第3章 连续时间信号和系统的频域表示与分析 3.1 周期信号的傅里叶级数分析 3.2 周期信号的对称性 3.3 非周期信号的频谱——傅里叶变换 3.4 傅里叶变换性质及定理 3.5 LTI系统的频域分析

3.6 无失真传输系统 3.7 理想低通滤波器与物理可实现系统 3.8 时域采样与恢复（插值） 3.9 相关 3.10 能量谱和功率谱

3.1 周期信号的傅里叶级数分析 在讨论周期信号的傅里叶级数前， 先介绍正交函数与正交函数集的概念。 若两个函数g1(t)、 g2(t)在区间(t1, t2)内满足 (3.1-1)

则说这两个函数在区间(t1, t2)正交， 或它们是区间(t1， t2)上的正交函数。 若函数集{gi(t)}在区间(t1， t2)内且函数g1(t)， …， gn(t)满足 (3.1-2) 则这个函数集就是正交函数集， 当ki=1时为归一化正交函数集。

满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的线性组合。 即任意信号f(t)在区间(t1, t2)内可由组成信号空间的n个正交函数的线性组合近似表示为 f(t)≈c1g1(t)+c2g2(t)+…+cngn(t) (3.1-3) 若正交函数集是完备的， 则 f(t)=c1g1(t)+c2g2(t)+…+cngn(t)+… (3.1-4)

完备是指对于一个在区间(t1， t2)内的正交函数集中的所有函数， 不可能另外再得到一个非零的函数在同一区间内和它们正交。 即不存在这样一个函数x(t)， 使之能满足 如果x(t)在这个区间能与它们正交， 则x(t)本身必属于这个正交函数集。 若不包括x(t)，那么这个正交函数集也就不完备。

包含正、 余弦函数的三角函数集是最重要的完备正交函数集。 它具有以下优点： (1) 三角函数是基本函数； (2) 用三角函数表示信号， 建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系； (3) 单频三角函数是简谐信号， 简谐信号容易产生、 传输、 处理； (4) 三角函数信号通过线性时不变系统后， 仍为同频三角函数信号， 仅幅度和相位有变化， 计算更方便。

由于三角函数的上述优点， 周期信号通常被表示（分解）为无穷多个正弦信号之和。 利用欧拉公式还可以将三角函数表示为复指数函数， 因此周期函数还可以展开成无穷多个复指数函数之和， 其优点与三角函数级数相同。 用这两种基本函数表示的级数， 分别称为三角形式傅里叶级数和指数形式傅里叶级数。 它们是傅里叶级数中两种不同的表达形式， 也简称傅氏级数， 其英文缩写为FS。 本节利用傅氏级数表示信号的方法， 研究周期信号的频域特性， 建立信号频谱的概念。

3.1.1 三角形式傅里叶级数 周期信号是周而复始、 无始无终的信号。 其表示式为 f(t)=f(t+T) (3.1-5) 式中， f(t)的基波周期T是满足式(3.1-5)的最小的非零正值， 其倒数f0=1/T是信号的基波频率。

若周期函数f(t)满足狄里赫利条件: (1) 在一周内连续或有有限个第一类间断点； (2) 一周内函数的极值点是有限的； (3) 一周内函数是绝对可积的， 即

则f(t)可以展开为三角形式的傅里叶级数 (3.1-6) 式中, (3.1-7a)

(3.1-7b) (3.1-7c) 式中， ω0=2π/T是基波角频率， 有时也简称基波频率。 一般取t0=-T/2。

利用三角函数的边角关系， 还可以将一般三角形式化为标准的三角形式 (3.1-8)

两种三角形式系数的关系为 (3.1-9)

例3.1-1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。 振幅谱与相位谱如图3.1-1所示。

图 3.1-1 例3.1-1的频谱图 (a) 振幅图； (b) 相位图

3.1.2 指数形式的傅里叶级数 利用欧拉公式 (3.1-10)

我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数

令c0=F0代入上式， 并将两个和式合并得到 这样f(t)指数形式为 (3.1-11a)

其中系数 (3.1-11b)

F(nω0)是复常数， 通常简写为Fn。 Fn还可以表示成模和幅角的形式 (3.1-12) 三角函数标准形式中cn是第n次谐波分量的振幅， 但在指数形式中， Fn要与相对应的第-n项F-n合并， 构成第n次谐波分量的振幅和相位。

指数形式与三角形式系数之间的关系为 (3.1-13)

例3.1-1的指数形式频谱图如图3.1-2所示。 图 3.1-2 例3.1-1的频谱图 (a) 振幅图； (b) 相位图

3.1.3 周期矩形脉冲频谱 周期矩形脉冲是典型的周期信号， 其频谱函数具有周期信号频谱的基本特点。 通过分析周期矩形脉冲的频谱， 可以了解周期信号频谱的一般规律。 例3.1-2 周期矩形脉冲f(t)的波形如图3.1-3所示, 求周期矩形脉冲频谱。

图 3.1-3 周期矩形脉冲f(t)

解 其中， ω0=2π/T。

将f(t)展开成指数形式傅里叶级数， 由式(3.1-11b) (3.1-14)

(3.1-15) 式中, 使 的ω是Fn的零点， 由此解出Fn的零点为 (3.1-16)

(3.1-17)

其三角形式的傅里叶级数， 由式(3.1-9)可得 (3.1-18) (3.1-19)

特别设T=5τ， E=1， ， 代入式(3.1-18) 其零点为

即5ω0、 10ω0， …， 且有 c0=0.4, c1=0.37, c2=0.3, c3=0.2, c4=0.1, c5=0, c6=0.06, c7=0.086, c8=0.075, c9=0.04, c10=0, ... T=5τ的三角形式与指数的振幅、 相位谱如图 3.1-4所示。

图 3.1-4 周期矩形信号的频谱

图 3.1-4 周期矩形信号的频谱

图 3.1-5 周期矩形信号的复振幅频谱

3.1.4 周期T及脉冲宽度τ对频谱的影响 对图3.1-5作如下讨论： (1) 频谱图是离散的， 频率间隔ω0= 2π/T 。 特别的， 随着周期T的增加， 离散谱线间隔ω0减小； 若T→∞， ω0→0， |Fn|→0， 离散谱将变为连续谱。

(2) 直流、 基波及各次谐波分量的大小正比于脉冲幅度E及脉冲宽度τ， 反比于周期T。 各谐波幅度随 Sa nω0τ/2 的包络变化， ω= 2nπ/τ 为零点（n=1， 2， …）。 若τ→0， 第一个零点ω= 2π/τ →∞。  

(3) 频谱图中有无穷多根谱线， 但主要能量集中在第一个零点ω= 2π/τ 之间。 实际应用时， 通常把 0~ 2π/τ 的频率范围定义为矩形信号的频带宽度， 记为B， 于是 (3.1-20) Bw的单位是弧度/秒， Bf的单位是赫兹（Hz）。

3.1.5 周期信号的频谱特点 以上虽然是对周期矩形信号的频谱分析， 但其基本特性对所有周期信号适用， 由此给出周期信号频谱的一般特性。 (1) 离散性 谱线沿频率轴离散分布。 谱线仅在0、 ω0、 2ω0、 …基波的倍频（离散的）频率点上出现。 (2) 谐波性 各谱线等距分布， 相邻谱线的距离等于基波频率。 周期信号没有基波频率整数倍以外的频率分量。

(3) 收敛性 随着n→∞， |Fn|或cn趋于零。 傅氏级数是傅氏变换的特殊表示形式。 从本质上讲， 傅氏变换就是一个棱镜,它把一个信号函数分解为众多的频率分量。 这些频率分量又可以重构原来的信号函数。 这种变换是可逆的且保持能量不变。 傅氏棱镜与自然棱镜的原理是一样的。 不过自然棱镜是将自然光分解为多种颜色的光。 两种棱镜的比较如图3.1-6所示。

图 3.1-6 两种不同的棱镜

通常把函数（时间波形）的变换叫做波形的频谱。 波形与波形的频谱是同样实际的。 例如我们可以通过频谱分析仪观察或度量电信号波形的频谱。 声波有频谱， 图像有频谱， 频谱与时域波形一样实际。

*3.2 周期信号的对称性 3.2.1 信号对称性与傅里叶级数系数关系 *3.2 周期信号的对称性 3.2.1 信号对称性与傅里叶级数系数关系 波形的对称性有两类： 一类是波形对原点或纵轴对称, 即我们所熟悉的偶函数、 奇函数。 由这类对称条件可以判断级数中是否含有正、 余弦(an、 bn)项的情况； 另一类是波形在半周期有对称条件， 这类条件决定了级数中含有偶次或奇次谐波的情况。 下面具体讨论对称条件对傅里叶级数系数的影响。

