第三章 z变换及离散系统的频域分析 课程名称：数字信号处理 任课教师：张培珍 授课班级：信计1081-1082

3.1 z变换 1 3.2 z反变换 2 3.3 z变换的性质和定理 3 3.4 z变换与拉氏变换和傅里叶变换的关系 4 5 3.5 序列的傅里叶变换及性质 3.6 离散系统的频域分析 6 3.7 综合实例 7

引言 离散时间信号与离散时间系统 3 信号与系统的分析方法 时域分析法 频域分析法 拉普拉斯变换 傅里叶变换 Z变换 DFT变换 连续 复频域 离散

Z变换Matlab函数: F=ztrans() Z逆变换Matlab函数: F=itrans() 离散时间信号与离散时间系统 3 3.1 z变换 z变换的定义 双边： Z变换Matlab函数:  F=ztrans() Z逆变换Matlab函数:  F=itrans() 单边：

3.1 Z变换 3 z变换的收敛域 对于任意给定序列x(n)，使其z变换收敛的z平面上所有z值的集合称为z变换的收敛域。 收敛域一般用环状域来表示，其中取值可为零，取值可为无穷大，如图所示。 序列x(n)的z变换绝对收敛的条件是绝对可和，即

3.1 Z变换 3 例

3.1 Z变换 3 讨论几类序列Z变化的收敛域 1.有限长序列 其z变换为 n2 n1 n (n) .

3.1 Z变换 3 保证|z-n|<∞下面分四种情况来考虑其收敛域。

3.1 Z变换 3 例3.1序列 如图3.8所示，求其z变换及收敛域。 解 这是一个有限序列，其z变换为 图3.8序列 其收敛域为0<|z|≤∞，即除原点之外的整个z平面，如图3.9所示。 图3.9 序列 的收敛域

3.1 Z 变换 3 2. 右边序列 第一项为有限长序列，其收敛域为 ；第二项为z的负幂级数，其收敛域为 ,即以 为半径的圆外，其中 。 x(n) n n1 . 1 ... 2. 右边序列 第一项为有限长序列，其收敛域为 ；第二项为z的负幂级数，其收敛域为 ,即以 为半径的圆外，其中 。 只有两项都收敛时，该z变换才收敛。一般而言，右边序列的收敛域为 。 当时 ，此时的右边序列就是因果序列，其收敛域为 。

3.1 Z变换 3 例3.2 求序列 的z变换及收敛域。 解 这是一个右边序列，其z变换为 只有当 时 ，即 ，该序列收敛。此时 收敛域为 解 这是一个右边序列，其z变换为 只有当 时 ，即 ，该序列收敛。此时 收敛域为 ，即半径 的圆外部。

3.1 Z变换 3 x(n) n 2 3. 左边序列 ,即以 。 当 第二项为有限长序列，其收敛域 ；第一项为z的正幂级数，其收敛域为 ,即以 为半径的圆内。只有两项都收敛时，该z变换才收敛。一般而言，左边序列的收敛域为 。 当时 ，其收敛域为 。 。

3.1 Z变换 3 例3.3 求序列 的z变换及收敛域。 解 这是一个左边序列，其z变换为 显然，只有当 时，即 ，该序列才收敛。因此 显然，只有当 时，即 ，该序列才收敛。因此 其收敛域为 ，即半径 的圆内部分 图3.11 收敛域

3.1 Z变换 3 n x 4. 双边序列 只有当 时，双边序列z变换才存在，其收敛域为 ，即为一环状域。若 ，则无公共收敛域， 不存在。

3.1 Z变换 3 例3.4 已知双边序列 ，b为实数，求X(z)。 解 这是一个双边序列，其z变换为

3.1 Z变换 3 (1) 若 ，则存在公共收敛域 (2)若 ，则不存在公共收敛域，X(z)不存在。

问题：δ(n)，u(n)属于哪一种序列（单边、双边、有限长）？其Z变换、收敛域如何？ 3 问题：δ(n)，u(n)属于哪一种序列（单边、双边、有限长）？其Z变换、收敛域如何？

总结： 3.1 Z变换 有限序列全z面，零和无穷要察看； 右边序列圆外面，因果敛至无穷远； 左边序列圆里面，逆向因果含零点； 双边序列是圆环，边界考虑零极点。

3.1 Z变换 3 例： Re[z] jIm[z] N-1阶 半径R=1的圆

3.1 Z变换 3

3.1 Z变换 3

3.2 Z 反变换 3 3.2 序列x(n) z反变换 其中c是在X(z)的收敛域内一条绕原点的逆时针闭合单围线。 幂级数法和部分分式法三种。

3.2.1 留数法 3 若X(z)是z的有理函数，利用留数定理来计算围线积分。其中X(z)zn-1须在围线上连续，在围线以内有K个极点zk，而在围线以外有M个极点zm。   则有 (3.11) 或 (3.12) 注意在公式(3.12)中，必须满足X(z)zn-1的分母多项式z的阶次要比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上。

