自引力体系统计物理的新进展 Ping He 2010-5-27

自引力体系（Self-Gravitating System) 自引力体系：孤立体系，只有引力 再无其他作用：无碰撞，没有重子物质； 重要特征：自引力体系是长程力热力学体系； 现实模型：球状星团，椭圆星系，暗物质晕。 孤立：不要有别的天体在附近，否则，会有潮汐的相互作用。 暗物质晕：今天报告的重点。 Globular cluster： Globular Cluster M3 Elliptical galaxy： M87

冷暗物质晕 冷暗物质：星系级的成团所满足的条件。 现在主流的暗物质是冷暗物质， 就是从属于结构形成的需要。

宇宙学N-体数值模拟 大尺度宇宙学的主流研究方法 大尺度宇宙学可以是实验科学！ 巨大的低密度空洞； 丝状，片状结构，由冷暗物质晕构成，亮点是星系团； 统计研究，各种数理统计方法和统计检验技术。 拟合，经验结果(empirical laws)。 人工着色，暗物质不发光。 这种技术也发展了好几十年了。 大尺度宇宙学可以是实验科学！

冷暗物质晕的经验关系 -- 数值结果的拟合 密度轮廓 (density profile)：密度随半径的关系； 冷暗物质晕的经验关系 -- 数值结果的拟合 密度轮廓 (density profile)：密度随半径的关系； 赝相空间密度 (pseudo-phase-space density); 速度各向异性参数轮廓(velocity-anisotropy parameter); 速度弥散的分布(distribution velocity dispersion); 形状参数的分布(distribution of shape parameter); 自旋参数的分布(distribution of spin parameter)。 自旋参数：今天不涉及，总有自转角动量，而且分布还挺有规律。 有自转，就有对球对称的偏离，三椭球分布。 在我们这里，都是球对称。

冷暗物质晕的经验关系 这些经验关系过去被认为是普适的，即对于任何稳定的暗物质晕，只由两个尺度参数来确定，特征尺度和特征密度： ，如NFW轮廓： 当前的高分辨率的模拟发现，有一定程度的对普适性的偏离。

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- I. density profile NFW profile: Navarro, Frenk, White, 1995, 96, 97 (citations: 573, 2227, 3033) 粒子宇宙学，越是需要中心致密区域的密度轮廓， 就越是不精确。 在粒子宇宙学， 引力透镜， 大尺度结构形成等方面，有着极大的应用价值

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- I. density profile 面对一个粒子集群，证认出一个暗晕，有理论判据， 切掉，暗晕外面的东西。 拟合结果与模拟结果比，还是有点偏差。 Navarro, Ludlow, Springel, Wang, Vogelsberger, White, Jenkins, Frenk, & Helmi arXiv:0810.1522, MNRAS， unprecedented highest resolution

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- II. velocity anisotropy 速度分布函数 各向异性参数，已被定义几十年了:

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- II. velocity anisotropy vr vt 这是今天报告的重点，大家要熟悉了。 速度分布的各向异性，定义：好几十年了。 在2-D横截面上都是各向同性的。 -∞ < b < 1

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- II. velocity anisotropy arXiv:0810.1522, MNRAS Highest resolution

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- III. velocity dispersion arXiv:0810.1522 说明： 径向速度弥散，连同 速度分布的各向异性， 意味着没有统一的， 整体的温度定义。

宇宙学CDM暗晕的N-body模拟 -- IV. pseudo-phase space density arXiv:0810.1522

CDM暗晕经验规律 -- 物理起源 迄今为止： 有十几个关于density profile及其普适性的解释， dynamical models, 比如mergers; 没有对velocity anisotropy和velocity dispersion起源的解释； 没有对pseudo-phase-space density起源的解释。 因为现在的结果倾向于普适性有所破坏，所以更没有解释了。

An example by Simon D.M. White The universal density profile “is a fixed point in the process of repeated mergers.” (Syer & White, 1998, MNRAS, 293,337); 11 yeas later: “These results indicate that mergers do not play a pivotal role in establishing the universalities, thus contradicting models which explain them as consequences of mergers.” (Wang & White, 2009, MNRAS, 396, 709) .