1. 偶函数 其波形特点是对称纵轴， 即满足f(t)=f(-t)， 如图3.2-1所示。 图 3.2-1 偶函数举例

因为f(t)·cosnω0t是偶函数， f(t)·sinnω0t是奇函数， 所以式(3.1-7)可改为 (3.2-1)

与标准三角形式及指数形式的系数关系为 (3.2-2)

因此， 偶函数分解后只有余弦分量(直流a0≠0)， 没有正弦分量(bn=0)。 (3.2-3)

利用式(3.2-1)可求出如图3.2-1所示周期三角信号的傅氏系数a0、 an， 其傅氏级数为

2. 奇函数 波形特点： 对称于原点。 f(t)=-f(-t)， 如图3.2-2所示。 图 3.2-2 奇函数举例

因为f(t)·cosnω0t是奇函数， f(t)·sinnω0t是偶函数， 所以式(3.1-7)可改为 (3.2-4)

与标准三角形式及指数形式的系数关系为 (3.2-5)

因此， 奇函数分解后只有正弦分量(直流a0=0)， 没有余弦分量(an=0)。 (3.2-6)

利用式(3.2-4)可求出如图3.2-2所示周期锯齿波信号的傅氏系数bn， 其傅氏级数为

3. 奇谐函数 波形特点是任意半个周期的波形可由它前面半个周期的波形沿横轴反折得到, 即 ， 如图3.2-3所示。  

图 3.2-3 奇谐函数举例

由式(3.1-7)得 (3.2-7) 将 代入第一个积分中， 有

代入式(3.2-7)计算an的公式中 n为偶 n为奇 (3.2-8a)

同理可得 n为偶 n为奇 (3.2-8b) 奇谐函数只含有正、 余弦波的奇次项， 不含偶次项。

图 3.2-4 奇谐对称性对傅氏系数影响的图解示意

4. 偶谐函数 波形的实际周期是T1= T/2 ， 即 。 最典型的偶谐函数是如图3.2-5所示的全波整流波形。 因为仍以T为周期展开， 所以其基波频率分量应是

因为积分区间是从- T/2 ~ T/2 ， 而- T/2 ~0与0~ T/2 波形相同， 所以式(3.1-7)为 n为偶 (3.2-9a) n为奇 n为偶 (3.2-9b) n为奇

偶谐函数以周期T展开后只含有基波ω0=2π/T的偶次正、 余弦分量， 不含奇次项。 图 3.2-5 偶谐函数举例

5. f(t)有两种对称条件时的系数 当波形同时具备两个对称条件时， 下面不加证明给出其傅氏系数计算公式。 （1） 奇函数奇谐函数 因为奇函数an=0， 只有正弦项， 而奇谐函数的b2n=0， 所以 n为奇数 (3.2-10)

（2） 奇函数偶谐函数 因为奇函数an=0， 只有正弦项， 而偶谐函数的b2n+1=0， 所以 n为偶数 (3.2-11) （3） 偶函数奇谐函数 因为偶函数bn=0， 只有余弦项， 而奇谐函数的a2n=0， 所以 为奇数 (3.2-12)

图 3.2-6 两个对称性对傅氏系数影响的图解示意

图 3.2-6 两个对称性对傅氏系数影响的图解示意

由式(3.2-11)可以求出a0、 an， 其傅氏级数为

（4） 偶函数偶谐函数 因为偶函数bn=0， 只有余弦项， 而偶谐函数的a2n+1=0， 所以 n为偶数 (3.2-13)

如图3.2-5所示的全波整流波形是偶函数偶谐函数， 由式(3.2-13)可以求出a0、 an。 其傅氏级数为

3.2.2 坐标轴的影响 有时所给波形虽不满足对称条件， 但将横轴上、 下移动， 可使得“隐藏”的对称条件显现。 例如图3.2-7(a)所示波形， 直接观察不具备任何对称性。 但如果将横轴向上移至f(t)的平均值A/2处， 如图3.2-7(b)所示， 则f(t′)显然是奇函数、 奇谐函数， 同时具备两个对称条件。

由图3.2-7不难得到f(t)=f(t′)+A/2， 两者只相差平均值。 所以一般将横轴移至f(t)的平均值处， 更便于观察信号的对称性。 同样图3.2-1所示的三角信号， 将横轴移至f(t)的平均值处，它就是偶函数奇谐函数。所以除了有直流分量外， 它只含有余弦的奇次项。

图 3.2-7 具有“隐蔽”对称条件的实例

纵轴的左右移动， 不会改变f(t)的谐波分量cn， 但相位φn的改变， 会使正弦与余弦分量变化。 在分析给定周期信号时， 应先判断是否存在可简化运算的对称条件， 包括 “隐藏”的对称条件。 若有对称条件， 由以上讨论可知傅氏级数中的一些项必为零， 要确定余下的非零系数， 只需对半个甚至1/4个周期积分即可。 表3-1列出了有对称条件时傅氏系数的计算公式。

表3-1 对称条件与傅氏系数

3.3 非周期信号的频谱——傅里叶变换 3.3.1 从傅里叶级数到傅里叶变换 若将非周期信号看作是周期信号T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表示为

以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信号。 由3 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信号。 由3.1节分析可知， 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但其频谱分布规律依然存在， 它们之间的相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入频谱密度函数。

已知周期函数的傅里叶级数为 (3.3-1) 式中, (3.3-2) 对式(3.3-2)两边取极限， 并乘以T， 使Fn不为零， 得到 (3.3-3)

(3.3-5) (3.3-6)

式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简称相位谱。 一般把式(3. 3-4)与式(3 (3.3-7) 或 (3.3-8)

傅里叶变换也简称傅氏变换， 用英文缩写FT或F表示； 傅里叶反变换用英文缩写IFT或F-1表示。 若f(t)为因果信号， 则傅里叶变换式为 (3.3-9) 反变换同式(3.3-5)。

式(3.3-8)表示F(jω)与f(t)具有一一对应关系， F(jω)是f(t)的频谱密度函数， 而f(t)是F(jω)的原函数。 特别有 (3.3-10)

由傅里叶变换的推导过程表明， 信号傅里叶变换存在的条件与傅氏级数存在条件基本相同， 不同之处是时间范围由一个周期变为无限区间。 傅里叶变换存在的充分条件是无限区间内函数绝对可积， 即 (3.3-11) 信号的时间函数f(t)和它的傅氏变换即频谱F(ω)是同一信号的两种不同的表现形式。 不过， f(t)显示了时间信息而隐藏了频率信息； F(ω)显示了频率信息而隐藏了时间信息。

3.3.2 常用函数的傅里叶变换对 1. 单边指数函数 (1) 单边因果指数函数

即 (3.3-12) 单边因果指数函数的波形f(t)、 振幅谱|F(jω)|、 相位谱φ(ω)如图3.3-1所示。

图 3.3-1 单边指数函数的f(t), 振幅谱、 相位谱

（2） 单边非因果指数函数

即 (3.3-13) 单边非因果指数函数的波形f(t)、 振幅谱|F(jω)|、 相位谱φ(ω)如图3.3-2所示。

图 3.3-2 eatu(-t)波形及其振幅、 相位谱

2. 双边指数函数 f(t)=e-a|t| -∞<t<∞, a>0 或 f(t)=eatu(-t)+e-at u(t)   利用以上单边指数函数的变换结果我们有 即 (3.3-14) 双边指数函数的波形f(t)、 频谱F(jω)如图3.3-3所示。

图 3.3-3 双边指数函数的波形、 频谱

3. 符号函数 符号函数也称正负函数， 记为sgn(t)， 表示式为 显然， 这个函数不满足绝对可积条件， 不能用式（3.3-4）直接来求。 我们可用以下极限形式表示sngt函数

上式是两个单边指数函数的组合， 利用前面的结果， 并取极限可得 (3.3-15) 符号函数的波形f(t)、 振幅谱|F(jω)|、 相位谱φ(ω) 如图3.3-4所示。

图 3.3-4 符号函数的波形f(t)及其振幅、 相位谱

4. 矩形脉冲信号gτ(t) gτ(t)是宽度为τ， 幅度为1的偶函数， 常常也被称为门函数， 表示式为

门函数的频谱函数、 振幅谱、 相位谱为 (3.3-16)

门函数的波形f(t)、 振幅谱|F(jω)|、 相位谱φ(ω)如图3.3-5所示。 图 3.3-5 gτ(t)的波形及振幅、 相位谱

由于F(ω)是实函数， 其相位谱只有0、 π两种情况， 反映在F(ω)上是正、 负的变化, 因此其振幅、 相位谱如图3 由于F(ω)是实函数， 其相位谱只有0、 π两种情况， 反映在F(ω)上是正、 负的变化, 因此其振幅、 相位谱如图3.3-6所示, 可由F(ω)来表示。

