三角形外心的介紹 製作：立人國中 賴靜慧

作任意三角形三邊的中垂線，會有什麼發現呢？ 想一想吧

結論：作任意三角形三邊的中垂線 ，皆會交於一點 A A 中 垂 線 A 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 O 中 垂 線 O 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 中 垂 線 B C C B C B O 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 結論：作任意三角形三邊的中垂線 ，皆會交於一點

一線段的中垂線上任一點到線段兩端點等距離 中垂線性質： 一線段的中垂線上任一點到線段兩端點等距離 【已知】 △ABC，L為 的中垂線，與 交於M P為L上一點 A 【求證】 【證明】 ∵ M為 的中點∴ P ∵L ∴ 1 2 在△BMP、 △CMP中 B C M ∵ ∴ △BMP △CMP(SAS) L 故

作△ABC三邊的中垂線交於O，由前面介紹的中垂線性質 可知O到三角形的三頂點等距離。即： 為半徑 即可畫出一圓，此圓稱為ΔABC的外接圓 O為外接圓的圓心，簡稱外心， ΔABC稱為圓O的內接三角形 此圖可知銳角三角形的外心在Δ的內部

那麼直角三角形和鈍角三角形的三邊中垂線的交點──外心，又會在什麼位置呢？ 繼續往下看吧 繼續往下看吧

A 中垂線 中 垂 線 O 中垂線 B C 直角Δ 外心在斜邊中點 =R(外接圓半徑)=斜邊長的一半

中 垂 線 中 垂 線 A 中 垂 線 B C O 鈍角Δ 外心在Δ外部

外心還有 哪些重要的性質呢？ 接著看喔

O是銳角ABC的外心 則 BOC=2A [證明] A 連 OA ，在ΔABC中 ∵ O是三角形ABC的外心  O (外接圓半徑) 3 4 ∵ O是三角形ABC的外心  O (外接圓半徑) 1 5 6 在ΔOAB中 2 ∵  1= 3 B C 在ΔOAC中  2= 4 ∵ ∵∠5為△OAB的外角 ∠5=∠1+∠3 又∠6為△OAC的外角 ∴∠6=∠2+∠4 BOC = 5 +6 = 1 +3 + 2 +4 = 23 + 24 = 2(3+4) = 2A

O是鈍角ABC的外心 則 BOC=360º-2A   1 =ABO 2 =ACO 外心介紹完畢 [證明] A 連 在ΔOAB、ΔOAC中 1 2 ∵ O是三角形ABC的外心 B C  (外接圓半徑) 3 4  1 =ABO 2 =ACO O 在ΔOAB中， 3 =180º -1 -ABO 在ΔOAC中， 4 =180º -2 -ACO 則BOC = 3 +4 =(180º -1 -ABO)+(180º -2 -ACO) =(180º -21 ) + (180º -22) =360º-2(1+2 ) =360º-2A 外心介紹完畢

三角形內心的介紹 製作：立人國中 賴靜慧

做任意三角形的三條內角平分線， 會有什麼發現呢？

結論： 任意三角形的三條內角平分線 皆會交於一點 A A A F F E E F E B D C B C B C D D 銳角三角形 × × × × F × × F E E F E ○ ★ ★ ○ ○ ★ ○ ★ B ○ ★ ○ D C ★ B C B C D D 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形 結論： 任意三角形的三條內角平分線 皆會交於一點

角平分線性質： 角平分線上任一點，到角的兩邊等距離 B 【已知】 ， 為角平分線 D 3 於D， 於E P 【求證】 【證明】 在ΔADP與ΔAEP中， 1 為角平分線 2 4 A E C 又 且 (公共邊) ΔADP ΔAEP(AAS) 故

由此圖可知：銳角三角形的內心在三角形內部。 A R E F Q I B C D P 作△ABC的三內角平分線，如圖交於I。 由前面介紹的角平分線性質可知：I到三角形的三邊等距離。 也就是說： 所以，如果我們以I為圓心， 為半徑，即可畫出一圓與△ABC相切。 此圓稱為△ABC的內切圓，I為內切圓的圓心〈簡稱為內心〉 稱為內切圓半徑r，△ABC稱為圓外切三角形。 由此圖可知：銳角三角形的內心在三角形內部。

