Dept. of Physics, Tunghai Univ. 生物物理 C. T. Shih 量子力學的基本概念 Dept. of Physics, Tunghai Univ. 生物物理 C. T. Shih

Quantization of Energy Black body Radiation

Quantization of Energy 由古典熱力學導出的結果 What’s wrong? Black body Radiation

Ultraviolet Catastrophe Rayleigh-Jean所得到的結果顯示，當波長越短，能量密度越高： 當波長趨近於零時，能量密度趨近無窮大，顯然是不可能的事 古典力學或熱力學有重大缺陷！

Max Planck: Energy Quantum 欲得到上圖中實驗所觀察到的能譜，普朗克發現，輻射的能量必須是不連續的，E=hn，才能避免「紫色大禍」。 h=6.626×10-34Js，稱為Planck constant

Atomic Structure Rutherford 的原子模型：類似行星繞太陽 軌道半徑 r 可以是任意值，能量應為連續，但是原子光譜卻是一些不連續的亮線：（下圖為He光譜） 能量是不連續的→軌道半徑也是不連續的

電子軌道的崩潰 圓周運動為加速度運動 根據電磁學，加速度運動中之帶電粒子會放出能量 電子逐漸失去能量，最後會「掉進」原子核裡面 所有的物質都不可能存在

Bohr 的原子模型 電子只能存在某些特殊的軌道上才是穩定的，在這些軌道上不會放射出電磁波，因此電子也不會損失能量 在這個假設下，原子的激發光譜自然而然也是不連續的 Energy is quantized

Energy is Not Continuous! 古典 能量可以是任意實數 普朗克的黑體輻射理論 對光而言，能量只能是hn的整數倍，其他的值是不允許存在的 量子力學 所有的能量都是不連續的

Duality of Matter and Wave 光具有粒子性：光電效應（photoelectric effect）Ek=hn - 

Duality of Matter and Wave 粒子的波動性：de Broglie’s matter wave l=h/p 電子繞射

什麼時候得用到量子力學？ 能量尺度很小的時候：決定能量不連續性的常數h非常小，所以當討論的能量很高時，這麼小的不連續性大部分都可以忽略（黑體輻射問題顯然是一個例外） 空間尺度很小的時候：測不準原理、物質波的特性，只在物體很小的時候才顯得重要 通常在研究原子分子，或是更小的尺度時，必須使用量子力學

比較：運動學（Kinetics） 運動學為描述物體運動情形的理論 古典 量子 只要知道位置對時間的關係r(t)就可完全敘述物體的運動。 速度即為位置對時間的微分v=dr/dt 若知道物體的起始位置與速度，以及任何時間的加速度，可以完全預測物體未來的運動 量子 物體的運動只能以一波函數y(r,t)來表示其在時間t時出現在位置r時的機率（＝|y|2） 速度無法與位置同時確定（測不準原理DpDx≧h） 只能以機率的方式預測物體未來的運動

比較：動力學（Dynamics） 動力學探討物體「為何」會如此運動 古典 量子 牛頓三定律 「力」是改變物體運動狀態的原因（給出加速度） 薛丁格方程式

比較：測量（Measurements） 古典 所有的物理量都是測量的結果，不能測量的量沒有意義 量子 都是純量或向量 可由物體的本質（如質量）、運動狀態（位置、速度、加速度）以及與外界的交互作用決定 測量本身不改變物體的運動狀態 量子 每個測量都對應一個算符（operator） 例如：能量→H，動量→ 測量的期望值為 測量的動作會改變物體的運動狀態

The Hydrogen Atom Schrödinger equation: Time-independent Schrödinger equation:

The Hydrogen Atom 由於方程式具有球形對稱，其解的形式為： 所解得之波函數，必須用一組數字來描述，稱為量子數（quantum numbers） 這組量子數為主量子數n，角量子數l，磁量子數m

Wave Functions of Hydrogen Atom 氫原子中的電子波函數之解： 其中Rnl(r)稱為Laguerre associated polynomials Plm(cosθ)稱為Legendre polynomial Qlm(q)Fm(f)≡Ylm(q,f)稱為spherical harmonics

Quantum Numbers n (principal quantum number) = 1,2,3… l (orbital quantum number) = 0, 1, 2…n-1 for a given n m (magnetic quantum number) = 0, ±1, ±2, …, ±l for a given l l 代表的是總角動量，m 代表的是角動量在 Z 軸上的分量 n,l,m 必須滿足上述條件，Schrödinger 方程式才有解 另外還有一個量子數，與電子的自旋有關，為±1/2 對氫原子（或是單電子離子）而言，只要 n 相同的波函數，其能量都相同

Lower States of Hydrogen Atom n=1, l=0, m=0 1s state http://webphysics.davidson.edu/faculty/dmb/hydrogen/intro_hyd.html

多電子原子之結構 Pauli’s exclusion principle: 任意兩個電子，不可能佔據完全相同的能態（或波函數），亦即四個量子數 n, l, m, s 不可能完全相同 對應於每一組（n, l, m），可以有兩個電子（s=+1/2, -1/2）佔據 多電子原子中，電子之間的庫侖排斥力的作用大部分被原子核正電荷的屏蔽效應所排除 然而仍然必須考慮spin-orbital耦合等交互作用，會使原本簡併態（相同n，不同的l,m,s）的能量變得不同

多電子原子之電子組態 根據Hund’s rule將電子依序（能量由低至高）填入各能態中： 所得結果，見課本表 2.1（p.11） 若所填入的能態對氫原子而言是簡併的，則根據以下規則選擇，可得最低能量態 First law: 可使總自旋最大者 Second law: 當前者皆滿足時，填入可使總軌道角動量最大者 Third law: 當前二者皆滿足時，且該殼層（相同n的所有能態）低於半填滿，則填入可使總角動量J=|L-S|的態；若超過辦填滿，則填入使J=L+S的態 所得結果，見課本表 2.1（p.11）