图 3.3-6 gτ(t)的频谱函数

由图3.3-4可见， 门函数在时域中是时宽有限的信号， 而它的频谱是按 的规律变化、 无限频宽的频谱。 但是信号主要能量集中在频谱函数的第一个零点之内， 所以通常定义它的频带宽度为 (弧度/秒) (3.3-17) (赫兹)

5. 冲激函数 时域冲激函数δ(t)的变换可由定义直接得到 (3.3-18) 由式(3.3-18)可知， 时域冲激函数δ(t)频谱的所有频率分量均匀分布（为常数1），这样的频谱也称白色谱。 冲激函数δ(t)、 频谱函数如图3.3-7所示。

图 3.3-7 冲激函数及其频谱

频域冲激δ(ω)的原函数亦可由定义直接得到 (3.3-19) 由式(3.3-19)可知频域冲激δ(ω)的反变换是常 数（直流分量）。 (3.3-20) 频域冲激函数δ(ω)、 原函数如图3.3-8所示。

图 3.3-8 频域冲激函数δ(ω)及其原函数

6. 阶跃函数u(t) 阶跃函数虽不满足绝对可积条件， 但u(t)可以表示为 对上式两边取傅氏变换 (3.3-21) 阶跃函数的波形、 振幅谱|F(jω)|、 相位谱φ(ω)如图3.3-9所示。

图 3.3-9 阶跃函数的波形以及振幅、 相位谱

由以上常见信号傅氏变换可见， 在引入奇异(冲激)函数概念之后， 使得过去许多不满足式(3 由以上常见信号傅氏变换可见， 在引入奇异(冲激)函数概念之后， 使得过去许多不满足式(3.3-11)条件的函数， 如阶跃函数、 周期函数等， 都有了确切的频谱函数表示式。

3.3.3 傅里叶系数Fn与频谱函数F(ω)的关系 若f(t)是从- T/2 ~ T/2 截取fT(t)一个周期得到的， 则 (3.3-22) 傅氏级数的系数计算公式为 (3.3-23)

比较式(3.3-22)和(3.3-23)， 可见除了差一个系数 1/T 及标度nω0与ω不同之外， 其余均相同， 即有 (3.3-24) 式(3.3-24)说明周期信号傅氏级数的系数Fn等于其一个周期的傅氏变换F(ω)在nω0频率点的值乘以 1/T ， 我们可以利用这个关系求周期函数的傅氏级数系数。  

例3.3-1 求如图3.3-10(a)所示周期矩形脉冲fT(t)的傅氏级数。 图 3.3-10  (a) 周期矩形脉冲fT(t); (b) 矩形脉冲f(t)

解 截取fT(t)从 的一段， 正是矩形脉冲信号如图3.3-10(b)所示   对应的傅氏变换为 由式(3.3-24)得

  最后， fT(t)的傅氏级数为

3.4 傅里叶变换性质及定理 1. 线性 若f1(t)←→F1(ω), f2(t)←→F2(ω)， 则 af1(t)+bf2(t) ←→ aF1(ω)+bF2(ω) (3.4-1) 式中, a、 b为任意常数。

证 利用傅氏变换的线性特性， 可以将待求信号分解为若干基本信号之和， 如在上一节我们将阶跃信号分解为直流信号与符号函数之和。

2. 时延（时移、 移位）性 若f(t)←→F(ω)， 则 (3.4-2) 证

图 3.4-1 例3.4-1信号图

例3.4-1 求如图3.4-1所示信号f1(t)的频谱函数F1(ω)， 并作频谱图。 由上节门函数的变换

再由线性与时移性， 得到 f1(t)的振幅、 相位频谱函数|F1(ω)|、 φ1(ω)如 图3.4-2所示。

图 3.4-2 例3.4-1的振幅、 相位频谱

3. 频移性 若f(t)←→F(ω)， 则 (3.4-3) 证 频移特性表明信号在时域中与复因子 相乘， 则在频域中将使整个频谱搬移ω0。

实际调制解调的载波(本振)信号是正、 余弦信号， 借助欧拉公式正、 余弦信号可以分别表示为 这样， 若有f(t)←→F(ω)， 则 (3.4-4) (3.4-5)

例3.4-2 求f(t)=cosω0tu(t)的频谱函数。 解 已知 利用调频性 f(t)的波形以及频谱如图3.4-3所示。

图 3.4-3 例3.4-2的波形及振幅、 相位频谱

同理可得

例3.4-3 求如图3.4-4所示f(t)的F(ω)并作图。

解 令f1(t)=gτ(t)， 则 而 如果ω0>>2π/τ， F1(ω)以及F(ω)如图3.4-5所示。

图 3.4-5 例3.4-3的F1(ω)以及F(ω)

图3.4-6 调制原理图

在接收端将已调信号f(t)恢复为原信号f1(t)的过程为解调。 一种同步解调的原理框图如图3 在接收端将已调信号f(t)恢复为原信号f1(t)的过程为解调。 一种同步解调的原理框图如图3.4-7(a)所示。 图中的cosω0t为接收端的本地载波信号（通常称本振信号）， 与发送端的载波信号同频同相。 其中 利用线性与频移特性， 对应的频谱函数为

仍以例3. 4-3的f1(t)、 f(t)为例， f0(t)的频谱F0(ω)如图3. 4-7(b)所示。 利用一个低通滤波器（在3 仍以例3.4-3的f1(t)、 f(t)为例， f0(t)的频谱F0(ω)如图3.4-7(b)所示。 利用一个低通滤波器（在3.7节介绍）， 滤除2ω0附近的频率分量， 即可提取f1(t)， 实现解调。

图 3.4-7 一种同步解调的原理框图及频谱图

在通信系统中调制也广泛应用在多路复用技术上， 即不同的信号频谱通过调制， 可移至不同的载波频率上， 在同一信道上发送而互不干扰， 实现“频分多路”复用。 以上讨论的是频移特性在调制解调中的一些具体应用， 调制解调理论及各种实现调制解调电路是后续课程的内容， 已超出本课程范围， 不再讨论。

4. 尺度变换 若f(t)←→F(ω)， 则 (3.4-6) 证

当a>0时， 令at=x, 则 ， 代入上式 当a<0时, 令at=x, 则dt=- 1/a dx， 代入上式 (再令x=t且积分上、 下限互换)

综合a>0、 a<0两种情况， 尺度变换特性表示为 特别地当a=-1时， 得到f(t)的折叠函数f(-t)， 其频谱亦为原频谱的折叠， 即 f(-t) ←→ F(-ω) 尺度特性说明， 信号在时域中压缩， 频域中就扩展； 反之， 信号在时域中扩展， 在频域中就一定压缩； 即信号的脉宽与频宽成反比。

一般时宽有限的信号， 其频宽无限， 反之亦然。 由于信号在时域压缩（扩展）时， 其能量成比例的减少（增加）， 因此其频谱幅度要相应乘以系数1/|a|。 也可以理解为信号波形压缩（扩展）a倍， 信号随时间变化加快（慢）a倍， 所以信号所包含的频率分量增加（减少）a倍， 频谱展宽（压缩）a倍。 又因能量守恒原理， 各频率分量的大小减小（增加）a倍。 图3.4-8表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。

图 3.4-8 矩形脉冲及频谱的展缩

5. 时域微分特性 若f(t) ←→ F(ω)， 则 （3.4-7） 证 (交换微、 积分次序) 所以

同理， 可推广到高阶导数的傅里叶变换 （3.4-8） 式中, jω是微分因子。

6. 时域积分特性 若f(t) ←→ F(ω)， （3.4-9） 特别地， 当F(0)=0时 （3.4-10）

证 (交换积分次序)

显然， 当F(0)=0 时， 有 从时域上看， 一般当y(t)是无限区间可积时， 即 ， 说明无直流分量, 则F(0)=0。 利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。

例3.4-4 求如图3.4-9(a)所示f(t)的频谱函数F(ω)。   f′(t)如图3.4-9(b)所示。

图 3.4-9 例3.4-4

f′(t)如图3.4-9(b)所示。 f″(t)如图3.4-9(c)所示。

因为 F1(0)=F2(0)=0 最后 读者可以思考， 为何说解此题利用的是积分特性 而不是微分特性。

7. 频域微分特性 若f(t) ←→ F(ω)， （3.4-11） 一般频域微分特性的实用形式为 （3.4-12）  

对频谱函数的高阶导数亦成立 （3.4-13） 或 （3.4-14）

证 (交换微、 积分次序) 所以 或

同理可证高阶导数 或

例3.4-5 求f(t)=te-at u(t)的频谱函数F(ω)。 解 利用

8. 对称（偶）性 若f(t) ←→ F(ω)， 则 F(t) ←→ 2πf(-ω) (3.4-15) 或 (3.4-16) 证 则

将变量t与ω互换 所以 2πf(-ω) ←→ F(t) 特别地， 当f(t)是t的偶函数， 那么 F(t) ←→ 2πf(-ω)=2πf(ω) 即有   (3.4-17)

