第七章 稳定性模型 7.1 捕鱼业的持续收获 7.2 军备竞赛 7.3 种群的相互竞争 7.4 种群的相互依存 7.5 食饵-捕食者模型 第七章 稳定性模型 7.1 捕鱼业的持续收获 7.2 军备竞赛 7.3 种群的相互竞争 7.4 种群的相互依存 7.5 食饵-捕食者模型 7.6 差分形式的阻滞增长模型

稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间 充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是 否稳定. 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性. 差分方程的稳定性与微分方程稳定性理论相似.

7.1 捕鱼业的持续收获 背景 问题及 分析 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）. 再生资源应适度开发——在持续稳产 7.1 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等）. 背景 再生资源应适度开发——在持续稳产 前提下实现最大产量或最佳效益. 问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制 捕捞使产量最大或效益最佳? 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场 鱼量将保持不变，则捕捞量稳定.

产量模型 假设 建模 x(t) ~ 渔场鱼量 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律. r~固有增长率, N~最大鱼量 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比. h(x)=Ex, E~捕捞强度 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件.

一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性自治(右端不含t)方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点. 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程

产量模型 平衡点 稳定性判断 E~捕捞强度 r~固有增长率 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯

产量模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大. 图解法 f 与h交点P P的纵坐标 h~产量 P的横坐标 x0~平衡点 产量最大 y y=h(x)=Ex x N y=f(x) y=rx P* y=E*x hm x0*=N/2 P x0 h f 与h交点P P的纵坐标 h~产量 P的横坐标 x0~平衡点 产量最大 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半

效益模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大. 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 单位时间利润 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场鱼量

捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) > 0 R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER ~ 临界强度 令=0 R(E)=0时的捕捞强度Es=2ER ~ 临界强度 临界强度下的渔场鱼量 S(E) T(E) r E ER E* Es xs由成本—价格比决定 捕捞过度

捕捞过度 捕鱼业的持续收获 收入 利润 临界强度Es =0 支出 经济学捕捞过度 生态学捕捞过度 在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模. pNE/2 pNE Es1 S(E) T(E) r E S(E) Es2 经济学捕捞过度 生态学捕捞过度 在自然增长和捕捞情况的合理假设下建模. 捕鱼业的持续收获 用平衡点稳定性分析确定渔场鱼量稳定条件,讨论产量、效益和捕捞过度3个模型.

7.2 军备竞赛 目的 假设 进一步假设 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程. 解释(预测)双方军备竞赛的结局. 7.2 军备竞赛 目的 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程. 解释(预测)双方军备竞赛的结局. 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快； 假设 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 在增加军备的潜力. 进一步假设 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数.

建模 x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量 ,  ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力. 军备竞赛的结局 t  时的x(t)，y(t) 微分方程的平衡点及其稳定性

线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程 的根 若从P0某邻域的任一初值出发，都有 称P0是微分方程的稳定平衡点 记系数矩阵 特征方程 特征根

线性常系数微分方程组 的平衡点及其稳定性 特征根 平衡点 P0(0,0) 微分方程一般解形式 1,2为负数或有负实部 p > 0 且 q > 0 平衡点 P0(0,0)稳定 p < 0 或 q < 0 平衡点 P0(0,0)不稳定

模型 军备竞赛 平衡点 稳定性判断 系数矩阵 平衡点(x0, y0)稳定的条件

模型的定性解释 模型 平衡点 双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件 ,  ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力. 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张. 2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在  > kl 下 x(t), y(t)0, 即友好邻国通过裁军可达到永久和平.

模型 模型的定性解释 ,  ~ 本方经济实力的制约； k, l ~ 对方军备数量的刺激； g, h ~ 本方军备竞赛的潜力. 3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t) 很小，但因 ，也会重整军备. 4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0， 也会因 使该方重整军备， 即存在互不信任( ) 或固有争端( ) 的单方面 裁军不会持久.

7.3 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的 关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食. 7.3 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的 关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食. 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相 互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝， 竞争力强的达到环境容许的最大容量. 经过自然界的长期演变，今天看到的只是结局. 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程， 分析产生这种结局的条件.

模型假设 模型 有甲乙两个种群，它们独自生存时 数量变化均服从Logistic规律; 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用 与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用. 模型 对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1) 的 1 倍. 对甲增长的阻滞作用，乙大于甲. 乙的竞争力强

模型 模型分析 (平衡点及其稳定性) 二阶非线性 自治方程 的平衡点及其稳定性 平衡点P0(x10, x20) ~ 代数方程 的根.

判断P0 (x10, x20) 稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 p > 0 且 q > 0 p < 0 或 q < 0 平衡点 P0稳定(对(2),(1)) 平衡点 P0不稳定(对(2),(1))

模型 仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义.

平衡点稳定性分析 平衡点 Pi 稳定条件： p > 0 且 q > 0

种群竞争模型的平衡点及稳定性 P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点 P3 是两种群共存的平衡点 P1稳定的条件 1<1 ? 平 衡点 稳定条件 2>1, 1<1 1>1, 2<1 1<1, 2<1 不稳定 P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点 P3 是两种群共存的平衡点 P1稳定的条件 1<1 ?

