黃志洪 教育局中學校本課程發展組 神召會康樂中學(借調老師) 解一元一次方程 的技法與思路 黃志洪 教育局中學校本課程發展組 神召會康樂中學(借調老師)

在根基上搭建 數學課程指引 (小一至小六) 2000 「代數」範疇 學生須懂得利用代數符號作記錄，列出方程及解不超 過兩步計算的方程。在學習列方程及解方程前，學生 須掌握加法、減法、乘法和除法算式中各部分之間的 關係，以便他們能根據這些關係求未知數。方程不應 包括同類項運算，所涉及的數字不宜太繁複，只可有 一個未知數，且分母亦不可含有未知數。在解方程後， 教師應要求學生用正確的驗算方式，進行驗算。 TSA 已教課程 課前預測 / 評估

「路途回歸法」 用於描述未知數經過若干運算得一結果的方程 所在地是從家出發， 經過若干路程到逹， 若行回頭路就可回到家中。 結果是從未知數出發， 經過若干運算而成， 若進行逆運算就可得到未知數 (方程的解)。

「路途回歸法」 針對「未知數出現一次的方程」 進行逆末運算，逐步還原。 原則：加減互逆、乘除互逆。 練習/課堂活動 目的：了解方程的含意，弄清當中的運算次序。

3 3 +1 1 4 4

4 4 +2 2 3 3 1 +1

用「逆末運算表」解方程 3 3 +1 1 4 4

用「逆末運算表」解方程 逆末運算 簡化方程 末運算 3 3 1 +1 4 4

用「逆末運算表」解方程 逆末運算 簡化方程 末運算 4 4 2 +2 3 3 +1 1

用「逆末運算表」可解下列方程嗎？ 可以！ 但需重組方程。

重組方程 連續加減，次序可變： 方程 y+17=33 和方程 17+y=33 是否同解？ 為何？ 連續加減，次序可變： 例：1 + 2 = 2 + 1 = 3 例：3 + 4 = 4 + 3 = -1 例： - 2 + 3 = 3 - 2 = 1 例： - 1 - 2 = - 2 - 1= - 3

重組方程 練習： 重組方程後，用「逆末運算表」解方程

解方程的基本概念 一元方程表逹未知數值有左方等於右方的「相等關係」。 為求得知未知數使「相等關係」成真的值 (方程的解)，我們就需進行解方程。 在解方程時，目的在簡化這「相等關係」，直到求出方程的解。 (即得知未知數使「相等關係」成真的值)

解方程的基本思路 對方程進行「同解變形」， 從而簡化「相等關係」，直至得解。 方程：左方 = 右方 未知數 = 確知數值 (解) 方程：2x – 3 = 9 x = 6 (解) 同解變形 方程：4x – 3 = 2x + 5 x = 4 (解)

解方程 2x – 3 = 9 時 的「同解變形」過程： 2x – 3 = 9 2x – 3 + 3 = 9 + 3 2x = 12 不能加等號於每行之首！ 每行都是一方程 /「相等關係」， 有著同一的解(x = 6)。 解(x = 6)能使每行的「相等關係」成真。

解方程的技法 －「同解變形」 (一)「恆等變形」 將左右兩方各自作「恆等變形」 (包括化簡、展開、因式分解、通分等) 合併同類、去括號 (二) 等式性質(「平衡原理」/「天平法則」) 1. 如果X=Y， 那麼X＋a = Y＋a，X－b =Y－b。  移項歸類 2. 如果X=Y， 那麼cX=cY，X  d=Y  d（c，d≠0）。 倍方程

解方程的技法 －「同解變形」 「路途回歸法」中的逆末運算 其實是使用「天平法則」，也是「同解變形」。

解方程的技法 －「合併同類」 「合併同類」目的： 將在方程同一邊的同類項進行合併， 用以簡化方程(減少未知數及數值的數目)。   (逆末運算) 3x = 24  x = 8 15x - 12x = -11 + 35  ？ 「合併同類」目的： 將在方程同一邊的同類項進行合併， 用以簡化方程(減少未知數及數值的數目)。 

解方程的技法 －「合併同類」  B  關注：Dyscalculia / MD (數障)！ (一) 若干「常數項」/數值的加減， 簡化成一個「常數項」/數值。 有向數/正負數的加減  B (二) 若干「未知數項」的加減， 簡化成一個「未知數項」。 係數的概念、有向數/正負數的加減  關注：Dyscalculia / MD (數障)！

解方程的技法 －「移項歸類」 「移項歸類」目的： 為「合併同類」作預備。 15x - 12x = -11 + 35  3x = 24 (合併同類)  x = 8 (逆末運算) 15x - 35 = 12x -11  ？ 「移項歸類」目的： 將未知數移至方程的一邊，而數值移至另一邊。 為「合併同類」作預備。

