第六章 多元时间序列分析

本章结构 平稳时间序列建模 虚假回归 单位根检验 协整 误差修正模型

6.1 平稳时间序列建模 ARIMAX模型结构(动态回归模型)

例6.1 在天然气炉中，输入的是天然气，输出的是 ， 的输出浓度与天然气的输入速率有关。现在以中心化后的天然气输入速率为输入序列，建立 的输出百分浓度模型。

输入/输出序列时序图 输入序列 输出序列

X=read.csv("F:\\public_html\\input.csv",head=F) Y=read.csv("F:\\public_html\\output.csv",head=F)

x=c(t(X)) y=c(t(Y)) par(mfrow=c(1,2)) ts.plot(x) ts.plot(y)

par(mfrow=c(1,2)) acf(x) pacf(x) acf(y) pacf(y)

一元分析 拟合输入序列 拟合输出序列

xar=arima(x,order=c(3,0,0)) yar=arima(y,order=c(4,0,0)) xr=resid(xar) yr=resid(yar)

par(mfrow=c(2,2)) acf(xr) pacf(xr) acf(yr) pacf(yr)

Box.test(x,lag=6) Box.test(x,lag=12) Box.test(xr,lag=6) Box.test(xr,lag=12)

Box.test(y,lag=6) Box.test(y,lag=12) Box.test(yr,lag=6) Box.test(yr,lag=12)

k阶协方差函数 k阶相关系数

多元分析 协相关图

拟合回归模型 模型结构 模型口径

拟合残差序列 偏自相关图 残差拟合模型

拟合模型 模型结构 比较 一元模型 AIC=196.3 SBC=211.1 多元模型 AIC=8.3 SBC=34.0

k=5 cor(y[-c(1:k)],x[-c((length(x)-k+1):length(x))]) cor(x[-c(1:k)],y[-c((length(x)-k+1):length(x))])

n=length(x) Xx=cbind(y[5:(n-1)],x[3:(n-3)],x[2:(n-4)],x[1:(n-5)]) Yy=y[6:n] lmyx=lm(Yy~Xx) summary(lm(Yy~Xx))

yxr=residuals(lmyx) Box.test(yxr,lag=6) acf(yxr) pacf(yxr) yxrar=arima(yxr,order=c(3,0,0)) Box.test(resid(yxrar),lag=6)

ARIMAX模型拟合效果图

6.2 虚假回归 假设条件 检验统计量 虚假回归，当数据不平稳，不再服从t分布导致

6.3 单位根检验 定义 通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上（外），来检验序列的平稳性 方法 DF检验 ADF检验 PP检验

DF检验 假设条件 原假设：序列非平稳 备择假设：序列平稳 检验统计量 时

DF统计量 时

DF检验的等价表达 等价假设 检验统计量

DF检验的三种类型 第一种类型 第二种类型 第三种类型

例6.2 对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数序列 和生活消费支出对数序列 进行检验

例6.2 时序图

例6.2 输入序列的DF检验

例6.2 输出序列的DF检验

ADF检验 DF检验只适用于AR(1)过程的平稳性检验 。为了使检验能适用于AR(p)过程的平稳性检验，人们对检验进行了一定的修正，得到增广检验（Augmented Dickey－Fuller），简记为ADF检验

ADF检验的原理 若AR(p)序列有单位根存在，则自回归系数之和恰好等于1

ADF检验 等价假设 检验统计量

ADF检验的三种类型 第一种类型 第二种类型 第三种类型

例6.2续 对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数差分后序列 和生活消费支出对数差分后序列 进行检验

例6.2 序列的ADF检验

例6.2 序列的ADF检验

PP检验 ADF检验主要适用于方差齐性场合，它对于异方差序列的平稳性检验效果不佳 Phillips和 Perron于1988年对ADF检验进行了非参数修正，提出了PP检验统计量。 PP检验统计量适用于异方差场合的平稳性检验，且服从相应的ADF检验统计量的极限分布

PP检验统计量 其中：

例6.2续 对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数差分后序列 和生活消费支出对数差分后序列 进行PP检验

例6.2 序列的pp检验

例6.2 序列的PP检验

例6.2 二阶差分后序列的PP检验

x<-scan() 133.6 160.7 191.3 223.4 270.1 309.8 355.3 397.6 423.8 462.6 544.9 601.5 686.3 708.6 784 921.6 1221 1577.7 1926.1 2090.1 2162 2210.3 2253.4 2366.4 2476

y<-scan() 116.1 134.5 162.2 190.8 220.2 248.3 273.8 317.4 357 398.3 476.7 535.4 584.6 619.8 659.8 769.7 1016.8 1310.4 1572.1 1617.2 1590.3 1577.4 1670.1 1741 1834

library(tseries) adf.test(x) adf.test(y) pp.test(x) pp.test(y)

x1=log(x) y1=log(y) adf.test(x1) adf.test(y1) pp.test(x1) pp.test(y1)

x2=diff(x1,differences=2) y2=diff(y1,differences=2) adf.test(x2) adf.test(y2) pp.test(x2) pp.test(y2)

6.4 协整 单整的概念 如果序列平稳，说明序列不存在单位根，这时称序列为零阶单整序列，简记为 假如原序列一阶差分后平稳，说明序列存在一个单位根，这时称序列为一阶单整序列，简记为 假如原序列至少需要进行d阶差分才能实现平稳，说明原序列存在d个单位根，这时称原序列为阶单整序列，简记为

单整的性质 若 ，对任意非零实数a，b，有 若 ， 对任意非零实数a，b，有 若 ， 对任意非零实数a，b，有

协整的概念 假定自变量序列为 ，响应变量序列为 ，构造回归模型 假定回归残差序列 平稳，我们称响应序列 与自变量序列 之间具有协整关系。

协整检验 假设条件 检验步骤 原假设：多元非平稳序列之间不存在协整关系 备择假设：多元非平稳序列之间存在协整关系 建立响应序列与输入序列之间的回归模型 对回归残差序列进行平稳性检验

例6.2续 对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数序列 和生活消费支出对数序列 进行EG检验。

构造回归模型 拟合模型 一元线性模型 估计方法 最小二乘估计 拟合模型口径

lmxy=lm(y1~x1-1) summary(lm(y1~x1-1)) xyr=residuals(lmxy) adf.test(xyr) pp.test(xyr) ts.plot(xyr)

残差序列单位根检验 我们可以以91.55%（1－0.0845）的把握断定残差序列平稳且具有一阶自相关性

最终拟合模型

误差修正模型 误差修正模型（Error Correction Model）简称为ECM，最初由Hendry和Anderson于1977年提出，它常常作为协整回归模型的补充模型出现 协整模型度量序列之间的长期均衡关系，而ECM模型则解释序列的短期波动关系

短期影响因素分析 响应序列的当期波动 主要会受到三方面短期波动的影响 输入序列的当期波动 上一期的误差 纯随机波动

误差修正模型

例6.2续 对1978年－2002年中国农村居民家庭人均纯收入对数序列 和生活消费支出对数序列 构造ECM模型

例6.2 构造ECM模型 拟合长期协整关系 拟合短期波动（ECM模型）

x2=diff(x1) y2=diff(y1) lmxy=lm(y2~x2-1) summary(lmxy)

xyr=residuals(lmxy) adf.test(xyr) pp.test(xyr) ts.plot(xyr) Box.test(xyr)

acf(xyr) pacf(xyr) ar(xyr)