平衡点稳定性的相轨线分析 从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0) (t) P1(N1,0)是稳定平衡点 (1) 2>1, 1<1 =0 =0 S1 S2 S3 t   x1, x2  t   x1 , x2 t   x1, x2 从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0) (t) P1(N1,0)是稳定平衡点

有相轨线趋向P1 P1局部稳定 有相轨线趋向P2 P2局部稳定 P1稳定的条件：直接法2>1 加上与(4)相区别的 1<1 (2) 1>1, 2<1 (3) 1<1, 2<1 P2 稳定 P3 稳定 有相轨线趋向P1 P1局部稳定 (4) 1>1, 2>1 P2 有相轨线趋向P2 P2局部稳定 P1稳定的条件：直接法2>1 P1 加上与(4)相区别的 1<1 P1全局稳定

结果解释 P1稳定的条件：1<1, 2>1 对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱. 对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1 倍. 对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱. 甲达到最大容量，乙灭绝 2>1 甲的竞争力强 P2稳定的条件：1>1, 2<1 P3稳定的条件：1<1, 2<1 通常1  1/2，P3稳定条件不满足.

7.4 种群的相互依存 自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生. 受粉的植物与授粉的昆虫. 7.4 种群的相互依存 自然界中处于同一环境中的两个种群相互依存而共生. 受粉的植物与授粉的昆虫. 以植物花粉为食物的昆虫不能离开植物独立生存，而昆虫的授粉又可以提高植物的增长率. 人类与人工饲养的牲畜. 种群甲可以独自生存，种群乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长.

模型假设 模型 甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律; 甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长. 乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提 供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的 阻滞作用 (服从Logistic规律). 乙为甲提供食物是甲消耗的1 倍 模型 甲为乙提供食物是乙消耗的2 倍

种群依存模型的平衡点及稳定性 稳定条件 平衡点 不稳定 P2是甲乙相互依存而共生的平衡点

平衡点P2稳定性的相轨线 1<1, 2>1, 12<1 P2稳定

结果解释 甲可以独自生存 乙不能独立生存 P2稳定(甲乙相互依存)条件： 1<1, 2>1, 12<1 乙为甲提供食物是甲消耗的1 倍. 甲为乙提供食物是乙消耗的2 倍. 2>1 ~ 甲必须为乙提供足够的食物. 12<1 ~ 2>1 前提下P2存在的必要条件. 1<1 ~ 为在2>1条件下12<1 成立, 1必须足够小 ——限制乙向甲提供食物，防止甲过分增长.

种群的相互依存 种群甲可以独自生存，种群乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长. 甲乙两种群的相互依存还有其它形式 甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时 相互提供食物、促进增长. 甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时 相互提供食物、促进增长.

7.5 食饵-捕食者模型(种群的弱肉强食) 种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠 捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如 食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫. 模型的历史背景——一次世界大战期间地中海 渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)， 但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？

食饵-捕食者模型(Volterra) 食饵(甲)数量 x(t), 捕食者(乙)数量 y(t) 甲独立生存的增长率 r 乙独立生存的死亡率 d 甲使乙的死亡率减小，减小量与 x成正比 a ~捕食者掠取食饵能力 b ~食饵供养捕食者能力 方程(1),(2) 无解析解

Volterra模型的平衡点及其稳定性 稳定性分析 平衡点 p =0, q > 0 P: 临界状态 q < 0 P´ 不稳定

用数学软件MATLAB求微分方程数值解 x~y 平面上的相轨线 t x(t) y(t) 20.0000 4.0000 0.1000 20.0000 4.0000 0.1000 21.2406 3.9651 0.2000 22.5649 3.9405 0.3000 23.9763 3.9269 … 5.1000 9.6162 16.7235 5.2000 9.0173 16.2064 9.5000 18.4750 4.0447 9.6000 19.6136 3.9968 9.7000 20.8311 3.9587 x~y 平面上的相轨线

食饵-捕食者模型(Volterra) 计算结果（数值，图形） x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 观察，猜测 x(t), y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线 x(t), y(t)的周期约为9.6 xmax 65.5, xmin  6, ymax  20.5, ymin  3.9 用数值积分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值： x(t)的平均值约为25, y(t)的平均值约为10.

用相轨线分析 点稳定性 消去dt 取指数 c 由初始条件确定

用相轨线分析 点稳定性 f(x) x x0 fm 相轨线 在相平面上讨论相轨线的图形 g(y) gm y0 y 时无相轨线 以下设

存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p Q1(x1,y0),Q2(x2,y0) 相轨线 f(x) x x0 fm y y0 x x0 P x Q3 Q4 g(y) gm y0 y y2 y1 x Q3 Q4 x1 x2 Q1 Q2 x1 x2 p q y1 y2 相轨线退化为P点 P~中心 存在x1<x0<x2, 使f(x1)=f(x2)=p Q1(x1,y0),Q2(x2,y0) 存在y1<y0<y2,使g(y1)=g(y2)=q Q3(x,y1), Q4(x,y2) x是[x1, x2]内任意点 相轨线是封闭曲线族

