第五章 正弦电路的稳态分析 5.1 正弦电压和电流 5.2 利用相量表示正弦信号 5.3 R、 L、 C元件VAR的相量形式和 5.1 正弦电压和电流 5.2 利用相量表示正弦信号 5.3 R、 L、 C元件VAR的相量形式和 KCL、KVL的相量形式 5.4 阻抗与导纳 5.5 电路基本元件的功率和能量 5.6 正弦稳态电路中的功率 5.7 正弦稳态电路中的最大功率传输 5.8 正弦稳态电路的相量分析法 5.9 三相电路概述 5.10 小结

5.1 正弦电压和电流 5.1.1 正弦量的三要素 所谓周期信号，就是每隔一定的时间T，电流或电压的波形重复出现；或者说，每隔一定的时间T，电流或电压完成一个循环。图 5.1-1 给出了几个周期信号的波形， 周期信号的数学表示式为 式中k为任何整数。周期信号完成一个循环所需要的时间T称为周期， 单位为秒(s)。  

图 5.1-1 周期信号

周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率，用f表示。 显然，频率与周期的关系为 频率的单位为赫兹(Hz)。 我国电力网所供给的交流电的频率是 50 Hz，其周期是0.02s。实验室用的音频信号源的频率大约从20~20×103Hz左右，相应的周期为0.05s~0.05 ms 左右。

图 5.1-2 正弦电流

按正弦(余弦)规律变化的周期信号，称为正弦交流电，简称交流电。以电流为例，其瞬时表达式为 由于正弦信号变化一周，其相位变化了2π弧度，于是有 ω表示了单位时间正弦信号变化的弧度数，称为角频率，其单位是弧度/秒(rad/s)。当t=0时，相位角为θi，称为初相位或初相角，简称初相。工程上为了方便，初相角θi常用角度表示。

5.1.2 相位差 假设两个正弦电压分别为 它们的相位之差称为相位差，用ψ表示，即 两个同频率的正弦信号的相位差等于它们的初相之差。

图 5.1-3 相位差

例 5.1-1 已知正弦电流i(t)的波形如图 5.1-4 所示，角频率ω=103rad/s。试写出i(t)的表达式，并求i(t)达到第一个正的最大值的时间t1。 图 5.1-4 例 5.1-1用图  

解 由图可知，i(t)的振幅为 100A， 即 当t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得 故

由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负值，即 于是 当ωt1=π/3时，电流达到正最大值，即

例 5.1-2 设有两频率相同的正弦电流 问哪个电流滞后，滞后的角度是多少? 解 首先把i2(t)改写成用余弦函数表示，即 故相位差

5.1.3 有效值 正弦信号的有效值定义为：让正弦信号和直流电分别通过两个阻值相等的电阻。如果在相同的时间T内(T可取为正弦信号的周期)，两个电阻消耗的能量相等，那么，我们称该直流电的值为正弦信号的有效值。 当直流电流I流过电阻R时，该电阻在时间T内消耗的电能为

当正弦电流i流过电阻R时，在相同的时间T内，电阻消耗的电能为 上式中p(t)表示电阻在任一瞬间消耗的功率，即p(t)=u(t)i(t)=Ri2(t)。根据有效值的定义，有

故正弦电流的有效值为 (5.1-5) 正弦电流的有效值是瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根，故有效值也称为均方根值。 类似地，可得正弦电压的有效值为

将正弦电流的表达式 代入(5.1-5)式， 得正弦电流的有效值为

同理，可得正弦电压的有效值 必须指出，交流测量仪表指示的电流、电压读数一般都是有效值。 引入有效值以后，正弦电流和电压的表达式也可写成

5.2 利用相量表示正弦信号 一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。设A为一复数，a1和a2分别为其实部和虚部，则 代数型 指数型 5.2 利用相量表示正弦信号 一个复数既能表示成代数型，也能表示成指数型。设A为一复数，a1和a2分别为其实部和虚部，则 代数型 指数型 式中a称为复数A的模；φ称为复数A的辐角。

图 5.2-1 复数的图示

和 实部a1和虚部a2也表示为

5.2.1 利用相量表示正弦信号 假设某正弦电流为 根据欧拉公式 可以把复指数函数Im e j(ωt+θi)展开成 (5.2-3)

