知识点7---矩阵初等变换的应用 1. 求矩阵的秩 2. 求矩阵的逆 3. 解矩阵方程.

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其解亦可表为向量形式.
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知识点7---矩阵初等变换的应用 1. 求矩阵的秩 2. 求矩阵的逆 3. 解矩阵方程

一、求矩阵的秩 求矩阵A的秩. 分析:用定义,二阶子式 三阶子式共有 (个), 从40个子式中找出一个非零子式是相当麻烦的

当矩阵的行数和列数较高时,按定义求秩是很麻烦的 . 行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数. 用初等变换可以将矩阵化为行阶梯形. 两个等价的矩阵的秩是否相等?

定理:若 A ~ B,则 R(A) = R(B) . 应用:求矩阵的秩,只要用初等行变换把矩 阵化成行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵 中非零行的行数就是该矩阵的秩. 例1:求矩阵的秩.

解:

注意,矩阵前后变换必须用箭头->,而不能用等号=. 由此得

用初等变换求矩阵的秩步骤: (1)用一系列初等行变换将矩阵 化为阶梯形矩阵. (2)所得阶梯形矩阵的非零行的行数 就是矩阵的秩.

二、求矩阵的逆

可逆矩阵A 经过一系列初等行(或列)变换,可化为单位矩阵E. 可见: 初等行变换法求逆矩阵 A 经过一系列初等行变换可以化为E, E 经过同样的初等行变换也可以化为A–1.

同理: 用A-1左乘得 如果A 经过一系列初等列变换化为E, 则E 经过同样的初等列变换化为A–1. 初等列变换法求逆矩阵

例2 E 行变换 解 11

E 12

三、解矩阵方程 已知矩阵方程AX=B,求X的值.A可逆 可见: 如果A经过一系列初等行变换化为E, 则B经过同样的初等行变换化为A–1B.

如果求矩阵方程XA=B 呢 不可写成 初等列变换

例3 解 A是可逆的.

小 结 求矩阵的秩 矩阵初等变换的应用 求矩阵的逆 解矩阵方程 谢谢!