用相轨线分析 点稳定性 x(t), y(t)是周期函数(周期记 T) 相轨线是封闭曲线 求x(t), y(t) 在一周期的平均值 轨线中心

模型解释 T3 P T2 初值 T4 • T1 相轨线的方向 T1 T2 T3 T4 x(t) 的“相位”领先 y(t)

模型解释 捕食者 数量 r ~食饵增长率 a ~捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与r成正比, 与a成反比 食饵数量 d ~捕食者死亡率 P r/a d/b 捕食者 数量 r ~食饵增长率 a ~捕食者掠取食饵能力 捕食者数量与r成正比, 与a成反比 食饵数量 d ~捕食者死亡率 b ~食饵供养捕食者能力 食饵数量与d成正比, 与b成反比

模型解释 • • • 一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？ 自然环境 捕捞 rr-1, dd+1 x y 捕捞 rr-1, dd+1 • • 战时捕捞 rr-2, dd+2 , 2 < 1 食饵(鱼)减少， 捕食者(鲨鱼)增加 还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂, 会使害虫增加，益虫减少.

食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进 多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点. Volterra模型 改写 加Logistic项 有稳定平衡点

食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进 相轨线是封闭曲线，结构不稳定——一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状. 自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状. r1=1, N1=20, 1=0.1, w=0.2, r2=0.5, 2=0.18 相轨线趋向极限环 结构稳定

两种群模型的几种形式 相互竞争 相互依存 弱肉强食

7.6 差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型) x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口) 7.6 差分形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型) x(t) ~某种群 t 时刻的数量(人口) t, xN, x=N是稳定平衡点(与r大小无关) yk ~某种群第k代的数量(人口) 离散形式 若yk=N, 则yk+1,yk+2,…=N y*=N 是平衡点 讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？

离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性 变量代换 一阶(非线性)差分方程 (2)的平衡点 (1)的平衡点y*=N 讨论 x* 的稳定性

补充知识 一阶非线性差分方程 的平衡点及稳定性 (1)的平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根 (1)的近似线性方程 稳定性判断

的平衡点及其稳定性 另一平衡点为 x=0 平衡点 稳定性 不稳定 x* 稳定 x* 不稳定 1

的平衡点及其稳定性 1/2 1 1 

数值计算结果 初值 x0=0.2 b <3, x b=3.3, x两个极限点 b=3.45, x4个极限点 0.4118 100 99 98 97 96 95 94 93 92 91  0.3796 3 0.3366 2 0.2720 1 0.2000 b=1.7 k 0.6154  0.6049 0.6317 0.4160 0.2000 b=2.6 0.8236 0.4794  0.4820 0.8224 0.5280 0.2000 b=3.3 0.8469 0.4327 0.8530 0.4474  0.4322 0.8532 0.5520 0.2000 b=3.45 0.8127 0.3548 0.8874 0.5060 0.8278 0.3703 0.8817 0.5405  0.3987 0.8711 0.5680 0.2000 b=3.55 数值计算结果 初值 x0=0.2 b <3, x b=3.3, x两个极限点 b=3.45, x4个极限点 b=3.55, x8个极限点

倍周期收敛——x*不稳定情况的进一步讨论  单周期不收敛 2倍周期收敛 (*)的平衡点 x*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性

倍周期收敛 x*不稳定，x1*, x2* 稳定? b=3.4 y=f(2)(x) y=x x1* x2* x* x0

倍周期收敛的进一步讨论 x1*, x2* (及x*)不稳定 出现4个收敛子序列 x4k, x4k+1, x4k+2, x4k+3 平衡点及其稳定性需研究 时有4个稳定平衡点 4倍周期收敛 2n倍周期收敛, n=1,2,… bn~ 2n倍周期收敛的上界 b0=3, b1=3.449, b2=3.544, … n, bn3.57 b>3.57, 不存在2n倍周期收敛子序列 混沌现象

混 沌 现 象 混沌现象的一个典型特征 ~ 对初始条件的敏感性 b =3.7 设x0=0.1000, x0=0.1001, 比较xk 0.1000 0.1001 1 0.3430 0.3433 2 0.9514 0.9520 3 1.0762 1.0753 …… 21 1.1370 0.8442 22 0.7165 1.1993 23 1.2649 0.5540 31 0.5524 1.0058 32 1.2200 0.9901 33 0.4953 1.0165 混沌现象的一个典型特征 ~ 对初始条件的敏感性 b =3.7 设x0=0.1000, x0=0.1001, 比较xk “差之毫厘，失之千里” 著名的“蝴蝶效应”

的收敛、分岔及混沌现象 b

差分形式的阻滞增长模型 阻滞增长模型(微分方程形式、差分方程形式） 有广泛的应用. 基本模型 是很简单的非线性差分 方程. 基本模型 是很简单的非线性差分 方程. 方程解的收敛性研究可以导出相当复杂和有趣的 结果——分岔理论和混沌现象. 在混沌区域可以出现周期为3,5,收敛的“窗口”.