例3.4-6 已知F1(ω)如图3.4-10所示， 利用对称性求f1(t)。

图 3.4-10

解 波形与图3.4-9（a）相似， 是与F1(ω)相似的对称三角波。 其对应的

例3.4-7 已知F1(ω)=E［u(ω+ω0)-u(ω-ω0)］， 利用对称性求f1(t)。   f(t)=E［u(t+τ)-u(t-τ)］  ←→ F(ω) =2Eτ·Sa(ωτ)

图 3.4-11 例3.4-7 F1(ω)

则 F1(ω)=f(ω) (t→ω, τ→ω0) =E［u(ω+ω0)-u(ω-ω0)］ ←→ f1(t)= 1/2π F(t) (ω→t, τ→ω0)

例3.4-8 求 的傅氏变换。 解 由时延特性， 已知 。 利用对称性， 将上式中的t变换成-ω、 t0变换成ω0， 并乘以系数2π， 我们得到另一对变换对 （3.4-18） 利用这一结果， 容易推导正、 余弦周期函数的傅氏变换。

（3.4-19） （3.4-20） cosω0t、 sinω0t的波形与频谱如图3.4-12 所示。

图 3.4-12 正、 余弦信号与其频谱

由 的傅氏变换， 可以推导任意周期函数的频谱函数为 （3.4-21） 证

例3.4-9 求周期单位冲激序列 的傅氏变换, ω0= 2π/T 。 解 先将周期单位冲激序列展开成傅氏级数 其中， Fn如图3.4-13(a)所示。 即

再求这个级数的傅氏变换 (3.4-22)

图 3.4-13 δT(t)的频谱函数

δT(t)的频谱函数如图3.4-13(b)所示。可见， 单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列， 其冲激强度为ω0。 由上例归纳求周期函数的傅氏变换（频谱函数）的一般步骤为： (1） 将周期函数展开为傅氏级数； (2） 对该傅氏级数求傅氏变换（频谱函数）。

9. 奇、 偶、 虚、 实性 f(t)为实函数时， F(ω)的模与幅角、 实部与虚部表示形式为

其中 (3.4-23)

讨论： 一般f(t)为实函数， 则 为ω的偶函数 为ω的奇函数 为ω的奇函数

由式（3.4-23）可知， R(ω)、 |F(ω)|是ω的偶函数； X(ω)、 φ(ω)是ω的奇函数。 特别地f(t)为实偶函数， 我们有 （3.4-24）

由式（3.4-24）可知若f(t)是t的实偶函数， 则F(ω)必为ω的实偶函数。 特别地f(t)为实奇函数， 我们有   （3.4-25） 由式（3.4-25）可知若f(t)是t的实奇函数， 则F(ω) 必为ω的虚奇函数。

10. 时域卷积定理 若f1(t) ←→ F1(ω)， f2(t) ←→ F2(ω)， 则 f1(t)*f2(t) ←→ F1(ω)F2(ω) （3.4-26） 证 (交换积分次序) (利用时延性)

11. 频域卷积定理 若 f1(t) ←→ F1(ω)， f2(t) ←→ F2(ω)， （3.4-27） 证

例3.4-10 若已知f(t)的频谱F(ω)如图3.4-14所示， 试粗略画出f2(t)， f3(t)的频谱图(不必精确， 只指出频谱的范围， 说明展宽情况)

图 3.4-14 例3.4-10的频谱函数

解 f1(t)=f2(t) ←→ F(ω)*F(ω)=F1(ω) 频谱展宽为原来的2倍。 f2(t)=f3(t)←→ F1(ω)*F(ω) = F(ω)*F(ω)*F(ω)=F2(ω)  频谱展宽为原来的3倍。

表3-2 傅氏变换性质（定理）

3.5 LTI系统的频域分析 3.5.1 系统的频响函数 设激励是f(t)， 系统的单位冲激响应为h(t)， 若系统的初始状态为零， 则系统的响应为 y(t)=yzs(t)=f(t)*h(t) (3.5-1)

对式(3.5-1)两边取傅里叶变换， 由卷积定理可得 Y(jω)=F(jω)H(jω) (3.5-2) 其中, H(jω)是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。 系统单位冲激响应h(t)表征的是系统时域特性， 而H(jω)表征的是系统频域特性。 所以H(jω)称做系统频率响应函数， 简称频响函数或系统函数。

式(3.5-2)还可以表示为 (3.5-3)

式中， |H(ω)|是系统的幅（模）频特性， φ(ω)是系统的相频特性。 式(3 式中， |H(ω)|是系统的幅（模）频特性， φ(ω)是系统的相频特性。 式(3.5-3)表明， H(jω)除了可由系统单位冲激响应h(t)表示， 还可以由系统输出（零状态）的傅氏变换与输入傅氏变换表示。 在实际应用中， 稳定系统的频响函数才有意义， 有关稳定系统的内容将在第四章介绍。 由系统不同的表示形式， 可以用不同的方法得到系统函数。

1. 由微分方程求解 已知n阶LTI系统的微分方程的一般表示为 (3.5-4)

对式(3.5-4)两边取傅里叶变换 ［(jω)n+an-1(jω)n-1+...+a1(jω)+a0］Y(jω)  =［bm(jω)m+bm-1(jω)m-1+...+b1(jω)+b0］F(jω) (3.5-5) 由式(3.5-5)得到系统的频响函数为 (3.5-6) 式(3.5-6)表明H(jω)只与系统本身有关， 与激励无关。

例3.5-1 已知某系统的微分方程为 求系统的函数H(jω)。 解 对微分方程两边同时取傅氏变换， 得到

2. 由转移算子求解 已知稳定系统的转移算子， 将其中的p用jω替代， 可以得到系统函数。 H(jω)=H(p)|p=jω (3.5-7) 例3.5-2 已知某稳定系统的转移算子 ， 求系统函数。

3. 由h(t)求解 先求出系统的冲激响应h(t)， 然后对冲激响应h(t)求傅里叶变换。 例3.5-3 已知系统的单位冲激响应 h(t)=5［u(t)-u(t-2)］，求系统函数。 解

例3.5-4 求图3.5-1零阶保持电路的系统函数H(jω)。 图 3.5-1 例3.5-4的零阶保持电路

解 （1） 先求出系统的单位响应h(t)， 当零阶保持电路的f(t)=δ(t)时   x(t)=δ(t)-δ(t-T) 则 对上式求傅氏变换， 得到

（2） 利用系统各部分的傅氏变换， 第一部分是加法器， 输出为 X(jω)=F(jω)(1-e-jωT) 第二部分是积分器， 由上式X(j0)=0， 输出Y(jω)为 两种方法结果相同。h(t)与|H(jω)|如图3.5-2所示。

图 3.5-2 例3.5-3系统的h(t)与H(ω)

4. 由频域电路系统求解 此法与2.2节的算子电路法相似， 可以利用频域电路简化运算。 无初始储能的动态元件时域与频域电压电流关系分别表示为 (3.5-8) (3.5-9)

例3.5-5 如图3.5-3(a)所示电路， 输入是激励电压f(t)， 输出是电容电压y(t)， 求系统函数H(jω)。 图 3.5-3 例3.5-5电路

解 频域电路如图3.5-3(b)所示， 列出方程 (A) (B) 将式(A)代入式(B)

得系统函数 其中, Z(jω)=(jω)2LC+jωRC+1是系统的阻抗函数。

3.5.2 系统的频域分析 由卷积定理我们可以得到频域分析法的基本方框图表示， 如图3.5-4所示。 图 3.5-4 频域分析法基本框图

1. 周期正弦信号的响应 设激励信号 f(t)=sinω0t ←→ F(jω) =jπ［δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)］ 当h(t)为实函数 H(jω)=|H(ω)|e jφ(ω)  H(-jω)=|H(ω)| e -jφ(ω)=H*(ω)

其响应的象函数为 Y(jω)=F(jω)H(jω)=jπH(jω)［δ(ω+ω0)-δ(ω-ω0)］ =jπ［H(-ω0)δ(ω+ω0)-H(ω0)δ(ω-ω0)］

响应为

例3.5-6 已知某系统函数为 ， 求激励f(t)=sinω0t的响应。 解

由例3.5-6可见， 正弦周期信号的响应仍是同频周期正弦信号， 仅幅度、 相位有所改变。 这种响应是稳态响应， 可以利用正弦稳态分析法计算。 所以正弦周期激励信号f(t)=A sin(ω0t+φ)， 通过系统函数为 的系统后， 其响应可以直接表示为 y(t)=A|H(ω0)| sin［ω0t+φ(ω0)+φ］

