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要 点 问题的提出 问题分析 合理假设与符号说明 统计建模与求解 模型讨论与推广

一、问题的提出 据ISO 3534.2－1993：定义“所谓过程能力，是指过程的质量满足过程要求的能力。”指处于稳定、标准状态下，工序的实际加工能力。 过程能力便是指过程生产符合规格产品的能力。一个高能力过程所生产的大量产品中，只有极少缺陷或没有缺陷 。 进行过程能力分析研究有两个目的： 1、判断过程是否能够持续生产出符合规格的产品； 2、判断是否需要使用过程控制图来监视过程。 如何判断一个过程是否是有能力的呢？即如何定量刻画过程能力？即如何建立过程能力的数学模型?数学模型就是过程能力指数 。

二、问题分析 首先选择一个关键工序 ；第二步，作为统计建模，要采集样本即搜集数据 ；第三步，利用调试控制图来检验过程是否稳定。也可以应用统计软件检验数据是否服从正态分布。第四步，过程能力，也就是在受控条件下，保证过程能够生产合格产品的能力。 任何过程的运行都会受到许多因素的影响，大致可分为两大类：一是系统性影响因素，二是随机性影响因素。 分析影响过程能力的主要因素，它涉及人、机、料、法、环测；包括过程和顾客两方面。 过程方面：稳定，即质量特性X～N（μ，σ2）来分析。 顾客方面：如技术标准、产品规格、公差等。 先讨论一种简单情形，再逐步推广。

三、合理假设与符号说明 基本假设： A1、过程稳定（即受控），即过程的质量特性X的波动仅由正常波动引起，从而过程的输出X的分布不随时间而改变，过程将来的状态是可预测的。 A2、过程的质量特性X服从某个正态分布 N（μ，σ2）。 A3、双边规范限TU和TL能准确表达顾客要求。

符号说明： T—公差，表示产品质量标准要求的公差范围， TU—产品质量标准要求的规格上限值， TL—产品质量标准要求规格下限值； σ—过程特性正态分布的标准差，s—样本方差； —样本均值，μ—过程质量特性分布中心， —公差中心，k—相对偏移量，ε—绝对偏移量； CP—无偏移的过程能力指数， CPU—只有上限要求的过程能力指数， CPL—只有下限要求的过程能力指数， CPK—中心偏移的过程能力指数。

四、统计建模与求解 考虑一种简单情形，即只考虑两个主要影响因素6σ和T，将6 σ范围视为过程的自然波动范围，故人们将6 σ视为自然的过程能力。显然对Cp而言，Cp越大越好，σ一般较小，它的数值越小越好，即Cp与σ成反比；又另一因素T为公差，即指技术规范的公差，它反映了技术标准与技术要求，显然T越大Cp也越大，即Cp与T成正比。其中“σ” 也常被视为过程能力的度量单位。 在假设A1～A3下，中心 =μ（即无偏移双侧），直接可得 【统计模型1】如有上下限要求即为双侧情形，在无偏移的情况下过程能力指数为：

图2.4.1 Cp直观分析图

１.双侧公差，对称分布，中心重合。 【统计模型1.1】其过程能力指数Cp为： 图2.4.2　中心无偏移过程能力示意图

【统计模型1.1的讨论】 无偏移时Cp和不合格品率p的关系：设M=μ，TU、TL分别为规范上、下限，PU=PL分别为超出规范上、下限的不合格品率，则PU+PL=p=2PU（因正态分布为对称分布），而 PU=P｛X>TU｝=P｛ ｝=P｛ ｝= P｛ ｝=P｛t>3σCp/σ｝=1-P｛t<3Cp｝=1-Φ(3Cp)=2Φ(-3Cp)，查标准正态分布表便得PU值，于是可得p。

【例2. 4. 1】根据某工序加工零件的测试数据计算得出， = 6. 5,S = 0 【例2.4.1】根据某工序加工零件的测试数据计算得出， = 6.5,S = 0.0055,规格要求为 。试求该工序的过程能力指数Cp及不良品率p。 【解】因 ,故 ，p=2PU=2（1-Φ(3Cp)）=2(1-Φ(2.727)）=2（1-0.9967）=2×0.0033=0.0066。

2. 单向公差，只有上限要求。 有些产品的质量特性（如机械产品的清洁度和形位公差，药品中的杂质含量等），只给出了公差的上限要求并希望越小越好，而没有下限要求。 【统计模型1.2】

3. 单向公差，只有下限要求。 有些产品的质量特性（如机械产品的机械强度，电气产品的耐电压强度、寿命、可靠性），都要求不低于某个下限值，而对上限没有限制且越高越好。 【统计模型1.3】

【例2.4.2】 要求零件淬火后的硬度≥71，实测数据后计算得 ＝73；S＝1，试计算过程能力指数CpL及不良品率p。 【解】 ，而不良品率：

这种情况的公差中心Ｍ与过程分布中心μ不重合，有偏移如图２.4.3所示 4. 双侧公差，对称分布，中心偏移。 这种情况的公差中心Ｍ与过程分布中心μ不重合，有偏移如图２.4.3所示 ε=|M-μ| （ε≥0） 用过程中心μ与两个规格限最近的距离min{Tu-μ, μ-TL}与3σ之比作为过程能力指数。