把式(5.2-3)进一步写成 式中

图 5.2-2 相量图

图 5.2-3 旋转相量及其在实轴上的投影

例如，已知角频率为ω的正弦电流的相量 ， 那么该电流的表达式为 若已知正弦电压u=10cos(ωt-45°) V， 则电压相量为

相量也可以用有效值来定义， 即

5.2.2 几个定理 1. 定理 1 如果K是一个实常数，A(t)是任何实变数t的复函数，则 证明 设 则 故

2. 定理 2 如果A(t)和B(t)是任何实变数t的复函数，则 证明 设 则

3. 定理 3 设相量 ， 则

4. 定理 4 设 和 为相量，ω为角频率。如果在所有时刻都满足 则

例 5.2 – 1 电路如图 5.2 - 4(a)所示，已知电流i1和i2分别为 图 5.2 – 4 例 5.2 - 1用图

5.3 R、L、C元件VAR的相量形式 和KCL、KVL的相量形式 5.3.1 R, L, C元件VAR的相量形式 1. 电阻元件

5.3-1 电阻元件

对电阻元件而言，在任何瞬间，电流和电压之间满足欧姆定律，即 电阻上的正弦电流和电压用相量表示为

根据欧姆定律，有

图5.3-2 电阻元件的电流、电压波形和相量图

2. 电感元件 设有一电感L，其电压、电流采用关联参考方向，如图 5.3-3(a)所示，当通过电感的电流为

图 5.3-3 电感元件

它们振幅之间的关系为 式中XL=ωL=2πfL具有电阻的量纲，称为感抗。当L的单位为H，ω的单位为rad/s时，XL单位为Ω。

对于一定的电感L，当频率越高时，其所呈现的感抗越大；反之越小。 式中 根据

(5.3-6) 因为(5.3-6)式可以写成

图 5.3-5 电感元件的电流、电压波形图

3. 电容元件 图 5.3-6 电容元件

当电容两端的电压为 时，通过电容的电流

通过电容的电流与电容电压是相同频率的正弦量，而且电流的相位超前电压 90°。它们振幅之间的关系为 具有电阻的量纲，称为容抗。当C的单位为F，ω的单位为rad/s时，XC的单位为Ω。 当电容C一定时，频率越高，其所呈现的容抗越小；反之越大。

图 5.3-7 XC的频率特性曲线

电容电压和电流可用相量表示为 式中 ，根据 上式可写成

根据节 5.2 中定理 4， 可得 或 （5.3-11） 因为(5.3-11)式可以写成 故

图 5.3-8 电容元件的电流、电压波形图

5.3.2 KCL、KVL的相量形式 对于任意瞬间，KCL的表达式为

对于图 5.3-9 所示的节点A 有 图 5.3-9 流向节点A的电流分布

对于任意节点，则有 流出任意节点的各支路电流相量的代数和恒等于零。

同理可得KVL的相量形式为 或 它表明，在正弦稳态电路中，沿任意闭合回路绕行一周，各支路电压相量的代数和恒等于零。

例 5.3-1图 5.3-10(a)所示RL串联电路。已知R=50Ω, L=25μH, us(t)=10cos106tV。求电流i(t)，并画出相量图。 图 5.3-10 例 5.3-1用图

解 激励us(t)的相量为

例5. 3-2 RC并联电路如图 5. 3-11(a)所示。已知R=5Ω, C=0 例5.3-2 RC并联电路如图 5.3-11(a)所示。已知R=5Ω, C=0.1 F, us(t)= 10cos2t V。求电流i(t)并画出相量图。 图 5.3-11 例 5.3-2用图

解 电压源us的有效值相量为

5.4 阻 抗 与 导 纳 5.4.1 阻抗与导纳 图 5.4-1

端口电压相量与电流相量的比值定义为阻抗，并用Z表示 可改写成

如果无源二端网络分别为单个元件R、L和C， 则它们相应的阻抗分别为 把阻抗的倒数定义为导纳，并用Y表示， 即 (5.4-4)

导纳Y的单位是西门子(S)。当无源二端网络分别为单个元件R、L和C时，它们相应的导纳分别为 式中G为电导， 和BC=ωC分别称为感纳和容纳， 单位为西门子(S)。 (5.4-4)式也可改写为

5.4.2 RLC串联电路 图 5.4-2 RLC串联电路及其相量模型

设电路中的电流为 根据R、 L、 C元件的VAR， 有

阻抗Z也可写成极坐标形式， 即 式中|Z|和φZ分别称为阻抗模和阻抗角。

阻抗模等于电压相量 与电流相量 的模值之比，阻抗角等于电压相量 超前电流相量 的相位角。若φZ>0，表示电压相量 超前电流相量 ； 若φZ<0，表示电压相量 滞后电流相量 。 由于电抗 与频率有关，因此，在不同的频率下，阻抗有不同的特性。