2. 非正弦周期信号的响应 将非正弦周期信号展开为傅氏级数， 取F变换后， 处理方法与正弦周期信号的响应求解方法相同, 即

yn(t)=Yn(cosnω0t+φyn) 同样， 利用傅氏级数将非正弦周期信号分解为无穷正弦周期信号之和， 分别对每个正弦周期分量求响应， 直接叠加可方便得到非正弦周期信号的响应。 因为 第n次谐波的响应为 yn(t)=Yn(cosnω0t+φyn) 式中 Yn=cn|H(nω0)|, φyn=φn+φ(nω0)

最后总响应

归纳解决非正弦周期信号通过线性系统响应求解的计算步骤为： (1）将激励fT(t)分解为无穷多个正弦分量之和——展开为傅氏级数。 (2） 求出系统函数H(jω)={H(0), H(ω0), H(2ω0), ...}。 (3) 利用正弦稳态分析法计算第n次谐波的响应为 yn(t)=Yn(cosnω0t+φyn)

(4) 各谐波分量的瞬时值相加 实际处理时， 可以根据fT(t)的收敛情况、 系统带宽 等因素， 从第(2）步就只取有限项。

例3.5-7 若系统频率特性 ， 激励信号f(t)=cost+cos3t， 试求系统的响应y(t)。 解

3. 非周期信号的响应 非周期信号通过线性系统的响应可以利用卷积定理， 先求输入信号的傅氏变换及系统的频响， 再将两者相乘得到输出的傅氏变换， 最后经反变换得到时域响应。

例3.5-8 已知系统函数 ， 激励f(t)=e-3t u(t)， 求响应y(t)。 解

由例3.5-8我们看到利用频域分析法解决了系统的零状态响应求解。 优点是时域的卷积运算变为频域的代数运算， 代价是正、 反两次傅氏变换。 还可以看到， 与周期信号的稳态响应不同， 这里是由非周期信号产生的响应， 必有瞬态响应。

3.6 无失真传输系统 在信号传输过程中， 为了不丢失信息， 系统应该不失真的传输信号。 人们也称无失真传输系统为理想传输系统。 信号失真有以下两类。

一类是线性失真， 它包括两方面。 一是振幅失真： 系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减（放大）， 使各频率分量之间的相对振幅关系发生了变化。 二是相位失真： 系统对信号中各频率分量产生的相移与频率不成正比， 使各频率分量在时间轴上的相对位置发生了变化。 这两种失真都不会使信号产生新的频率分量。

另一类是非线性失真， 是由信号通过非线性系统产生的， 特点是信号通过系统后产生了新的频率分量。 工程设计中针对不同的实际应用， 对系统有不同的要求。 对传输系统一般要求不失真， 但在对信号处理时失真往往是必要的。 在通信、 电子技术中失真的应用也十分广泛， 如各类调制技术就是利用非线性系统， 产生所需要的频率分量； 而滤波是提取所需要的频率分量， 衰减其余部分。 本节从时域、 频域两个方面讨论线性系统所具有的线性失真， 即振幅、 相位失真。

所谓无失真传输是信号通过系统的输出波形与输入相比， 只有幅度大小及时延的不同而形状不变， 如图3.6-1所示。

图 3.6-1 无失真传输

设激励信号为f(t)， 响应为y(t)， 则系统无失真时， 输出信号应为 y(t)=kf(t-t0) (3.6-1) 其中, k是系统的增益， t0是延迟时间， k与t0均为常数。 由式(3.6-1)得到理想传输系统的时域不失真条件： 一是幅度乘以k倍， 二是波形滞后t0。 又因为y(t)=f(t)*h(t) ， 式(3.6-1)可表示为 y(t)=f(t)*kδ(t-t0) (3.6-2) 所以无失真传输系统的单位冲激响应为 h(t)=kδ(t-t0) (3.6-3)

对式(3.6-3)两边取傅氏变换， 可得 (3.6-4) 对应的幅频及相频特性如图3.6-2所示。

图 3.6-2 无失真传输系统的幅频及相频特性

式(3.6-4)是理想传输系统的频域不失真条件。 它要求系统具有无限宽的均匀带宽， 幅频特性在全频域内为常数； 相移与频率成正比， 即相频特性是通过原点的直线。 图3.6-3 是无失真传输与有相位失真波形的比较。

图 3.6-3 无失真传输与有相位失真的波形

由图3.6-3可见， 信号通过无失真传输系统的延时时间是相位特性的斜率。 实际应用中相频特性也常用“群时延”表示， 群时延定义为 (3.6-5) 由式（3.6-4）与式（3.6-5）不难推得信号传输不 产生相位失真的条件是群时延为常数。

例3.6-1 已知某系统的振幅、 相位特性如图3.6-4所示， 输入为x(t)， 输出为y(t)。 求： (1) 给定输入x1(t)=2 cos10πt+sin12πt及 x2(t)=2 cos10πt+sin26πt时的输出y1(t)、 y2(t)； (2) y1(t)、 y2(t)有无失真？若有指出为何种失真。

图 3.6-4 例3.6-1传输系统的幅频及相频特性

解 由图3.6-4可知该系统的振幅、 相位函数为

由振幅、 相位函数可知信号频率在ω≤20π范围内， 系统增益为k=2； 信号频率在20π≤ω≤40π 范围内， 系统增益k=1； 信号频率ω>40π， 系统增益k=0。 信号频率在ω≤30π 范围内， 系统相移与频率成正比， 其时延t0=1/60； 信号频率ω>30π后， 系统相移与频率不成正比， 均为π/2。 由无失真传输条件， 可得输入信号在0≤ω≤20π或20≤ω≤30π范围内， 输出信号无失真。

利用频域分析方法可得激励为x1(t)、 x2(t)时的响应为 输入信号在0≤ω≤20π范围内， 输出信号无失真。

输入信号在0≤ω≤30π范围内， 输出有振幅失真。 从这个例题我们看到， 在实际应用时， 虽然系统不满足全频域无失真传输要求， 但在一定的条件及范围内可以近似无失真传输或线性。 这表明系统可以具有分段无失真或线性， 这种方法在工程中经常用到。

*3.7 理想低通滤波器与物理可实现系统 经典滤波的概念往往与选频有关， 因为在许多实际应用中， 系统需要保留信号的部分频率分量， 抑制另一部分频率分量， 用以提取所需信号。 例如要从电视机天线上所有的信号中， 选出所需要频道的信号， 就要利用滤波器。 现代滤波的概念更加广泛， 凡是信号频谱经过系统后发生了改变， 都认为是滤波。 本书所涉及的滤波是经典滤波。

有各种各样的滤波器， 最典型的有通带幅频特性为1， 阻带幅频特性为0的理想滤波器。 如理想低通、 理想高通、 理想带通、 理想带阻滤波器等， 其幅频特性如图3.7-1所示。 理想滤波器的特点是对信号中要保留的频率分量直通， 而将其余部分衰减到零。 本节只讨论理想低通滤波器。 通过用频域分析法分析典型信号通过理想低通的响应， 讨论脉冲响应建立时间与系统带宽的关系， 系统的可实现等问题。

图 3.7-1 理想滤波器的幅频特性

3.7.1 理想低通滤波器及其冲激响应 理想低通滤波器的频率特性如图3.7-2所示， 传递函数为 (3.7-1) 式中, ωc是通带截止频率； -t0是相位斜率（或群 时延）。

图 3.7-2 理想低通滤波器的频率特性

这样的理想低通滤波器的频带宽度等于通带截止频率ωc， 它对激励信号低于ωc的频率分量可以无失真传输（幅度均匀放大， 时延t0）， 而高于ωc的频率分量则被完全抑制。 理想低通的单位冲激响应为 (3.7-2) 理想低通的输入与单位冲激响应如图3.7-3所示。

图 3.7-3 理想低通滤波器的输入与单位冲激响应

由图3. 7-3可见， 对在t=0时刻加入的激励， 其响应的最大值出现在t0处， 说明响应建立需要时间。 由图3 由图3.7-3可见， 对在t=0时刻加入的激励， 其响应的最大值出现在t0处， 说明响应建立需要时间。 由图3.7-3还可见， 响应不仅延时了t0， 并在响应脉冲建立的前后出现了起伏振荡。 从理论上讲， 振荡一直延伸到±∞处。 这是由信号的幅度失真造成的， 因为相当一部分的高频分量被完全抑制了。 t<0时有响应出现表明系统是非因果的， 而违背了因果律的系统是物理不可实现的。

