CH 1 旋轉運動與 萬有引力定律 Chapter 8

本章大綱 8.1 角速率與角加速度 8.2 等角加速度時的旋轉運動 8.3 轉動中的角度與線性的量之間的關係 8.4 向心加速度 8.5 牛頓的萬有引力 8.6 克卜勒定律

8.1 角速率與角加速度

弳(弧度)(rad) 弳為測量角度的單位。 弳(弧度)可以定義為圓周上的弧長 s 除以該圓半徑 r 的結果。

關於弧度進一步的說明 度與弳(弧度)的比較 由度轉換成弳(弧度)

角位移 右圖的轉動軸為垂直盤面通過圓盤中心的直線。 圓盤面上需要畫一固定的參考線。 在時間 t 內，參考線轉了θ角。 圖8.2

剛體(Rigid Body) 當物體轉動時，物體(系統)上的各點均繞著轉動中心O點作圓周運動。 物體上各點在相同時間內轉動的角度也都相同。 有這種特徵的物體稱為剛體。

角位移 (續) 角位移為物體在某一段時間內所轉的角度。 角位移的單位為弳。 剛體上的任何一點，在同一時間內轉動的角度都相同。

平均角速率 一轉動剛體的平均角速率ω，為角位移與所經歷時間之比。

瞬時角速率 (續) 瞬時角速率為平均角速率的分母(時間間隔)趨近於零時的極限值。 角速率的單位為：弳／秒。 若θ為增加時(逆時針轉動)，角速率為正。 若θ為減少時(順時針轉動)，角速率為負。

例題 8.1 8.1

8.1 8.2

平均角加速度 物體的角加速度a 為角速率的變化與所經歷時間之比。

圖8.4

角加速度 (續) 角加速度的單位為： rad / s² 逆時針方向的角加速度為正，順時針方向的角加速度為負。 剛體繞固定軸旋轉時，剛體上任何一部份的角速度及角加速度都一樣。

角加速度 (結尾) 角加速度的正負號不必一定要和角速度相同。 瞬時角加速度是平均角加速度的分母(時間間隔)趨近於零時的極限值。

8.2 等角加速度時的 旋轉運動

線運動與轉動間的對照關係 8.3

例題 7.2 8.2

例題 8.3 8.3 8.9

8.3 轉動中的角度與線性 的量之間的關係

轉動與線運動各量間的關係 位移 速率 切線加速度 轉動物體上的任何一點都具有相同的轉動行為。 轉動物體上的任何一點不見得會具有相同的線運動。

互動圖8.5

8.4 8.5

例題 8.4 8.4

例題 8.4 8.8 8.10 8.11

例題 8.5 8.5 8.10 8.10

例題 8.5

8.4 向心加速度

向心加速度 一物作圓周運動，哪怕它是以等速率繞圓，仍然具有加速度。 向心加速度來自於速度方向的改變。 圖8.6

向心加速度 (續) 向心乃是從圓心來看的現象。 速度的方向不斷在改變。 加速度的方向指向圓周運動的中心點。

向心加速度 (結尾) 向心加速度的大小可以由下式來表示。 它的方向指向圓的中心。

向心加速度與角速度 角速度與線速度二者間大小的關係為 v = ωr 向心加速度 也可以用角速度(w)的大小來表示。

總加速度 加速度的切線分量來自於速度大小的改變。 加速度的向心(徑向)分量來自於速度方向的改變。 總加速度可以利用畢氏定理，從上述二分量來計算。

8.8 8.6 圖8.8 (快速小測驗8.6)

8.7

例題 8.6 8.6 8.13 8.10 8.18 8.13 8.10

例題 8.6 8.18

轉動方面各物理量的向量性質 角位移、角速度以及角加速度三者都是向量。 轉動物體的轉動方式，能夠利用右手螺旋規則做更一般性的描述。 利用右手握住轉動軸 將四指順著物體轉動的方向彎曲 此時大拇指的方向即為角速度的方向

圖8.9

角速度的方向 (例) 在圖(a)中，圓盤繞圓心做順時針方向轉動，我們定義此時圓盤的角速度方向為進入紙面。 在圖(b)中，圓盤繞圓心做逆時針方向轉動，此時圓盤的角速度方向則由紙面出來。

角加速度的方向 若角加速度與角速度的方向相同，角速度的大小會隨時間增加。 若角加速度與角速度的方向相反，角速度的大小會隨時間漸減。

造成向心加速度的力 根據牛頓第二定律，有向心加速度時，物體必受力作用。 FC = maC 繩上的張力 萬有引力 摩擦力

圖8.11

解題步驟 先將自由物體圖畫出來，將作用於物體上所有的力加以標示畫出。 選擇一合適的座標，此座標的其中一軸要與圓形路徑垂直(徑向)，另一軸則沿圓形路徑的切線方向。 與物體運動平面垂直的方向，通常會需要用到。

解題步驟 (續) 找出指向圖心方向的淨力 (這個淨力即為提供物體向心加速度的向心力，FC ) 。 運用牛頓第二定律 解方程式中的未知值 座標軸的方向可區分為徑向、法線以及切線等。 沿徑向的加速度即為向心加速度。 解方程式中的未知值

