第四章 機率論

Elementary outcome 隨機實驗的每個可能的結果 隨機實驗的基本概念 Elementary outcome 隨機實驗的每個可能的結果 樣本空間(Sample space) 隨機實驗中，所有可能結果的集合 事件 (Event) 樣本空間的部份集合

0!=1 3!=3*2*1 5!=5*4*3*2*1 100!=100*99*98*…..*3*2*1 N!=N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*….*3*2*1 乘法定理 Ex: 小華有3雙運動鞋,5條工作褲,和 20件襯衫. 請問他會有幾種不同的 搭配? Ex: 一速食店提供7種主菜,3種副菜,5種不同的湯飲,和2種點心供給顧客選擇. 請問有多少不同的組合套餐?

自一箱中抽出2個球的樹狀圖 第一球 第二球 樣本空間 機 率 R2 (R1,R2) P(R1 R2)=7/10*6/9 R1 第一球 第二球 樣本空間 機 率 R2 (R1,R2) P(R1 R2)=7/10*6/9 R1 P(R2/R1)=6/9 W2 P(R1)=7/10 (R1,W2) P(R1 W2)=7/10*3/9 P(W2/R1)=3/9 R2 (W1,R2) P(W1 R2)=3/10*7/9 W1 P(R2/W1)=7/9 W2 (W1,W2) P(W1 W2)=3/10*2/9 P(W1)=3/10 P(W2/W1)2/9

同時擲二粒骰子,樣空間:共36 第 二 粒 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 第 一 粒 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Pr = 計算樣本點法則 (n-r)! n! n! r!(n-r)! 排列(Permutation) 從n個不同物體中,依照順序抽取r個物體 組合(Combination) 從n個不同物體中,不管其順序,一次抽取 r種的可能方式 C = (n-r)! n n! Pr = n r n! r!(n-r)!

Ex: 阿偉有30本教科書,並且有一個可 　　放20本書的書架,阿偉放在書架　 　　上的20本書有多少種排列方法? Sol: n=30 r=20 P = = 30! 30! (30-20)! 10! = 30 20 30*29*28*….*3*2*1 10*9*8*…*3*2*1

Ex: 　7-11便利商店銷售30種不同種類的鉛筆,今天阿文要買一打不同的鉛筆,但阿文不指定任何一種類,請問阿文有幾種選擇？　 C = = = 30! 30! 12!(30-12)! 12!18! 30 12 30*29*28*….*19 12*11*10*….3*2*1

Ex: 從統計學的200人當中, 一次選出5人來當班級幹部,共有多少種可能?

lim 機率理論的種類 古典的機率理論 N種互斥同等出現 客觀的機率理論 主觀的機率理論 P(E)=[對事件E發生的信心] n(E):事件E出現的次數 n:隨機實驗的總次數 主觀的機率理論 P(E)=[對事件E發生的信心]

機率的公理體系 合乎事件A之可能結果個數 所有可能結果總數 P(A) =

n(E) 5 n(S) 36 = Ex: 投擲2個公正的骰子求其點數和 為8之機率為何? Sol: P(E) = 試問:點數和為2,3,4,5,6,7,9,10,11,12,13之機率為何? n(E) 5 n(S) 36 =

已知發生事件B之後再發生事件A的機率，稱為事件A的條件機率

一家庭有3個小孩,已知有一個女孩的條件下,這個家庭有2個男孩之機率為何? Ans: 三個小孩的樣本 Ex: 一家庭有3個小孩,已知有一個女孩的條件下,這個家庭有2個男孩之機率為何? Ans: 三個小孩的樣本 S={BBB,GGG,BBG,BGB,GBB,BGG,GBG GGB} n(S)=8 已知有一個女孩, n(S)=7 P(2個男孩 |有一個女孩)= n(2個男孩 有一個女孩) n(有一個女孩) =3/7

聯合機率 二個或二個以上事件同時發生的機率 邊際機率 在有二個或二個以上類別的樣本空間中,若僅考慮某一類別個別發生的機率

會騎機車 不會騎機車 請問:男生且會騎機車之機率? P(男生 會騎機車)=64/100 請問:女生且不會騎機車之機率? Ex: 調查統計學100個學生會騎機車的人數, 結果如下 會騎機車 不會騎機車 男生 64 2 女生 21 13 請問:男生且會騎機車之機率? P(男生 會騎機車)=64/100 請問:女生且不會騎機車之機率? P(女生 不會騎機車)=13/100

會騎機車 不會騎機車 總計 請問:已知為女生而會騎車的機率? P(會騎車|女生)= n(女生 會騎車) 男生 64 2 66 會騎機車 不會騎機車 總計 男生 64 2 66 女生 21 13 34 請問:已知為女生而會騎車的機率? P(會騎車|女生)= n(女生 會騎車) n(女生) = 21/34

