§5 二次型及其标准形
例 2阶方阵 投影变换 对应 例 2阶方阵 对应 以原点为中心逆时针 旋转j 角的旋转变换
解析几何中，二次曲线的一般形式 ax2 + bxy + cy2 = 0 通过选择适当的的旋转变换 使得 mx' 2 + ny' 2 = 0 ． 定义：含有 n 个变量 x1, x2, …, xn 的二次齐次函数 称为二次型．
令 aij = aji，则 2 aij xi xj = aij xi xj + aji xi xj ，于是
对称阵
对称阵的 二次型 二次型 的矩阵 对称阵 A 的秩也叫做二次型 f 的秩． 线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
对于二次型，寻找可逆的线性变换 使二次型只含平方项，即 f = k1 y12 + k2 y22 + … + kn yn2 定义：只含平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）. 如果标准形的系数 k1 , k2 , … , kn 只在−1, 0, 1三个数中取值, 即 f = k1 y12 + … + kp yp2 − kp+1 yp+12 − … − kr yr2 则上式称为二次型的规范形． 说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围. 简记为 x = C y ， 于是 f = xTAx = (C y)T A (C y) = yT (CTAC) y
定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P −1AP = B ， 则称矩阵A 和 B 相似．（P.121定义7） 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C 满足 CTAC = B ， 则称矩阵A 和 B 合同．（P.129定义9） 显然， BT = (CTAC)T = CTAT (CT)T = CTAC = B 即若 A 为对称阵，则 B 也为对称阵． R(B) = R(A) ． 经过可逆变换后，二次型 f 的矩阵由 A 变为与 A 合同的矩阵 CTAC，且二次型的秩不变．
若二次型 f 经过可逆变换 x = C y 变为标准形，即 问题：对于对称阵 A，寻找可逆矩阵 C，使 CTAC 为对角阵, （把对称阵合同对角化）．
定义：如果 n 阶矩阵A 满足 ATA = E，即 A−1 = AT， 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 P，使得 P −1AP = PTAP = L， 其中 L 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵（不唯一）. （P.124定理7） 定理：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 正交变换 x = P y ，使 f 化为标准形 f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2 其中 l1 , l2 , … , ln 是 f 的矩阵 A 的特征值． 推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (Cz) 为规范形．
f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTΛKz 推论：任给二次型 f (x) = xTAx （其中A = AT） ，总存在 可逆变换 x = C z ，使 f (C z) 为规范形． 证明： f (P y) = l1 y12 + l2 y22 + … + ln yn2 若R(A) = r，不妨设 l1, l2, …, lr 不等于零， lr+1 = … = ln =0, 令 则 K 可逆，变换 y = Kz 把 f (P y) 化为 f (PKz) = (PKz)T A (PKz) = zTKTPTAPKz = zTKTΛKz 其中
例：求一个正交变换 x = P y ，把二次型 f = －2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 化为标准形． 解：二次型的矩阵 根据P.125例12的结果，有正交阵 使得 于是正交变换 x = P y 把二次型化为标准形 f = －2y12 + y22 + y32
如果要把 f 化为规范形，令 ，即 可得 f 的规范形：f = －z12 + z22 + z32