意到麦克斯韦尔体和开尔文体的本构方程 都是线形的微分方程: 当构成模型的基本弹性和粘性元件很多时， 拉普拉斯变换是求解线性微分方程的有效方法。 什么是拉普拉斯变换？

拉普拉斯变换的引入， 对函数 f(t)： 其中s为复数： 也可以使用符号 表示对函数f的拉普拉斯变换 t称为时域函数，F(s)称为频域函数。 特点：将实变量函数变化到复数域，在复数域进行各种运算（一般比实数域简单），再将结果变换回实数域。

函数 f(t)存在拉普拉斯变换的条件： （1）t<0 时， f(t) = 0; （2） （3） ，或仅存在 第一类间断点（间断点的左右极限都存在）。

拉普拉斯变换的一个重要性质： 分部积分得： 同理有：

以及： 这里的 可以取为 ， 由t<0 时， f(t) = 0，所以： 最终得： 可以将对f的微分通过拉氏变换去除， 微分方程变为代数方程

求解代数方程得到 之后，再利用反变换得到 ： 对于常用函数，也可以查表求得反变换的函数，见下表：

拉普拉斯变换简表

例1：使用拉普拉斯变换解麦克斯韦尔体受矩形脉冲力下的应变变化 数学表述：

由拉氏变换的定义，并作t-T的变量替换

直接解得： 与之前得到的结果一致：

例2：

代入得： 作拉氏变换得：

得： 再查表作反变换得：

画图

（Standard Linear Solid Model） 8.6 标准线性体的蠕变和松弛特性 （Standard Linear Solid Model） 两种等价模型

一。本构方程

由此三式解得： 作拉氏反变换得本构方程为： 写为标准形式：

二。蠕变特性 令： 拉氏变换得： 对本构方程 作拉氏变换得： 将应力代入得：

可以改写为： 查表作反变换得： 作图

和Maxwell体以及Kelvin体的区别 时，相当于两个弹簧的并联。

三。松弛特性 令： 代入本构方程 得： 作拉氏变换： 可解得：

作反变换得：

松弛曲线： 标准线形体 麦克斯韦尔体 开尔文体

标准线性体向麦克斯韦尔体和开尔文体的转化： 麦克斯韦尔体： 开尔文体：

8.7 更复杂的粘弹性体 选择模型的原则?