= 64/100+21/100=85/100 會騎機車 不會騎機車 總計 男生 64 2 66 女生 21 13 34 會騎機車 不會騎機車 總計 男生 64 2 66 女生 21 13 34 請問:班上同學會騎機車與不會騎 機車的機率各為何? P(會騎機車)=P(男生且會騎機車)+ P(女生且會騎機車) = 64/100+21/100=85/100 P(不會騎機車)= 15/100

兩事件獨立 若A、B兩事件合乎於下列任一條件，則A 、B互為獨立 事件的性質與關係 兩事件獨立 若A、B兩事件合乎於下列任一條件，則A 、B互為獨立

相依事件 相依事件係指一事件的發生影響其它事件發生的機率 事件的性質與關係 相依事件 相依事件係指一事件的發生影響其它事件發生的機率 互斥事件 如果事件沒有共同的元素 (樣本點）

Ex: 從撲克牌中抽出一張紙牌, 試求下列之機率? (a) P(紅色牌)? (b) P(黑桃)? (c) P (紅色牌或黑桃)? (d) P(紅色牌或一張A)? (e) P(黑桃且紅色牌)? 若欲抽出兩張紙牌, P(兩張同為A)? P(第二張為A)? P(第二張為A|第一張為A)?

Ex: 設一箱子中,裝有10個相同的球其中,7個白球, 3個黃球 今天,自此箱中抽出2球. 請問,一個白球,一個黃球的機率 Ex: 設一箱子中,裝有10個相同的球其中,7個白球, 3個黃球 今天,自此箱中抽出2球.請問,一個白球,一個黃球的機率? 請畫出:樹狀圖(Tree Diagram)

* * 已知B事件發生下,求A的機率:P(A B) n(s) n(s) n(s) n(s) P(B) n(A B) n(A B) = n(s) n(B) n(B) n(s) n(A B) * = n(s) n(B) P(A B) = P(B) 條 件 機 率 or P(A B) P(B) P(A B) = * 聯 合 事 件

獨立事件: n(A B) P(A B)= n(B) n(S) n(A B) = * n(B) n(S) n(S) n(A B) = * (互斥) n(S) n(A B) = * n(B) n(S) n(S) n(A B) = * n(S) n(B) P(A B) n(A B) n(B) = / = P(B) n(S) n(S) P(A) P(B) * = = P(A) P(B)

大華公司有3000位員工,其中男:2000位 女:1000位,男員工抽菸:600人,女員工抽菸:50人 Sex Smoke Non-Smoke total F 50 950 1000 M 600 1400 2000 @其中男員工抽煙佔30%,女員工抽煙5%有一天,總經理在公司看到一員工抽煙但不知是男or女,請問抽煙是男生之機率?

P(A B1) P(B1 A) = P(A) P(A)P(A B1) = P(B1)P(A B1)+P(B2)P(A B2) A B1 B2

2 = 3000 3 抽煙之男生 P(M S) (求的) 男生抽煙比率佔0.3 P(S M)=0.3 P(M S) P(S M) P(M) 2000 2 P(M) = = (猜是男生,不論抽不抽煙) 3000 3 抽煙之男生 P(M S) (求的) 男生抽煙比率佔0.3 P(S M)=0.3 P(M S) P(S M) P(M) * P(S M)= = P(S) P(M S)+P(F S) P(S M) P(M) * 0.3*⅔ = = P(S M)P(M)+P(S F)P(F) 0.3*⅔+0.05*⅓

貝 氏 定 理 由事前機率與額外獲得的新資訊, 共同推導出事後機率 P(A) P(B A) P(A B)= P(A)P(B A)+P(C)P(B C) A,C互斥事件 ,P(A):事前機率 P(A B) ,P(C B):事後機率

貝氏定理

某 考 試 選 擇 題 (5選1) 答 對 機 率0.4, 不 會 答,用 猜 的 猜 對 機 率 1/5 已 知 此 題 答 對(某生) 請 問,他 真 正 會 做 的 機 率?

A:此 題 會 答 的 考 生 B: 此 題 不 會 答 的 考 生 G: 此 題 答 對 的 考 生 A B P(A)=0.4 P(B)=1-0.4=0.6 P( \B)=0.2 P(G\A)=1

P(A G) P(A G)= P(G) P(A)P(G A) = P(A)P(G A)+P(B)P(G B) 0.4 1 * 0.4 = = 0.52 0.4 1+0.6 0.2 * * = 0.7692 他會做(真正會):76.92%,不會做,但靠猜測:23.08%

U=E1 E2 E 3 E 4 P(Ei):每一部門佔的比例 S E1 E4 E3 E2 P(E1 S) P(E1 S)= P(S)