自引力体系的统计物理 – 近50年的历史 动力学模型不行，统计物理方法怎样？ 迄今为止：没有这门统计物理； Antonov (1962)：体系全局最大熵 (Boltzmann - Gibbs熵) 不存在。 (Lynden-Bell & Wood, 1968)

自引力体系的统计物理 – 近50年的历史 Lynden-Bell (1967, MNRAS, 136, 101): Total 质量- 和 能量-守恒 约束  “violent relaxation” (激烈弛豫)  “平衡态”: 无限的 质量, 能量, 及 体积  不现实和不可接受  进一步的弛豫机制。 Lynden-Bell：best known for his theories that galaxies contain massive black holes at their centre, and that such black holes are the principal source of energy in quasars. 势阱的时间扰动，引力坍缩。 Gravitational degeneracy

Binney Argument(1986)：Boltzmann-Gibbs熵对于自引力体系无上限 体系总质量和能量： ， 一大部分质量，能量存 放在一个致密的中心区 域, , 剩下的小部分 和 放在 一个低密度的外封皮中， 当 ,该外封皮半径 越来越大，密度越来越低， 使得 This argument briefly states as follows. The total mass and total energy of the system are assumed to be $M_T$ and $E_T$ (negative), respectively. A large fraction of the mass and the energy, say $M_T-\mu$ and $E_T-\epsilon$, are concentrated in a bound static core, whereas the remaining mass $\mu$ and thermal energy $\epsilon$ are deposited in a diffuse outer envelope. As $\epsilon\rightarrow 0$ the envelope becomes larger and larger in radius, but its density becomes more and more tenuous, such that the associated entropy will diverge to infinity \citep{galdyn08}

Simon D.M. White (1987, MNRAS, 229, 103)方法 理想气体热力学熵形式： 流体静力学平衡: Jeans equation with b=0

结果不能接受 Simon D.M. White (1987): 需要额外的约束。

Lynden-Bell（2005, MNRAS, 361, 385） -- 激烈弛豫理论的不自洽 结论： 统计物理不可行，自引力体系的“平衡态”似乎 应该是动力学过程的结果。 Quasi-stationary state

Physics Reports, 480 (2009), 57 - 159 长程力体系：非广延体系。 我前面提的都是天体物理学家。 这些问题，被总结在Physics Reports上， 主要的问题是这些关键词所展示的。 长程力体系：非广延体系。 非广延统计物理(Tsallis, 1988, J. Stat, Phys., 52, 479)

小结一下：对于自引力体系 Simon White： 动力学方法不可行； Antotov & Binney：没有最大熵； Lynden-Bell： 统计物理方法不可行； Tsallis(1988)：非广延统计 – 也没行； 系综：三种系综不等价； 各态历经性：被破坏； 平衡态是否存在； … … … …

熵与熵原理：复杂性动力学的出发点 我相信熵和熵原理对于自引力体系的适用性； 动力学：是物理学的主干； 最小作用量原理和熵原理：是动力学两大根基。 最小作用量原理  基础动力学 熵原理 热力学关系 开始介绍我自己的工作。 我相信熵和熵原理对于自引力体系的适用性；因为动力学是物理学的主干， 熵原理可以不成立吗？那样的话统计物理的根基不牢。Einstein“上帝不掷骰子”。 第一性的变分原理

已有解析理论及热力学宏观参量 Vlasov-Poisson方程体系： 宏观参量（r的函数）： 流体静力学平衡 Jeans equation:

第一性原理：熵原理 ？ 这些平衡方程可是不被Vlasov方程所描述的。 使用熵原理，探索其他方程存在的可能性

新探索: 熵和熵稳方程 (Ping He 2010) The entropy is the same as the one by Simon D.M. White (1987) Let Mass conservation: 把p当作已知函数，不能对其做变分，只能对密度做变分， 这种方法并不很自洽。 Performing the 1st-order variational calculus : Entropy stationary equation

Velocity anisotropy的意义 Total 3 unknown variables: p, r, b (1) Entropy equation: (2) Jeans equation: b is of great significance; No need to truncate artificially;

Velocity anisotropy的意义 Total 3 unknown variables: p, r, b Assuming r is given as Einasto form Gravitational degeneracy

引力简并效应 -- Gravitational degenenacy 两个粒子两体散射 总有偏离b，所以总 有角动量，这使得粒子在相空间中看上去 像是一个具有一定大小的相元。这种不相 容性就是引力简并的起源，由Lynden-Bell 引入来避免Gravothermal catastrophe。 Gravitational degeneracy

Velocity anisotropy的意义 Total 3 unknown variables: p, r, b Assuming r is given as Einasto form Gravitational degeneracy

Theory and simulation的一致性

对比Simon White (1987) 的结果 Simon D.M. White (1987): 需要额外的约束。

Pseudo-phase-space density: Ludlow et al. (arXiv:1001.2310): an upturn deviation at the outskirts

总结 工作还是不完备的，但是已有的研究表明，对于自引力体系，熵概念以及熵原理依然成立，因此统计物理可以建立起来； 对所有有关暗物质晕的经验关系提供一个统一的解释； 对其他长程力的统计物理的进展带来积极的影响。 Entropy principle and complementary second law of thermodynamics for self-gravitating systems, arXiv:0903.2208, 2010, MNRAS, accepted

谢谢！