【统计模型2】 【统计模型2】 由代数恒等式： 可得： 【统计模型2.1】

【统计模型2.1】 由 得ＣＰk的计算公式如下： 【统计模型2.2】

【例2.4.3】 测试一批零件外径尺寸的平均值 = 19.0101，S = 0.0143，规格要求为 ，试计算过程能力指数并估计不合格品率。 【解】由题意：

不合格品率计算：

五、模型讨论与推广 （一）问题的推广 关于前提B1的说明： 前述统计建模的前提有：B1. 正态分布；B2. 未区分短期与长期数据；B3. 默认目标值m=μ。 关于前提B1的说明： 1、如果是计数型数据相应的过程能力指数，分布一般为二项分布或泊松分布，可用Minitab软件来计算，相关的过程能力指数公式也可参考Minitab软件邦助。

2、如果是计量型数据相应的过程能力指数，对于非正态分布，一般有两个解决方案： 方案一：用Box-Cox变换法或Johnson变换法将非正态数据转换为正态数据，再用正态分布下过程能力指数公式计算，这些可用Minitab软件来实现，相关的算法等也可参考Minitab软件邦助。 方案二：用非参数计算法，只要数据足够，可将数学公式编写成宏指令ncap调用实现。相关的算法等也可参考Minitab软件邦助。

LG问题 王老师：    附件是我们生产过程中所需要用到的一种原材料(底盖)的数据！    每一次原材料供应商改变它们生产磨具之后，我们都会对它们的产品进行认证！    Excel中的数据，具体是有16个磨号别，每个磨号我们分别抽取3个样品对其长、宽、厚的尺寸进行测量！    其中，宽的数据不服从正态分布，算出来的CPK虽然比较大，但应该是没有说服力的！所以想请教老师有什么好的办法能够衡量这个的过程能力！ 2009.9.10陈烨

方案一：Step1-用Box-Cox变换法将非正态数据转换为正态数据,子组大小5 宽 C2 4.276 4.281 4.284 4.286 4.287 4.288 4.294 4.296 4.298 4.299 1429.51 1437.89 1442.94 1446.31 1448.00 1449.69 1459.86 1463.26 1466.67 1468.38 4.301 4.302 4.305 4.307 4.310 4.316 4.319 4.320 1471.79 1473.51 1478.65 1482.09 1487.26 1497.64 1502.85 1504.59 4.321 4.323 4.325 4.326 4.327 1506.33 1509.82 1513.32 1515.07 1516.82 4.330 4.333 4.336 4.338 4.339 4.340 4.341 4.250 4.350 1522.09 1527.37 1532.66 1536.20 1537.97 1539.74 1541.52 1386.58 1557.57

Step2-用正态分布下过程能力指数公式计算，这些可用Minitab软件来实现。

方案一：Step1-用Johnson变换法将非正态数据转换为正态数据,子组大小5 宽 C2 4.276 4.281 4.284 4.286 4.287 4.288 4.294 4.296 4.298 4.299 -1.43045 -1.27285 -1.17935 -1.11722 -1.08618 -1.05514 -0.86807 -0.80508 -0.74157 -0.70959 4.301 4.302 4.305 4.307 4.310 4.316 4.319 4.320 -0.645085 -0.612531 -0.513446 -0.446011 -0.342367 -0.123578 -0.006729 0.033587 4.321 4.323 4.325 4.326 4.327 0.074664 0.159324 0.247742 0.293540 0.340505 4.330 4.333 4.336 4.338 4.339 4.340 4.341 4.250 4.350 0.48940 0.65290 0.83556 0.97125 1.04430 1.12142 1.20319 -2.37000 2.37000

Step2-用正态分布下过程能力指数公式计算，这些可用Minitab软件来实现。

方案二：非参数方法: 假定质量标准允许的杂质含量的上限为4.35，下限为4.25,对上例进行过程能力分析。 [Minitab解] 1.将ncap.mac拷入宏目录 2.进入“编辑>编辑命令行编辑器”中输入 %ncap c1 4.35 4.25 3.点击提交命令 输出—答案:

从文件执行: D:\Minitab 15简体中文免安装版\Minitab 15\中文(简体)\宏\ncap.MAC 数据显示 CNP 1.09800 非参数能力指数 CNP CNPK 1.08284 上侧非参数能力指数 CNPU CNPK 1.10462 下侧非参数能力指数 CNPL CNPK 1.08284 双侧非参数能力指数 CNPK

关于前提B2的说明： 前述的Cp、CpL、CpU、Cpk属于短期过程能力指数，而长期过程能力指数又称为过程性能指数（PPI），它们分别与短期过程能力指数相对应，建模方式和公式都一样，差别仅在标准差σ，即对应于Cp、CpL、CpU、Cpk有Pp、PpL、PpU、Ppk。

【统计模型3】 【统计模型3.1】 【统计模型3.2】 【统计模型4】 【例】四批产品（每月1批）共抽查390件

关于前提B3的说明： 有些实际问题中质量特性X是有与μ不同的目标值m，这时过程能力指数又需要进一步修正，如加藉华人陈乃九教授1988年给出了如下双侧正态下公式：

（二）、过程能力调查的步骤与方法 （三）、过程能力评价标准 Ｃp（或Ｃpt)值范围 过程能力 Ｃp≥1.67 1.67≥Ｃp≥1.33 评价级别 过程能力    Ｃp≥1.67 1.67≥Ｃp≥1.33  1.33≥Ｃp≥1.00  1.00 ＞Ｃp≥0.67      0.67＞Ｃp Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ *过程能力过剩。 过程能力充分。 过程能力尚可，但接近1.00时危险。 过程能力不足，需采取改进措施。 过程能力严重不足，必须停产整顿。

END!