函数的和、差、积的导数

一、复习回顾： (C为常数); ⑵ ⑶ ⑷ 1.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 2.求函数的导数的方法是: 3.常见函数的导数公式: (C为常数); ⑵ ⑶ ⑷

? 练一练:求下列函数的导数 (1) y=100 (2) y=x5 (4)y=4x2 -3x (3)y=4x2 +3x 利用函数的导数公式，得

二、新课讲授： 1.和(差)的导数: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导 数的和(差),即: 证: 即:

练一练:求下列函数的导数 (1) y=5x2-4x+1 (4) y=(2+x)(3-x) (5) y=(2x-1)(3x+2) (3)y=x2-cosx (4) y=(2+x)(3-x) (5) y=(2x-1)(3x+2)

2.积的导数: 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数 的导数 ,即 证: 因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当Δx→0时, v(x+Δx)→ v(x).从而:

推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数, 即: (轮流求导之和) 推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数, 即: 小结：有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、构成的函数,而不必从导数定义出发了.

例1 (1) y=(2+x)(3-x) (2)y=(2x2+3)(3x-2) 课本p119　练习

例２ :求下列函数的导数 Y=(x+1)(x+2)(x+3)

猜想:函数f1 (X) ·f2(x) ·f3(x) … fn(x)的导数

讨论函数f 1 (x) + f 2(x)+ f3(x)+… + f n(x)的导数并证明.

例３求曲线y=2x+x3在x= -1处的切线方程 y=5x+2

例 4在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点． 而当x=2时,y=-13,故斜率最小的切线所对应的切点 为A(2,-12).

练习:已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程. 解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2). 对于 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.② 因为两切线重合, 若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4. 所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.

五、课堂小结： 1:充分掌握函数的四则运算的求导法则； 2:先化简，再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略； 3:在解决与曲线的切线有关的问题时，应结合函数与方程的思想，解析几何的基本方法和理论来求解．解决问题时，关键在与理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者有机地统一起来.

例5 用求导的方法求和: 对(1)由求导公式 可联想到它是另一个和式x+x2+x3+…+xn的导数.

例7 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=－x2+a,如果直线l 同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,公切线 上两个切点之间的线段,称为公切线段. (Ⅰ)a取什么值时,C1和C2有且仅有一条公切线?写出 此公切线的方程; (Ⅱ)若C1和C2有两条公切线,证明相应的两条公切线 段互相平分.(2003天津高考(文)题) (Ⅰ)解:函数y=x2+2x的导数y′=2x+2,曲线C1在点P (x1,x12+2x1)的切线方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1),即 y=(2x1+2)x-x12①; 函数y=-x2+a的导数y′=-2x,曲线C2 在点Q(x2, -x22+a)的切线方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2).即 y=-2x2x+x22+a . ② 如果直线l是过P和Q的公切线,则①式和②式都是l的方程.

所以 消去x2得方程:2x12+2x1+1+a=0. 若判别式△=4－4×2(1+a)=0时,即a=-1/2时解得x1=-1/2,此时点P与Q重合. 即当a=-1/2时C1和C2有且仅有一条公切线,由①得公切线方程为y=x-1/4. (Ⅱ)证:由(Ⅰ)可知:当a<-1/2时C1和C2有两条公切线. 设一条公切线上切点为:P(x1,y1),Q(x2,y2).其中P在C1上,Q在C2上,则有: x1+x2=-1,y1+y2=x12+2x1+(-x22+a)=x12+2x1-(x1+1)2 +a=-1+a.故线段PQ的中点为: 同理,另一条公切线段P’Q’的中点也是 所以公切线段PQ和P’Q’互相平分.

四、课堂练习： 1、已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线C上横坐 ,所以切线的斜率k=12-6-18= -12.故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8. 故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).

事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点 事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为-a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中心. 2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行 于l1的另一条切线为l2. (1)求l1、l2的方程; (2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线 l3、l4的方程. (3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积. 答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2. (2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10. (3).9/8.

六、作业布置： 1、课本 P38习题2.3 No.1⑷、⑸、⑹；2⑵、⑶；3；5.

三、例题讲解： 例1 求下列函数的导数: 答案:

导数运算法则： 常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数 （可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.） 就是说： 两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差; （可以推广到求有限个函数的和（差）的导数.） (上导乘下,下导乘上,差比下方)

例2 (1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导;命题乙:F(x)= (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件 A (2)下列函数在点x=0处没有切线的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosx D (3)若 则f(x)可能是下式中的( ) B (4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的 切线的倾斜角的取值范围是( ) D

例3 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.