解方程的技法 －「移項歸類」 運用等式性質1 ，也可視作加減的「逆末運算」的結果。 教學活動：(方形咭背後為一x項，圓形咭後為數值)

解方程的技法 －「移項歸類」 教學活動(續)：

解方程的技法 －「移項歸類」 教學活動總結： 15x - 35 = 12x -11  ？ 讓學生觀察，找出規律，發現移項的變形方法。 以口訣「移加作減、移減作加」幫助記憶。 給出移項的概念： 把方程中的某一項，從方程的一邊移到另一邊， 需改變符號，這種變形叫做移項。 習慣上把含有未知數的項移到左方， 不含未知數的項(數值)移到右方。 但有時為求簡單(令最終的係數為正)，也可靈活處理。 通過練習加以鞏固，達到靈活運用「移項歸類」 15x - 35 = 12x -11  ？  15x - 12x = -11 + 35  3x = 24  x = 8

解方程的技法 －「去括號」 若方程含有括號，我們必須先撤去括號 (展開當中的項)，才可「移項歸類」。 「去括號」目的： 15x - 35 = 12x - 11  15x - 12x = -11 + 35 (移項歸類)  3x = 24 (合併同類)  x = 8 (逆末運算) 5(3x - 7) = 12x - 11  ？ 可否「移項歸類」 ？ 若方程含有括號，我們必須先撤去括號 (展開當中的項)，才可「移項歸類」。 「去括號」目的： 撤去括號有便於「移項歸類」及「合併同類」。

解方程的技法 －「去括號」 基於乘法分配性質。  太 多 了 ！ 不 需 學 生 強 記 ！ 

解方程的技法 －「去括號」 讓學生自我發現「去括號」規律。 再完成跟進練習 。

解方程的技法 －「去括號」 要訣：同號正、異號負； 括前正正負不變、括前負正負號變。

解方程的技法 －「去括號」 多層括號： 去括號可由內而外，也可由外而內。

解方程的技法 －「去括號」 多層括號(另例)： 由外而內還是由內而外較好？

解方程的技法 －「倍方程」 「倍方程」目的： 係數變整(去分母、去小數) ，簡化方程。 5(3x - 7) = 12x -11  15x - 35 = 12x - 11 (去括號)  15x - 12x = -11 + 35 (移項歸類)  3x = 24 (合併同類)  x = 8 (逆末運算)  ？ 「倍方程」目的： 係數變整(去分母、去小數) ，簡化方程。

解方程的技法 －「倍方程」 讓學生自我發現倍多少： 哪個變形對解方程有幫助？

解方程的技法 －「倍方程」 哪個變形對解方程有幫助？ 有否更佳的變形對解方程有幫助？

解方程的技法 －「倍方程」 倍方程：× 60！  ？ 總結： 乘以所有分母的最小公倍數 左方、右方都要乘 每項都要乘，不可漏乘不含分母項  ？ 倍方程：× 60！ 總結： 乘以所有分母的最小公倍數 左方、右方都要乘 每項都要乘，不可漏乘不含分母項 分子多過一項，作為一整體要加括號 不能直接把分母去掉，需通過約分約去分母 除去分母外，「倍方程」也可用於去小數 「倍方程」也可「倍細」方程，例：440x+640=3280

「簡表解方程」－ 例一

「簡表解方程」－ 例二

「簡表解方程」－ 例三

「簡表解方程」－ 例四

與前表四個練習為一系列。 用簡表做此練習可輕易將需做的 變形分類安排在前四個練習中。 (留意一題多法) 學生在不同學習階段完成前四個 練習後，應能輕易完成此練習。 盼藉此給學生信心解較難的方程 。 注意此一系列用了不同的字母， 方便初學或能力稍遜的同學參照 。 教師可設計多幾個系列，可在一 系列中全用同一字母，鼓勵同學 不作無謂的參照，進一步提升信 心。

教學小點子 創設問題情境激發學生的求知欲。 數學家丟番圖墓碑上短詩謎題 老師的年歲或生日月份。 創設問題情境激發學生的求知欲。 數學家丟番圖墓碑上短詩謎題 老師的年歲或生日月份。 從錯誤中學習；收集同學錯解方程的做法， 讓同學找出錯誤並更正。 一題多解法。鼓勵分享觀摩、勇於嘗試。 教學生方法去設計某一定解的方程， 進行互相出題目交換求解的活動。 預備較難的BONUS題給能力較高的同學， 模擬例子及提示錦囊給能力稍遜的同學。

謝! 謝 完