3.7.2 理想低通滤波器的阶跃响应 我们以阶跃信号为典型信号， 讨论其通过理想低通的响应， 是因为阶跃信号的前沿很陡，含有丰富的高频分量。 分析阶跃响应所得到的脉冲建立时间与通带的关系， 与实际情况基本一致， 具有典型的应用价值。 理想低通的阶跃响应g(t)为

令ω(τ-t0)=x代入上式 其中, 定积分 ， 因此 (3.7-3)

图 3.7-4 与Si(y)曲线

图 3.7-5 理想低通的阶跃响应

(1) 响应g(t)时间滞后 若以g(t)= 1/2 作为响应的开始时间， 则由 解出延时t=t0， 这正是线性相移的斜率。

(2) 响应g(t)建立需要时间（脉冲上升时间） 若定义g(t)在t=t0处斜率的倒数为响应建立时间tr， 则 (3.7-4a) 若取g(t)从最小值上升到最大值为响应建立时间tr1， 由图3.7-4可得 (3.7-4b)

式(3.7-4)的两种表示都说明响应建立时间与通带带宽成反比， 通带越宽响应上升时间越短， 反之亦然。 一般滤波器的响应建立时间与通带带宽的乘积是常数， 例如以上所分析的理想低通的trfc=0.5。

(3) t<0有输出 由图3.7-5再次看到输出波形的起伏振荡延伸到了t<0的时间区域。 注意到激励是t=0时刻加入的， t<0时有响应出现说明系统是非因果的。 (4) 吉布斯现象 由对Si(y)的正弦积分， 响应的最大峰值点在y=π处， 且 Si(y)|y=π=1.8514

则 (3.7-5) 如图3.7-4所示， 在处有近9%的上冲。

从频域角度看， 理想滤波器就像一个 “矩形窗”。 “矩形窗”的宽度不同， 截取信号频谱的频率分量就不同。 利用矩形窗滤取信号频谱时， 在时域的不连续点处会出现上冲。 增加ωc可以使响应的上升时间减少， 但却无法改变近9%的上冲值， 这就是吉布斯现象。 例如图3.7-6所示， 两种不同带宽的理想低通， 对同一矩形脉冲的响应， 其上冲值相同。 只有改用其它形式的窗函数滤取信号频谱时， 有可能消除上冲。

图 3.7-6 不同带宽的理想低通对矩形脉冲的响应

例3.7-1 电路系统及激励f(t)=u(t)如图3.7-7所示， 用频域法求解系统频响函数及系统响应y(t)。 图 3.7-7 例3.7-2电路系统及激励

解 先求解系统函数 式中, ωc= 1/RC , 其幅频、 相频特性如图3.7-8所示。 由图可见该系统是一低通滤波器。 幅频特性与理想特性最大的区别是逐步衰减趋于零， 没有间断点。

图 3.7-8 例3.7-1电路系统频率特性

再求系统输出响应y(t)

图 3.7-9 例3.7-1电路系统输出响应

系统响应如图3.7-9所示。 由图3.7-9可见， 响应y(t)与激励f(t)不同的是, 在t=0时， f(t)没有跳变为1， 而是经过一段上升过程， 随着时间趋于无穷才达到1。 通常响应y(t)上升到幅度的0.9时， 误差已满足工程需要。 因此可以定义响应y(t)从0上升到0.9的时间tr为系统响应的上升时间。 将此代入到输出y(t)公式中 (3.7-6) 由式(3.7-6)解出 tr≈RC ln10 (3.7-7)

可见， tr∝RC， RC是该系统的时常数。 若与3分贝截止频率相乘， 有 (3.7-8)

式(3.7-8)再一次说明， 其上升时间与带宽的乘积就是一个常数。 上升时间与带宽的乘积是常数， 并与系统参数的具体值无关， 这虽然是由一阶电路推导的结论， 却是普遍适用的。 大多数系统的上升时间与带宽的乘积在0.3~0.5之间。 除了滤波， 实际应用中还可能遇到补偿（逆）滤波的问题， 举例说明。

例3.7-2 如图3.7-10所示系统， 信号f(t)经零阶保持电路输出为y(t)， 求使系统输出为f(t)的Ho(jω)。 图 3.7-10 例3.7-2的反滤波系统

解 由例3.5-4已求出系统的零阶保持电路部分的系统函数为 整个系统的系统函数为

所以 如果认为本例的H1(jω)是滤波系统， 则 可认为是补偿（逆）滤波系统。

3.7.3 频带宽度 实际系统（滤波器）或信号的频带宽度（简称带宽）是描述系统（滤波器）或信号的重要指标之一。 因为实际系统的频响一般是连续的， 如例3.7-1， 所以有两类定义频带宽度的方法， 一类是从振幅衰减的角度定义频带宽度： 例如频谱响应函数的第n（一般n=1）个零点， 如Sa(ω)的频响或振幅最大值的1/m。

另一类是从能量的角度定义频带宽度。 若以零频（或幅度为1）为基准， 定义能量的对数衰减为 (3.7-9) 则例3.7-1在ω=ωc处， 信号能量减半， 其对数衰减为

由式(3. 7-9)得到的信号能量减半的频率是滤波器的3dB带宽截止角频率，因此称其为该滤波器的3 dB带宽。 例3 由式(3.7-9)得到的信号能量减半的频率是滤波器的3dB带宽截止角频率，因此称其为该滤波器的3 dB带宽。 例3.7-1的ωc是该滤波器的3 dB带宽， 又因为ωc=1/(RC)=2πfc， 所以fc为该系统的3 dB截止频率。 这种以能量下降3 dB的频率间隔作带宽， 适用于有一主峰的滤波器， 如图3.7-11所示（设主峰在0频处）。

图 3.7-11 3 dB带宽的系统

3.7.4 物理可实现系统 通过对理想低通滤波器的时域特性分析， 可知理想低通滤波器是物理不可实现的系统。LTI系统是否为物理可实现， 时域与频域都有判断准则。 LTI系统是物理可实现的， 时域准则是系统的单位冲激响应满足因果性， 即 h(t)=0, t<0 (3.7-10) 若系统的幅度函数|H(ω)|满足平方可积， 即 (3.7-11)

由佩利-维纳给出的频域准则为： 物理可实现系统的必要条件是 (3.7-12)

幅度函数不满足这个准则的， 其系统必为非因果的。 这个准则既限制因果系统的幅度函数不能在某一频带内为零， 也限制幅度特性衰减不能太快。 因为当|H(ω)|在ω1<ω<ω2为零时， 则ln|H(ω)|→∞， 使式(3.7-12)积分不收敛， 即 所以准则只允许在某些不连续点的幅值为零， 但不允许某个频带的幅值为零， 并且一些幅度特性衰减太快的系统函数也是物理不可实现的。

例3.7-3 讨论具有钟形幅度特性的系统的物理可实现性。 解 系统的钟形幅度特性为 ， 对模平方函数积分有

满足平方可积， 代入式(3.7-12)佩利-维纳准则有 显然积分不收敛， 是物理不可实现的系统。

由佩利-维纳准则可以推知, 所有的理想滤波器都是物理不可实现的。 研究它们的意义在于：所有可实现系统， 总是按照一定的规律去逼近理想滤波器。 逼近的数学模型不同， 可以得到不同的滤波器。 如巴特瓦思滤波器、 切比雪夫滤波器等， 都是在一定的程度上逼近理想滤波器的设计方法。 所以只要实际滤波器以某种方式逼近理想滤波器的方法存在， 就不失讨论理想滤波器的意义。

一般由有理多项式函数构成的幅度特性都是满足佩利-维纳准则的。 当然， 并非满足该准则的幅度特性， 加上任意的相位特性就可以构成物理可实现系统。 幅度准则只是一个物理可实现系统的必要条件， 还必须有合适的相位特性与之匹配。 合适的幅频与相频特性可由希尔伯特变换解决， 有兴趣的读者可参考有关资料。

3.8 时域采样与恢复（插值） 离散信号是在不连续的点上有确定值的信号。 这些不连续的间隔可以是均匀的， 也可以是不均匀的， 本书所讨论的间隔是均匀的。 离散信号可以是实际存在的信号， 如医院人口出生统计等， 也可以是对连续时间信号的采样。 时域采样是用数字技术处理连续信号的重要环节。 采样就是利用 “采样器”， 从连续信号中“抽取”信号的离散样值， 如图3.8-1所示。

图 3.8-1 信号的采样

这种离散的样值函数通常称为“采样”信号。 采样信号是离散信号， 一般用fs(t)表示。 采样信号在时间上离散化了， 但它还不是数字信号， 还需经量化编码转变为数字信号。 所以数字信号是时间离散化、 样值量化的信号。 若本书中不特别指明， 离散信号与数字信号则通用。