那麼直角三角形和鈍角三角形的三內角平分線的交點──內心，又會在三角形的什麼位置呢？ 請看後面的介紹 請看後面的介紹

A I B C 直角三角形的內心在三角形的內部

A I B C 鈍角Δ 內心也在Δ內部

內心還有 哪些重要的性質呢？ 繼續看下去喔！

I為△ABC的內心，則 A F I E B C 【證明】 在△ABC中，∵I為內心 ∴ 為角平分線 ∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠BIC＝180°－∠2－∠4 =180°- =180°- =180°- =180°- 90°+ =90°+

△ABC面積= △AIB面積+ △BIC面積+ △CIA面積 如圖：I為△ABC的內心， F E 為內切圓半徑r I △ABC周長s 則△ABC面積= B C D 【證明】 連 △ABC面積= △AIB面積+ △BIC面積+ △CIA面積 + + + +

內心介紹完畢 A 如圖：I為△ABC的內心， F E 為內切圓半徑r I △AIB面積: △BIC面積: △CIA面積 = : B C D 【證明】 △AIB面積 : △BIC面積 : △CIA面積 = : : = : : 內心介紹完畢

三角形重心的介紹 製作：立人國中 賴靜慧

做任意三角形的三條中線， 會有什麼發現呢？

結論： 任意三角形的三條中線 必交於一點， 此點稱為三角形的重心 A A A B C B C B C 銳角三角形 直角三角形 鈍角三角形

三角形的重心到一頂點的距離等於中線長的三分之二 A 【已知】 △ABC中，E、F分別為 、 F E 2 4 之中點 且 與 交於G G 3 1 【求證】 B C 【證明】 連 ∵E、F分別為 之中點 後面還有一些重要的性質喔 ∴ 且 在△GBC與△GEF中 ∵∠1=∠2 ∠3=∠4 〈內錯角〉 由AA相似性質得 △GBC～△GEF ∴ = =2:1 即

∵△ABC為正△ ∴外心O=內心I=重心G 【已知】正△ABC，邊長a F E I O G 【求證】內切圓半徑= B C D 外接圓半徑= 【證明】 ∵△ABC為正△ ∴外心O=內心I=重心G 則內切圓半徑 = = = = 外接圓半徑 = = = =

【已知】直角△ABC，O為外心，G為重心 【求證】 = 斜邊長 B C D = 斜邊長 【證明】 ∵O為直角△ABC的外心 ∴ = 斜邊長 又∵G 為重心 ∴ = = ( 斜邊長) = 斜邊長 = = ( 斜邊長) = 斜邊長

h 輕 鬆 一 下 h A 【已知】△ABC，D為 的中點 h 【求證】△ABD面積= △ACD面積 B C D 【證明】 △ABD面積= ∴ 故△ABD面積= △ACD面積

△AGB面積= △BGC面積= △AGC面積 G為△ABC的重心，則 △AGB面積= △BGC面積= △AGC面積 A 【證明】 ∵G為重心， ∴D為 的中點 F E G 由前一頁介紹的性質可知 B C D △ABD面積= △ACD面積 且△GBD面積= △GCD面積 則△ABD面積- △GBD面積= △ACD面積- △GCD面積 ∴ △AGB面積= △AGC面積 同理可證△ AGB面積= △BGC面積 故△AGB面積= △BGC面積= △AGC面積

△AGF= △BGF= △BGD= △CGD= △CGE= △AGE G為△ABC的重心，則 △AGF= △BGF= △BGD= △CGD= △CGE= △AGE A 【證明】 ∵G為重心， F E 由前一頁介紹的性質可知 G △AGB= △BGC= △AGC △ABC B C D 又∵F為中點 謝 觀 賞 ，拜 拜 ∴ △AGF= △BGF △AGB = △ABC) = △ABC 同理可證△BGD= △CGD= △ABC △CGE= △AGE= △ABC 故△AGF= △BGF= △BGD= △CGD= △CGE= △AGE