图 5.4-3 RLC串联电路的相量图

5.4.3 GCL并联电路 图 5.4-5 GCL并联电路的相量模型

导纳模|Y|, 导纳角φy与电压 、 电流 的关系为 导纳模等于电流 与电压 的模值之比。 导纳角等于电流 与电压 的相位差。

例5. 4-2 有一个RCL并联电路，已知R=10 Ω, C=0 例5.4-2 有一个RCL并联电路，已知R=10 Ω, C=0.5μF, L=5μH，正弦电压源的电压有效值U=2V, ω=106 rad/s。 求总电流 并说明电路的性质。 解 电路的导纳为

导纳角φY=71.56°，表示电流 超前电压 为71.56°。 因此，电路呈电容性。

5.4.4 阻抗和导纳的串、并联 若有n个阻抗相串联，它的等效阻抗为 分压公式为 为n个串联阻抗的总电压相量； 为第i个阻抗上的电压相量。

若有n个导纳相并联，它的等效导纳为 分流公式为 为通过任一导纳Yi的电流相量； 为总电流相量。

若两个阻抗Z1和Z2相并联，则等效阻抗为 分流公式为

例5.4-3 RL串联电路如图 5.4-6 所示。若要求在ω=106rad/s时，把它等效成R′L′并联电路，试求R′和L′的大小。   图 5.4-6 例 5.4-3 用图

解

例 5.4-4 电路如图 5.4-7(a)所示。其中  求电流i(t), iL(t)和iC(t)。 图5.4-7 例5.4-4用图

图5.4-8 例5.4-4解题图

解

例5. 4-5 电路如图 5. 4-9(a)所示。已知R1=30 Ω, R2=100Ω, C=0 例5.4-5 电路如图 5.4-9(a)所示。已知R1=30 Ω, R2=100Ω, C=0.1μF, L=1mH, 。求电压u(t)和ab两端的等效阻抗Zab。 图 5.4-9 例 5.4-5 用图

解

5.5 电路基本元件的功率和能量 图5.5-1 电阻元件的瞬时功率波形

设电压u(t)为

瞬时功率在一周期内的平均值，称为平均功率。用P表示，即 或用有效值表示为 平均功率也称为有功功率。通常，我们所说的功率都是指平均功率。 例如， 60W灯泡是指灯泡的平均功率为60 W。

设电感电压u为 电感电流i滞后电压 90°，即

电感贮存的磁能为 利用三角公式sin2 X=(1-cos2X)/2, 上式可改写成

图5.5-2 电感的瞬时功率和能量的波形

当t=T/4 时，电感的贮能达到最大值 电感是不消耗能量的，它只是与外电路或电源进行能量交换，故平均功率等于零。

图 5.5-3 电容的瞬时功率和能量波形

设电容电压u为 电容的瞬时功率为

电容贮存的电能为 利用三角公式 上式可改写成 电容的平均贮能为

在(0~T/4)期间：u>0, i<0，故p<0，电容供给功率。在此期间，电容电压由最大值逐渐减少到零，电容把贮存的电能全部供给了外电路或电源。当t=T/4 时，电容的贮能wC=0。 在(T/4~T/2)期间：u<0, i<0, 故p>0，电容吸收功率。这时， 电容反向充电，电容电压由零逐渐达到负的最大值，电容从外电路或电源获得能量并贮存在电场中。当t=T/2时，电容的存贮能量达到最大值 电容也不消耗能量，只是与外电路或电源进行能量交换， 故平均功率也等于零。

例5.5-1 电路如图 5.5-4(a)所示，已知 ， 求电阻R1, R2消耗的功率和电感L、电容C的平均贮能。 图 5.5-4 例 5.5-1 用图

解

5.6 正弦稳态电路中的功率 5.6.1 二端电路的功率 图 5.6-1 二端电路的瞬时功率波形

设端口电压为 电流i是相同频率的正弦量，设为

当u>0, i>0或u<0, i<0 时，二端电路吸收功率，p>0；当u>0， i<0或u<0, i>0 时，二端电路供给功率，p<0。这表明二端电路中的动态元件与外电路或电源进行能量交换。 在一周期内，二端电路吸收的功率大于供给的功率。二端电路的平均功率不为零， 即

图 5.6-2 无源二端电路可以等效为阻抗

电压与电流的相位差等于阻抗角， 即 阻抗的平均功率不仅与电流、电压的振幅(或有效值)大小有关，而且与cosφZ有关。cosφZ称为功率因数，通常用λ表示，故阻抗角φZ也称为功率因数角。 当阻抗为电阻性时，φZ=0, cosφZ=1, 。 当阻抗为纯电感或纯电容性时，φZ=±90°，cosφZ=0, P=0。