在这节中首先讨论对连续信号的采样以及采样信号的频谱， 然后讨论在什么条件下， 采样信号能保留原连续信号的全部信息， 以及如何从采样信号中恢复原信号。 从若干样本值恢复信号， 与做实验曲线有些相似。 实验中一般只能测出若干点上的实验值, 将这些实验值用光滑曲线连起来就是实验曲线, 但取多少点合适? 点取少了会把一些重要变化漏掉, 点取多了使实验工作量太大， 只有合适的点数才能保证实验结果正确。 与此相似， 适当的采样率是信号恢复的重要条件， 也是采样定理解决的问题。

3.8.1 时域采样 最简单的采样器如图3.8-2(a)所示， 是一个电子开关。 开关接通， 信号通过，开关断开， 信号被短路。 而这个电子开关的作用， 可以用一个如图3.8-2(b)所示的乘法器等效， 图中的p(t)是周期性开关函数。 当p(t)为零时， 乘法器输出为零， 等效为开关断开， 信号通不过去， 反之亦然。 这样采样信号fs(t)可表示为 fs(t)=f(t)p(t) （3.8-1） 式中, p(t)是周期为T的周期函数， 相应的采样频率fs=1/T， ωs=2πfs=2π/T。

图 3.8-2 采样器与等效模型

经过采样， 连续信号f(t)变为离散信号fs(t)， 下面讨论采样信号fs(t)的频谱函数Fs(ω)， 以及它与原信号频谱F(ω)的关系。 先求周期开关函数p(t)的频谱， 其傅氏级数为 （3.8-2）

由式（3.8-2）p(t)的频谱可求采样信号fs(t)的频谱。 因为fs(t)是f(t)与p(t)的相乘， 由频域卷积定理可知， 此时频谱应为两者的卷积， 有 将式（3.8-2）代入上式， 得到 （3.8-3）

式(3.8-3）表明， 时域采样信号频谱Fs(ω)， 是原信号频谱F(ω)以采样角频率ωs为间隔的周期重复， 其中Pn为加权系数。 当开关函数p(t)是周期冲激序列时也称理想采样， 此时 （3.8-4） （3.8-5）

把式（3.8-5）代入式（3.8-3）可得 （3.8-7）

式（3.8-7）表示， 理想采样的频谱Fs(ω)是原信号频谱F(ω)的加权周期重复， 其中周期为ωs， 加权系数是常数1/T。 理想采样信号与频谱如图3.8-3所示。 如果我们从调制的角度分析式（3.8-7）， 可以认为式中的F(ω)是基带频谱， 而F(ω±ωs)是一次谐波调制频谱， F(ω±2ωs)是二次谐波调制频谱， 以此类推。 这样， 理想采样的频谱Fs(ω)是由基带频谱与各次谐波调制频谱组成的。

图 3.8-3 理想采样信号与频谱

周期冲激采样可以认为是周期矩形采样τ→0的极限情况， 采样后信号频谱是原频谱的周期重复且幅度一样， 所以也称理想采样。 实际的采样信号都有一定的脉冲宽度， 不过当τ相对采样周期T足够小时， 可以近似认为是理想采样。

3.8.2 采样定理 由对理想采样信号频谱Fs(ω)的讨论， 我们知道Fs(ω)是原信号频谱F(ω)的周期重复， 重复周期的间隔为ωs。 假设F(ω)是带限信号， 由图3.8-4可见不同的ωs对Fs(ω)的影响不同。 当ωs≥2ωm时， 基带频谱与各次谐波频谱彼此是不重叠的， Fs(ω)是F(ω)无混叠的周期延拓， 基带频谱保留了原信号的全部信息； 可用一个理想低通（虚线框）提取出基带频谱， 从而恢复f(t)； 而当ωs<2ωm时， Fs(ω)的基带频谱与谐波频谱有混叠， 无法提取基带频谱， 也就不可能不失真恢复原信号f(t)。

图 3.8-4 采样频率不同时的频谱

通过以上的图解过程可以说明采样定理： 一个频谱受限信号f(t)的最高频率为fm， 则f(t)可以用不大于T=1/(2fm)的时间间隔的采样值惟一地确定。 采样定理表明了在什么条件下， 采样信号能够保留原信号的全部信息。 这就是 （3.8-8） 或 (3.8-9)

例 3.8-1 确定信号f(t)=Sa(50πt)的奈奎斯特频率。 这是最高角频率为ωm=50π rad/s的矩形频谱， 信号的最高频率fm=25 Hz， 所以f(t)的奈奎斯特频率fs=50 Hz。

采样定理解决了在什么条件下， 采样信号能够保留原信号全部信息的问题。 下面的问题是如何从采样信号中恢复原来的连续信号？从工程实现的角度， 可以利用低通滤波器提取原信号的频谱， 从数学的角度称作函数的插值。

3.8.3 原信号的恢复 由图3.8-4无混叠的Fs(ω)中提取原信号f(t)的频谱F(ω), 可以用一矩形频谱函数（理想低通）与Fs(ω)相乘， 如图3.8-5所示。 Fs(ω)H(ω)=F(ω) （3.8-10） 式中 （3.8-11）

H(ω)是理想低通滤波器,可以从满足采样定理的fs(t)中恢复原信号,其中低通的截止频率应满足： ωm≤ωc≤ωs-ωm （3.8-12）

图 3.8-5 由理想低通恢复原信号的过程

在理想采样情况下 恢复信号可由卷积定理推得 f(t)=fs(t)*h(t) （3.8-13） H(ω)的反变换为 （3.8-14）

把式（3.8-14）代入式（3.8-13）， 得到 （3.8-15） 式中, Sa［ωc(t-nT)］是抽样函数， 也称内插函数。 若将ωs=2ωm， ωc=ωm代入式（3.8-15）， 则 （3.8-16）

上式说明, f(t)可由无穷多个加权系数为f(nT)的抽样（内插）函数之和恢复。 在采样点nT上， 只有峰值为f(nT)的采样函数不为零， 使得采样点上f(t)|t=nT=f(nT)； 而采样点之间的f(t)由各加权内插函数延伸叠加形成。 信号的恢复如图3.8-6所示。

图 3.8-6 信号的恢复

图 3.8-7 实际滤波器频响

由理想滤波器的分析可知， 理想低通是物理不可实现的非因果系统。 而一般实际非理想低通的幅频特性进入截止区后又不够陡直， 如图3 由理想滤波器的分析可知， 理想低通是物理不可实现的非因果系统。 而一般实际非理想低通的幅频特性进入截止区后又不够陡直， 如图3.8-7所示。 所以除了原信号的频谱分量外, 实际采样信号经过实际低通滤波器后， 还会有相邻部分的频率分量, 使重建信号与原信号有差别。 解决的方法是提高采样频率fs或用更高阶(性能好)的滤波器。

另外， 实际信号的频谱也不会是严格的带限信号, 只是随着频率升高， 振幅|F(ω)|很快衰减而已。 这就是说， 一般采样后的频谱总会有重叠部分, 即使利用理想低通也不可能完全恢复原信号。 通常认为信号有一定的有效带宽, 或在实际工作中采用预滤波， 这样使某个有效的频率以外的分量可以忽略不计, 这在工程上是允许的。 因此只要ωs足够高, 滤波器特性又足够好， 保证在一定精度条件下， 原信号的恢复是可能的。

*3.9 相 关   相关是时域中描述信号特性的一种重要方法， 通常被用来分析随机信号的统计特性。 由于本书涉及的是确定信号, 因此本节只讨论确定信号的相关特性， 着重介绍相关函数的定义、 计算与相关定理。 书中所定义的相关函数以及特性亦具有普遍意义， 最具实用意义的是信号相关函数与能量谱、 功率谱函数的关系。

3.9.1 相关系数 在信号分析中有时要比较两个信号是否相似。 一般可以用误差能量 来度量确定信号的相似性。 设x(t)、 y(t)为两个确定信号， 误差能量定义为 (3.9-1) 式中, k为系数， 选择合适的k使ky(t)与x(t)的误差 能量 最小， 即

将 代入式(3.9-1)中得 (3.9-2)

定义相对误差能量为 (3.9-3) 式中, 为相关系数。

因为 所以相关系数满足关系 |ρxy|≤1 (3.9-4)

特别有, ρxy=1， x(t)、 y(t)线性相关， 形状完全相似， 误差能量 ； ρxy=-1， x(t)、 y(t)线性相关， 形状完全相反， 误差能量 ； ρxy=0， x(t)、 y(t)线性无关， 形状完全不同。

两个无时差信号的相似性可以用相关系数来表示， 当遇到两个有时差信号， 例如无线接收机收到的两个不同（电离层反射）路径的信号， 这时相似性研究就需要用相关函数表示。 相关函数研究的是信号在时移过程中的相关性。

3.9.2 相关函数 对两个不同信号或同一个信号在时移过程中的相似性研究， 分别用互相关函数与自相关函数来表示。 1. 互相关函数 定义两个能量信号x(t)、 y(t)的互相关函数为 (3.9-5a)

