聖芳濟書院數學周講座 槓桿原理與牟合方蓋 淺談體積公式的由來 Mr. JOHN NG (2007-05-15)

公式 b h

h b r

利用積分 (integration)

利用極限 （limits) 正六邊形面積 = r 正 n 邊形面積 = = 圓形面積 = = =

阿基米德（Archimedes） BC 287 - 212 數學之神 我想到了! 給我一個支點，我可以撬動地球。 不要碰我的圓！ 古希臘語原文：ευρηκα. (Eureka!) 給我一個支點，我可以撬動地球。 古希臘語原文：δος μοι που στω και κινο την γην. (Dos moi pou sto kai kino ten gen). 不要碰我的圓！ 原文（古希臘文拉丁字母轉寫）：Noli turbare circulos meos. 歐多克斯原理（窮竭法）+ 歸謬法 // 如何知公式？// 1906 德國學者海堡於土耳其一所寺廟發現文獻『方法』 羅馬大將馬塞流斯（Marcellus）攻陷敍拉古（意大利南城）// 兩個說法 // 馬塞後悔，厚葬 // 圓柱內接球 (1965 發現)

槓桿原理 6 4

槓桿原理 6 4

槓桿原理 6 4 6 4

槓桿原理 6 6 4 4

槓桿原理 3 6 8 4

槓桿原理 6 3 8 4 4  6 = 8  3

槓桿原理 s1 s2 F1 F2 F1  S1 = F2  S2

槓桿原理 F1  S1 = F2  S2 V1 V2 s1 s2 F1 F2 V1 V2 設兩物件，密度相同，則，重量比 = 體積比。

3objects.wg3 3objects.ggb

畢氏定理 / 勾股定理 / 商高定理 c a b c b = c a b a

2r h r h-r s 2r 2r 球片半徑 = 球片體積 = 錐片半徑 = 錐片體積 = 球片及錐片總體積 =

球片及錐片總體積 = 2r

球片及錐片總體積 = 2r h V1S1=

球片及錐片總體積 = 2r h s 2r 柱片體積 =

2r

2r h s 2r

2r

2r 2r 2r 由槓桿原理 r (球體體積 + 錐體體積)(2r) = (柱體體積)(r) [球體體積 + ](2r) = [ ](r) 球體體積 =

劉徽 中國魏晉時期數學家。 三國魏景元四年(263年)注《九章算術》（九卷）， 撰《重差》，作為《九章算術注》的第十卷。 （唐初以後，《重差》更名為《海島算經》。） 九章出現於西漢 // Ch. 4 少廣誤以為圓柱體積比為『9:16』 // 中國人對數學的看法：算術 // 微積分不能更早出現之社會原因 Nine-Chapters.pdf

牟合方蓋（Mouhefanggai ） Steinmetz solid is the solid body generated by the intersection of two or three cylinders of equal radius at right angles.

牟合方蓋（Mouhefanggai ）

多角度研究 http://140.114.32.3/disk3/exp02/3/4.wrl

劉徽祖暅原理 「夫疊  成立積，緣冪勢既同，則積不容異。」

劉徽祖暅原理 「夫疊  成立積，緣冪勢既同，則積不容異。 」

劉徽祖暅原理 「夫疊  成立積，緣冪勢既同，則積不容異。 」

「夫疊 成立積，緣冪勢既同，則積不容異。 」 劉徽祖暅原理 「夫疊  成立積，緣冪勢既同，則積不容異。 」 h2 h2 h1 h1

same_pyramid.ggb

same_box.ggb Volume I : Volume II = Area I : Area II

牟合方蓋體積 : 球體體積 = 紅色正方形面積 :黃色圓形面積 = (2a)2 : a2 a = 4 :  球體體積 = 牟合方蓋體積

劉徽：「欲陋形措意，懼失正理，敢不厥疑，以俟能言者。」

祖暅 祖暅，字景爍，中國南北朝時期數學家、天文學家、將領。祖沖之的兒子。 《南史》稱祖暅『少傳家業，究極精微，有巧思。』 516年被囚，525年徐州太守釋之。 與祖沖之合著《綴術》，惜北宋時已失傳。 因思考，撞倒大官徐勉//南梁梁武帝封『材官將軍』//513年與北魏開戰，王足獻策：淮河築高塔蓄水以浸魏兵，派祖暅查考，祖勸帝三思因禍及百姓，不從，結果魏軍與百姓也死傷無數，怪罪囚之//梁武帝子執政兵敗北魏徐州，祖被劫持，魏安豐王徐州太守仰慕祖之天才，釋之尊為上賓。