圖8.12

一些能夠提供向心加速度的作用 各種不同狀況下提供向心加速度的作用力。 平坦彎道 傾斜彎道 水平面上的圓運動 鉛直面上的圓運動

平坦彎道 輪胎與地面間的摩擦力，用來提供向心加速度。 能夠求出摩擦力、摩擦係數或是切線速率來。

例題 8.7 8.7 圖8.13 互動例題8.8 8.13a 8.13b

例題 8.7

傾斜路面 此時正向力會使摩擦力變大，此外正向力的分量又加入向心力中，使得車子的速率可以開得更快。

例題 8.8 8.8 圖8.14 8.14

例題 8.8

例題 8.8 8.13

鉛直面上的圓周運動 仔細觀察在圓形軌道的頂端，有那些力存在。 在圓形軌道頂點的最小線速率為

例題 8.9 8.9 8.15a 圖8.15 (a)例題8.9 練習8.9

例題 8.9

例題 8.9

腳踏車甩尾 Bike Drift http://www.wretch.cc/blog/brainytsai/16696512 http://share.youthwant.com.tw/sh?do=D&id=13036783

視重與實重 電梯加速或減速所造成視重的變化 F = N - mg = ma N為視重 mg為實重

由於參考座標的不同，加速運動物體上的作用力 要能區分真實與虛擬的作用力。 離心(Centrifugal)力是一種虛擬(假的)力。 真實的力通常都代表著兩物間有相互作用。

圖8.16

8.5 牛頓的萬有引力

牛頓的萬有引力定律 宇宙間任何一個質點，會透過一種與二者間距離平方成反比，而與二者質量乘積成正比的力，與另一質點相互吸引。 G 稱為萬有引力常數。 G = 6.673 × 10-11 kg -1 m3 s -2 這是平方反比定律的一個例子。

萬有引力 (續) 由質點 1 作用於質點 2 上的力，和質點 2 作用於質點 1 上的力，二者大小相同，方向相反。 這兩個力形成牛頓第三定律的作用力─反作用力。 互動圖8.17

8.8 8.9

萬有引力 (續) 由一個質量均勻分布的球形物體，對球外一質點 P 所作用的萬有引力，和全部質量集中於球心的點質量對同一質點 P 所產生的萬有引力相同。 這種對等的效果稱為高斯定律。

萬有引力常數 此常數是由實驗測得的。 此實驗由亨利‧卡文迪西於1798年完成。 裝置中的光束及面鏡是用來放大懸線被扭轉的角度。

圖8.18

萬有引力的應用 表8.1 萬有引力所引起的加速度(重力加速度)。 g 的值會隨距地面的高度而改變。

例題 8.10 8.10 8.19 圖8.19

例題 8.10 8.20

例題 8.10

例題 8.11 8.11 8.20

重力位能 重力位能 PE = mgy 的表示法，僅限地表附近。 對於在地表上方相當高處的物體，其重力位能有另外一種表示法 此時的零位能(參考位置)，訂在地球無窮遠處。

例題 8.12 8.12 8.21

例題 8.12

例題 8.12

脫離速率 脫離速率是物體自地球(星球)表面離開進入太空，不再受地球的影響所需要的最小速率。 對地球而言，脫離速率為11.2 km/s 請注意！脫離速率和脫離物體的質量無關。

不同星球上的脫離速率 對太陽系中各行星上的脫離速率都不同。 脫離速率是一項決定行星上大氣的因素。 表8.2

例題 8.13 8.13

例題 8.13

8.6 克卜勒定律

克卜勒定律 Kepler’s Laws 所有的行星繞太陽運轉的軌道都是一橢圓形，太陽位於橢圓形的其中一個焦點上。 行星到太陽的連線在相同時間內掃過的面積相同。 任一行星繞太陽公轉週期的平方，與該行星到太陽之間平均距離的三次方成正比。

克卜勒定律 (續) 此一定律是根據Brahe對天體長期現象觀察所得到的結果。 牛頓接下來證明這三個定律是與兩物體間的萬有引力併同牛頓運動定律的作用是吻合的。

克卜勒第一定律 所有的行星都是在橢圓形軌道上運行，太陽位於橢圓其中一個焦點上。 任何物體在平方反比的束縛力作用下，都會繞相互吸引的另一物體，繞橢圓軌道運動。 橢圓的另一焦點上是空無一物的。 互動圖8.21

克卜勒第二定律 由太陽到行星的連線，在相同時間內所掃過去面積相等。 圖中行星在相同時間內自A到B ，與自C到D兩塊暗影區的面積相等。 圖8.22

克卜勒第三定律 行星繞太陽公轉的週期平方與該行星至太陽連線的平均距離三次方成正比。 對繞太陽公轉的行星而言，比例常數K = KS = 2.97×10-19 s2/m3 。 K 與行星的質量無關。

通訊衛星 (同步衛星) 與地球同步的衛星 軌道半徑 r 等於地球半徑 RE 加上地面上高度 h；即 r = h + RE 。 它一直停留在地面某一定點的正上方空中。 衛星繞地球的週期為24小時。 軌道半徑 r 等於地球半徑 RE 加上地面上高度 h；即 r = h + RE 。 仍然和衛星的質量無關。

表8.3

8.10

例題 8.14 8.14

例題 8.14