同理, (3.9-5b) 若x(t)、 y(t)均为实能量信号， 则 (3.9-6a) (3.9-6b)

式(3.9-5)与式(3.9-6)表明互相关函数中两个信号的顺序不能互换， 即一般Rxy(τ)≠Ryx(τ)。 定义两个功率信号x(t)、 y(t)的互相关函数为

若x(t)、 y(t)均为实功率信号， 则 (3.9-8a) (3.9-8b)

2. 自相关函数 若式(3.9-5)与式(3.9-7)中的x(t)=y(t)， 互相关函数便成为自相关函数, 此时Rxx(τ)一般用R(τ)表示为 (3.9-9a) 若x(t)为实能量信号， 自相关函数可表示为 (3.9-9b)

若x(t)为功率信号， 自相关函数可表示为 (3.9-10a) 若x(t)为实功率信号， 自相关函数可表示为 (3.9-10b)

3. 归一化相关函数 与许多参数类似， 相关函数还可以作归一化处理。 归一化自相关函数 或 (3.9-11) 归一化互相关函数 (3.9-12)

相关系数与归一化函数的关系 (3.9-13)

3.9.3 相关的性质 为使以下讨论更简捷， 假定信号均为实信号。 (1) Rxy(τ)=Ryx(-τ) (3.9-14) 证

(2) R(τ)=R(-τ) (3.9-15) 证 该式表明R(τ)是τ的偶函数。 (3) 该式表示R(0)是x(t)的能量。

(4) R(0)≥R(τ) (3.9-17) 相同波形在时间上重合在一起时， 得到的相关函数最大。 证 因为

又因为 所以 R(0)≥R(τ)

(5) 周期函数的自相关函数 周期函数的自相关函数也是同周期的函数。 证 将 代入上式

交换上式的运算次序， 且令： 由指数函数正交性 ， 使 得R(τ)积分式中的许多项为零， 这样

所以 上式为周期函数的自相关函数， 式中F-n=F*n。

3.9.4 相关的计算 由式(3.9-5)可见相关计算与卷积方法相同之处有： 位移、 相乘、 积分； 不同之处是： 相关计算中没有折叠， 当然相关计算也可利用卷积方法计算， 为此具体比较相关与卷积的计算。 卷积:

相关 将t与τ互换 同理可得 Ryx(τ)=y(t)*x(-t) (3.9-19)

式(3.9-19)表明了卷积计算相关的方法， 下面通过具体例题讨论相关的计算。   例3.9-1 计算如图3.9-1所示x(t)、 y(t)的相关函数Rxy(τ)。

图 3.9-1 例3.9-1的波形

图 3.9-2 例3.9-1相关计算方法之一

图 3.9-3 例3.9-1相关计算方法之二

图 3.9-4 例3.9-1相关计算方法之三

解 方法一: 如图3.9-2所示， 对y(t-τ)有： τ<0时， y(t-τ)左移； τ>0时， y(t-τ)右移。 计算与解题过程如下:

方法二: 如图3.9-3所示， 对x(t+τ)有： τ<0时， x(t+τ)相对x(t)波形右移; τ>0时, x(t+τ)相对x(t)波形左移。 计算与解题过程如下:

方法三:

解题过程如图3.9-4所示。

3.9.5 相关定理 (1) 若 x(t) ←→ X(ω), y(t) ←→ Y(ω)， 则 Rxy(τ) ←→ X(ω)Y*(ω) (3.9-20) 证 令t-τ=x， 上式变为

再令x=t， 得到 或

即 y*(t) ←→ Y*(-ω) y*(t+τ) ←→ Y*(-ω)e jωτ y*(-t+τ) ←→ Y*(ω)e -jωτ

所以 同理可证Ryx(τ) ←→ Y(ω)X*(ω)

(2) 若 x(t)=y(t)， 则 R(τ) ←→ X(ω)X*(ω)=|X(ω)|2 (3) 若x(t)是实偶函数， 则相关定理与卷积定理结果相同。 R(τ)=x(t)*x(-t)=x(t)*x(t) ←→ X(ω)X(-ω)=X(ω)X(ω)=X(ω)2

例3.9-2 求周期余弦信号x(t)=E cosω1t的自相关函数。 解 可见周期信号的自相关仍为同周期的函数。

*3.10 能量谱和功率谱 在讨论能量谱密度函数与功率谱密度函数之前， 先介绍几个有关的名词。 (1) 归一化能量 *3.10 能量谱和功率谱 在讨论能量谱密度函数与功率谱密度函数之前， 先介绍几个有关的名词。 (1) 归一化能量 电压(电流)信号f(t)加于一欧姆电阻上所耗散的能量。 (3.10-1)

仅当积分为有限值时定义成立， 这样的信号也叫能量信号。 当以上积分是无穷大时， 能量的概念没有意义。 这时可以考虑的是能量的时间平均值， 它显然是信号的平均功率， 这样的信号叫做功率信号。

(2) 归一化平均功率 电压(电流)信号f(t)通过一欧姆电阻所消耗的平均功率。 即 (3.10-2) 平均功率亦称f(t)的均方值或方均值。

证

(3) 信号的方均根值 除了方均值外， 还有信号的方均根值 (3.10-3) 能量与功率是信号分析中的重要概念， 第一章已经介绍过能量与功率的时域表示， 下面借助相关函数从频域的角度表示能量与功率， 即由能量谱与功率谱表示的能量与功率。

3.10.1 能量谱密度 能量信号f(t)的自相关函数为 令τ=0代入上式， 得到 (3.10-4)

式(3.10-4)是信号能量的时域表示， 由相关定理知道信号的自相关函数R(τ)与信号的模平方函数|F(ω)|2是一对傅氏变换对， 即R(τ) ←→ |F(ω)|2， 则由|F(ω)|2表示的自相关函数为 令τ=0代入上式， 得到 (3.10-5)

由式(3.10-4)和式(3.10-5)得到 (3.10-6)

式(3.10-6) 即为帕斯瓦尔定理， 它表明信号的时域能量等于信号频域的能量， 即信号经傅氏变换其总能量保持不变， 符合能量守恒定律。 特别的若f(t)为实信号， 则式(3.10-6)可表示为 (3.10-7)

因为模平方函数|F(ω)|2反映了信号能量在频域的分布情况， 所以我们定义它为能量谱密度函数， 简称能量谱， 用符号 E(ω)表示为 (3.10-8)

由式(3.10-8)不难看出 E(ω)是实偶函数， 它只保留了信号的振幅信息， 而无相位信息。 由帕斯瓦尔定理得到的能量频域表示， 还可表示为 (3.10-9) 式(3.10-9)中 E(f)的单位为J（焦尔）/Hz（赫兹）。

由相关定理及能量谱定义， 得到信号的自相关函数R(τ)与信号的能量谱 E (ω)是一对傅氏变换对， 即有

例3.10-1 求单个矩形脉冲f(t)的能量谱 E(ω)并作图。 解 f(t)、 E(ω)如图3.10-1所示。

图 3.10-1 例3.10-1的f(t)、 E(ω)

3.10.2 功率谱密度函数 对功率信号而言最重要的参数是平均功率， 即信号的均方值(方均值)。 用得到能量谱的方法， 我们可以得到功率谱密度函数。 1. 功率谱密度函数定义 令fT(t)为f(t)的截短函数如图3.10-2所示， 即 (3.10-11) (3.10-12)

图 3.10-2 f(t)的截短函数

这样信号的平均功率可由功率谱密度表示 (3.10-13) 式(3.10-13)的单位为W(瓦特)/Hz(赫兹)。

2. P(ω)与R(τ)的关系 功率信号的自相关函数定义为

求其傅氏变换  (3.10-14)

式(3.10-14)表明功率信号的自相关函数R(τ)与功率谱 P(ω)是一对傅氏变换对。 可以证明当功率信号为周期信号时， 其功率谱为 (3.10-15) R(τ)与功率谱 P(ω)的关系表示为 (3.10-16)   式(3.10-16)也称为维纳—欣钦公式。

例3.10-2 求余弦信号f(t)=E cosω0t的功率谱与自相关函数。 解

从能量谱和功率谱定义可见， 它们都只保留了信号的振幅信息(振幅的平方)， 而舍去了相位信息。 所以凡变化规律相同， 仅时间起点不同的信号具有相同的能量谱或功率谱。

能量谱和功率谱的一个重要应用是定义系统的带宽。 前面已给过系统带宽的定义， 若以主要能量或功率集中的频带范围为信号带宽， 还可以从能量(平均功率)的角度确定系统的带宽。 能量及功率信号的带宽分别为 式中, η为比例系数， 一般η≥90%。