摘自《數學歷史典故》梁宗巨 著

證明：錐體體積 = 3pyramids.ggb 3pyramids.wg3

h r h h r r mouhefanggai.ggb L 形面積 = 正方形面積 =

h h r r 由劉徽祖暅原理 大正方體體積 – (1/8)牟合方蓋體積 = 錐體體積 牟合方蓋體積 =

牟合方蓋體積 = 球體體積 = 牟合方蓋體積 = =

後話

歐多克索斯 – 阿基米德公理 『窮竭法』 從一個數量減去至少一半，再從剩下來的數量又減去至少一半，這樣做下去，經過多次後，剩下來的數量可以任意地小。 e.g.  = 0.1，由 100 出發，可以得到數量小於  嗎？ 0.03 0.4 0.1 40 10 4 1

利用窮竭法求圓形面積 [ABCD] > 圓面積之半 證明 [ABCD] = 大正方形面積之半 大正方形面積 > 圓面積 大正方形面積之半 > 圓面積之半 [ABCD] > 圓面積之半

利用窮竭法求圓形面積 [ABCD] > 圓面積之半 設 a1 =圓面積  [ABCD] 4[AEB] > a1 之半 證明 [AEB] > 弓形 AEB 面積之半 4[AEB] > 4*弓形 AEB 面積之半 4[AEB] > a1 之半 設 a2 = 圓面積  [AEBFCGDH]

a1 =圓面積  [ABCD] =圓面積  圓內接正 4 邊形 a2 =圓面積  圓內接正 8 邊形 (注：a2 = a1  比 a1 之半大的量) a3 =圓面積  圓內接正 16 邊形 (注：a3 = a2  比 a2 之半大的量) a4 =圓面積  圓內接正 32 邊形 (注：a4 = a3  比 a3 之半大的量) … 根據窮竭法，an 可以任意小。 即：圓形和其圓內接正多邊形（ 2n 邊形）之面積相差可以任意小。

阿基米德稱：圓面積 = 圓周  半徑  2 阿基米德之證明 (窮竭法 + 歸謬法) 設 A = 圓周  半徑  2 設 B = 圓面積  A 由窮竭法，必存在 an < B 即，必存在圓內接正多邊形，使 圓面積  該圓內接正多邊形面積 < B 圓面積  該圓內接正多邊形面積 <圓面積  A 圓內接正多邊形面積 > A 但，圓內接正多邊形面積 = (1/2)  k  邊長  N = (1/2)  k  周界 如果圓面積 < A < (1/2)  半徑  圓周 同樣產生矛盾！ 得，圓內接正多邊形面積 < A 產生矛盾！ 所以圓面積必等於 A

古希臘的證明手法： 窮竭法 + 歸謬法

利用窮遏法

利用窮遏法

利用窮遏法 貼邊的小錐體積總和可任意小。

利用歸謬法 可證等底等高錐體之體積相同

「冪勢既同，則積不容異」這一原理， 在歐洲由義大利數學家卡瓦列里（B·Cavalieri，1598年—1647年） 於17世紀重新發現，所以西方文獻一般稱該原理為卡瓦列里原理。 cavalieri.wg3 試應用此原理，考慮半球體及一個等底等高及中空的圓柱體， （其中空部分是圓錐體），求球體體積。

利用劉徽祖暅原理求橢圓面積 b y a 橢圓面積 : 圓形面積 = 橢圓面積 =

以積分求牟合方蓋之體積 x r  微積分不能出現得太早。