把UmIm/2 或UI称为视在功率，用S或PS表示(本书为与复功率区分，采用PS作为视在功率符号)，即 视在功率的单位为伏安(V·A)。

5.6.2 无功功率和复功率 二端电路N的无功功率Q(或PQ)定义为 (5.6-5) 其单位为伏安(V·A)。 5.6.2 无功功率和复功率 二端电路N的无功功率Q(或PQ)定义为 (5.6-5) 其单位为伏安(V·A)。 设二端电路的端口电压与电流的相量图如图5.6-3 所示。电流相量 分解为两个分量：一个与电压相量 同相的分量 ; 另一个与 正交的分量 。 它们的值分别为

图 5.6-3 端口电压、电流相量图

二端电路的有功功率看作是由电流 与电压 所产生的， 即 无功功率看作是由电流 与电压 产生的， 即 当二端电路不含独立源时，φZ=θu-θi，(5.6-5)式可写为 当电路N是纯电阻时，φZ=0, QR=0；当电路N是电感时， φZ=90°, QL=UI; 当电路N是电容时，φZ=-90°,QC=-UI。

工程上为了计算方便，把有功功率作为实部，无功功率作为虚部，组成复功率，用S表示， 即 若二端电路N不含独立源，φZ=θu-θi, 则

图 5.6-4 功率三角形

如果二端电路的独立源为零，且支路数为m，那么，无源二端电路的有功功率、无功功率和复功率分别为  

例5.6-1 电路如图 5.6-5 所示。已知R1=6Ω, R2=16Ω, XL=8Ω, XC=12 Ω, =20∠0°V。求该电路的平均功率P、无功功率Q、 视在功率PS和功率因数。 图 5.6-5 例 5.6-1 用图

解 设R1L串联支路的阻抗为 R2C串联支路的阻抗为 各电流相量分别为

例 5.6-2 某输电线路的相量模型如图 5.6-6 所示。输电线的损耗电阻R1和等效感抗X1为 ,Z2为感性负载，已知其消耗功率P=500kW，Z2两端的电压有效值U2=5 500V，功率因数cosφZ2=0.91。求输入电压的有效值U和损耗电阻R1消耗的功率。 图5.6-6 例 5.6-2 用图

解 设负载两端电压 为参考相量。即

例 5.6-3 图 5.6-7(a)所示电路为日光灯简图。图中L为铁芯电感，称为镇流器(扼流图)。已知U=220V, f=50Hz，日光灯功率为 40W，额定电流为 0.4 A。 试求： (1) 电感L和电感上的电压UL; (2) 若要使功率因数提高到 0.8， 需要在日光灯两端并联多大的电容C。

图 5.6-7 例 5.6-3用图

解 (1) 求L和UL。

(2) 求并联电容的电容量C。 设电压为参考相量

输电线电流为

5.7 正弦稳态电路中的最大功率传输 图 5.7-1

由图可知，电路中的电流为 电流的有效值为 负载吸收的功率

若RL保持不变，只改变XL，当Xi+XL=0 时, PL获得最大值 当负载电阻和电抗均可变时，负载吸收最大功率的条件为

即 当负载阻抗等于电源内阻抗的共轭复数时，负载能获得最大功率，称为最大功率匹配或共轭匹配。

负载吸收的功率为 当RL改变，PL获得最大值的条件是 当负载阻抗为纯电阻时，负载电阻获得最大功率的条件是负载电阻与电源的内阻抗模相等。

例 5.7-1 电路如图 5.7-2 所示，其中R和L为电源内部损耗和电感。已知R=5Ω,L=50 μH, us= ·10cos105t V。 (3) 若在RL两端并联一电容C，问RL和C等于多大时， 能与内阻抗共轭匹配? 并求负载吸收的最大功率PLmax。

图 5.7-2 例 5.7-1用图

解 电源内阻抗为 (1) 当RL=5Ω时，电路中的电流为 负载RL消耗的功率为

(2) 当 时能获得最大功率， 即

(3) 当负载与内阻抗共轭匹配时， 能获得最大功率。 由图可知，负载导纳为 根据ZL=Z*i=5-j5，得

由上式解得 负载吸收最大功率为

5.8 正弦稳态电路的相量分析法 5.8.1 网孔法 例 5.8-1 电路的相量模型如图 5.8-1 所示，求电流 和 5.8 正弦稳态电路的相量分析法 5.8.1 网孔法 例 5.8-1 电路的相量模型如图 5.8-1 所示，求电流 和 图 5.8-1 例 5.8-1 用图

