積分的應用

內容大綱 Ⅵb. 面積之極座標公式 I. 面積 Ⅱ. 體積 (不經任何旋轉) Ⅲ. 體積 (經旋轉後的體積) Ⅱ. 體積 (不經任何旋轉) Ⅲ. 體積 (經旋轉後的體積) Ⅲa. 和旋轉軸垂直相切，旋轉再積分 Ⅲb. 和旋轉軸平行相切，旋轉再積分 (methods of cylindrical shells) Ⅳ. 弧長之直角座標公式 Ⅴ. 經旋轉後的表面積 Ⅵ. 極座標 Ⅵa. 弧長之極座標公式 Ⅵb. 面積之極座標公式 Ⅶ. 參數式 Ⅶa. 弧長之參數式公式 Ⅶb. 面積之參數式公式

I. 面積 如圖，設曲線 公式 曲線 在 之間的面積。

I.例 求橢圓 所圍成之面積。 (解) 面積 設 ，

設 ， 利用 註： 時，面積 ，即圓面積。

Ⅱ. 體積 (不經任何旋轉) Ⅱ例. 楔形(wedge)。一圓柱，其圓半徑為 4。二平面切此圓柱得一楔形。一平面垂直於圓柱之軸線。另一平面通過圓柱之圓之直徑，與前一平面形成30°夾角。求此wedge之體積。

(解一) 對x-軸垂直切片，得直角 的面積 由直角 得 再對 相積， 得此wedge之體積

(解二) 對y軸垂直切片得矩形ABCD，其與 交於 。 設 矩形ABCD之面積為

再積這些矩形 ，得此wedge之體積 ， 設 ， 得 設 ， 註：若對z一軸切片，則得扇形，計算似頗繁複。

Ⅲ. 求旋轉後的體積 Ⅲa. 和旋轉軸垂直相切，再積分 設曲線 ， ， 所圍的區域為 ，求 繞x-軸旋轉 之後的體積。 (解) 任取 切得半徑 ，再旋轉得圓面積 ，再沿 軸自0至1積分得 所求之體積

Ⅲb. 和旋轉軸平行相切，再積分 (cylindrical shells) (解) 和旋轉軸平行切。任取 ，切得高度 再旋轉得一cylindrical shell， 像一個戒指，半徑為 其面積為

再沿 軸自0至1積分得 所求之體積

Ⅲb例2. 設 ，求 繞 軸旋轉所形成之體積。

(解) 解 得 此為積分之上下限 註：本題若和旋轉軸( -軸)垂直切片，即有困難。 因 為須求 之 解。此為 之3次方程 式。

Ⅳ. 弧長之直角座標公式 設 弦 之長度 當 可知 ， 此為弧長之公式。

Ⅳ例. 表示圓心為 ，半徑為1之圓。求圓周長。 (解) 設 表上半圓。

設 ， 得

旋轉後的表面積(Area of a Surface of Revolution ) Step1：首先考慮一中空的圓錐，其表面 可剪成扇形如下： 設此圓錐所形成之圓之半徑為 r。

下圖為二相等扇形交錯重合 由此可知，一圓錐表面剪開所成之扇形， 其面積為 。

Step2：圖左中的帶形(陰影區)為具有相同夾角θ 之二扇形所形成。(θ為弧度制) 首先假設 ， ， ， 上二式相除，得 亦即

由上式，利用所謂的和分比定理 可得 注意 ， ， 故，帶形面積

Step3：現在考慮 旋轉後的表面積。 左圖中之切下的 區間的旋轉表面積，依 step2之公式， 可以 逼近 將上式自 加總，當 可得表面積公式 。 在此我們利用到前一節中求弧長時， 之計算公式。

Ⅴ例1. 設 ，考慮曲線 在 之間的弧 之間的弧(半圓) 求 之弧繞 軸旋轉，所得 ， 之曲面的表面積。

(解) 我們先求一個一般的結果， 故 (球表面積公式

Ⅴ例2. 如下圖 ， 繞 軸旋轉所形成的 曲面，求其表面積。 (解) 設 之方程式為 ，

依公式， 註：本節開始，將圓錐切開成扇形時，扇形的 面積也是 。

Ⅵ. 極座標(Polar Coordinates) Ⅵa. 弧長(arc length)之公式 如左圖，設 可得 故

當 時， 且 將上 加總，當 即得弧長公式

Ⅵb. 面積之公式 Ⅵa之圖，複製於下。 當 ， 且 故得 面積公式

Ⅵ例. 設圓之極座標公式為 求(a)圓周長 (b)圓面積。

(解) 圓周長(弧長) 圓周長

圓面積 圓面積 (半徑為1之圓面積 )

Ⅶ. 參數式 Ⅶa. 弧長的參數式公式 ， ， 弦 之長 若 可知

Ⅶa例. 表示圓心為 半徑為1之圓。求圓周長。 (解) 圓周長 圓周長

Ⅶb. 面積的參數式公式 設 ， 。 若 設 為 t 之漸昇函數， ， 。 可得公式 則 。

(Cycloid) Ⅶb例. ， 。求自 ， 該曲線和x-軸間之面積。 (解) 所求之面積為