5.8.2 节点法 例 5.8-2 电路的相量模型如图5.8-2所示。求各节点的电压相量。 图 5.8-2 例 5.8-2 用图

解

5.8.3 等效电源定理 例5.8-3 电路的相量模型如图 5.8-3(a)所示，试问负载阻抗ZL为何值时能获得最大功率? 最大功率PLmax是多少? 图 5.8-3 例 5.8-3 用图

解 将负载ZL断开，电路如图(b)所示。 电阻与电感并联的阻抗为

例 5.8-4 电路如图 5.8-4(a)所示。 式中ω=103 rad/s。求ab两端的输出电压u(t)。 图 5.8-4 例 5.8-4 用图

解 电源us(t)可以看作是 3 个电源叠加而成的，即

(3) us3作用于电路。

例5.8-5 电路的相量模型如图 5.8-5 所示。已知R=3Ω, XC=4Ω, XL=4Ω，电容电压的有效值UC=20V，求电流有效值I。 图 5.8-5 例 5.8-5 用图

解 设电容电压 为参考相量，即

例 5.8-6 电路如图 5.8-6(a)所示。已知 C=0.02F，L=1H， 电路消耗的功率P=10 W，试求电阻R和电压uL。 图5.8-6 例5.8-6 用图

解

通过电阻的电流相量为 根据KCL得

5.9 三相电路概述 图 5.9-1 三相电源

这三个相电压的瞬时表示式为

图 5.9-2 对称三相电压相量图

5.9.1 三相电源的连接 图 5.9-3 三相电源的Y形连接

由图 5.9 - 3(a)可知，3 个线电压相量分别为

若相电压是对称的，则线电压也是对称的，而且线电压的有效值(振幅)是相电压的 倍。设线电压的有效值为Ul，即 在三相电压组成的闭合回路中，回路中的总电压为 其相量图如图 5.9-5(a)所示。 如果将某一电压源接反了， 例如电压源uc，将z与y， c与a相接，这时闭合回路中的总电压为

5.9.2 三相电路的计算 图 5.9-6 对称三相四线制

设负载阻抗Z=|Z|∠φZ，由于图5.9-6 的电路只有两个节点，因而用节点法分析较为方便。设0为参考节点，节点 0′到 0 的电压为 ，列出节点方程为

图 5.9-7 负载的△形连接

设线电压为

相电流是对称的，其有效值 。线电流为

例 5.9-1 对称三相三线制的线电压为 380V，每相负载阻抗为Z=10∠53.1°Ω，求负载为Y形和△形连接时的电流和三相功率。 解 正弦稳态电路中，如不加说明，电流、电压的大小都是指有效值。 (1) 负载为Y形连接时，电路如图 5.9-8(a)所示。相电压的有效值为 可以设想电源中点 0 与负载中点 0′用理想导体连接， 并设 故

图 5.9-8

其它两相电流为 三相总功率为

(2) 负载为△型连接时，电路如图 5.9-8(b)所示。设 则 其它两相电流为

线电流为 三相功率为

5.10 小 结 1. 正弦信号的三要素和相量表示 式中振幅Im(有效值I)、角频率ω(频率f)和初相角θi称为正弦信号的三要素。设两个频率相同的正弦电流i1和i2，它们的初相角分别为θ1和θ2，那么这两个电流的相位差等于它们的初相角之差，即

若ψ>0, 表示i1的相位超前i2; 若ψ<0，表示i1的相位滞后i2。 正弦电流可以表示为 式中 称为电流振幅(有效值)相量。 相量是一个复常数，它的模表示了正弦电流的振幅(有效值)，辐角表示了正弦电流的初相角。

2. R , L , C元件VAR相量形式

3. 阻抗与导纳 一个无源二端电路可以等效成一个阻抗或导纳。 阻抗定义为

指数型与代数型的转换关系为 导纳定义为

|Y|称为导纳模，φy称为导纳角。它们与电流、电压之间有如下关系： 导纳也可以表示成代数型，即

指数型与代数型的转换关系为

4. 电路定律的相量形式和相量分析法 KCL和KVL的相量形式分别为 欧姆定律的相量形式为

5. 正弦稳态电路的功率 任一阻抗Z的有功功率(平均功率)和无功功率分别为 视在功率为 复功率为 在电源和内阻抗Zi一定条件下，负载阻抗ZL获得最大功率的条件为

这称为共轭匹配， 此时负载获得的最大功率为 这称为模匹配，即负载电阻RL等于内阻抗的模|Zi|时，能获得最大功率。计算模匹配情况下的最大功率，首先应该计算流过负载电阻RL的电流 ，那么负载电阻消耗的功率为