3.2.1 留数法 3 zk是X(z)zn-1的极点，其对应的留数计算方法是： (1) zk是X(z)zn-1的单阶极点 (2) zk是X(z)zn-1的 l 阶极点

3.2.1 留数法 3 例3.5 ，设收敛域 ，试用留数法求x(n)。 解 由收敛域可知x(n)是一个右边序列。 式中，围线c是半径大于2的围线，如图3.13所示。 图3.13 例3.5的围线

3.2.1 留数法 3 从X(z)zn-1的表达式可以看出，当 时，有两个一阶极点 和 ，当 时有两个一阶极点 和 及n阶极点 。 当 时，

3.2.1 留数法 3 当 时，可用式(3.12)求留数，其留数为零。 所以 或

3.2.2 幂级数法 3 把X(z)按z-1展成幂级数，即 其级数的系数就是序列x(n)。 常用方法有按幂级数公式展开法和长除法。

3.2.3 部分分式法 3 部分分式法是将X(z)表达式展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的z反变换，最后把各z反变换相加即可得到。即 则

3.2.3 部分分式法 3 例3.11 若已知 ，设收敛域 ，试用部分分式法求x(n)。 解 由X(z)的表达式可以看出，存在 和 两个单阶极点。 所以 查表3-1，可得到

3.3 Z 变换的性质和定理 3 1．线性 若 则有 2．序列的移位 若 则有

3.3 Z 变换的性质和定理 3 [例]已知 ,求其z变换。

3.3 Z 变换的性质和定理 3 3．序列的翻褶 若 则有 4. 乘以指数序列 若 则有

3.3 Z 变换的性质和定理 3 5. 序列乘以 若 则有 6. 复序列的共轭 若 则有

3.3 Z 变换的性质和定理 3 7. 初值定理 若x(n)为因果序列，则有

3.3 Z 变换的性质和定理 3 8. 终值定理 如果x(n)为因果序列，且X(z)的极点在单位圆以内(单位圆上最多有一阶极点)，则有 证明

3.3 Z 变换的性质和定理 3 9. 序列的卷积(时域卷积定理) 若 ，则 若 ，则 即收敛域等于两个收敛域的重叠部分。如果Y(z)=X(z)H(z)存在零极点相消情况时，收敛域会扩大。

3.3 Z 变换的性质和定理 3 10．z域复卷积定理 若 ，则 ，其中c是平面上 的公共收敛域内绕原点逆时针一周的封闭围线。

3.3 Z 变换的性质和定理 3 它表明信号在时域的总能量等于信号在频域的总能量，即信号经傅里叶变换后其总能量保持不变，符合能量守恒定律。 11. 帕斯瓦尔定理 它表明信号在时域的总能量等于信号在频域的总能量，即信号经傅里叶变换后其总能量保持不变，符合能量守恒定律。

3.3 Z 变换的性质和定理 3

3.3 Z 变换的性质和定理 3

3.4 z变换与拉普拉斯变换的关系 3 设 为连续信号， 为其理想采样信号，则 的拉普拉斯变换为 即 而序列 的z变换为

可以看出，当 时，序列x(n)的z变换就等于理想采样信号的拉普拉斯变换。即 3 可以看出，当 时，序列x(n)的z变换就等于理想采样信号的拉普拉斯变换。即 （3.28）

又由式(3.26)可知 由于 所以 （3.31） 上式说明：在时域采样信号的拉式变换是连续时间信号拉氏变换在s平面上沿虚轴的周期延拓。

离散时间信号与离散时间系统 3 结合式(3.28)和式(3.31)可知连续时间信号 的拉普拉氏变换 与离散时间信号x(n)的z变换之间的关系为

3.4 z变换与傅里叶变换的关系 3 由于傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴 的特例,因而映射到z平面上为单位圆 。 即采样序列的频谱是连续信号频谱 以 为周期的周期延拓。

3.5 序列的傅里叶变换 3 序列的傅里叶变换定义为 常用 表示序列的傅里叶变换。 序列的傅里叶反变换定义为 常用 表示序列的傅里叶反变换。

3.5 序列的傅里叶变换 3 序列的傅里叶变换是具有周期性的。 可以看出， 是以 为周期的周期性函数。因此在绘制 图形时，一般只需在 或 区间上标注即可。

3.5 序列的傅里叶变换 3 序列傅里叶变换的性质

3.6 离散系统的频域分析 3 3.6.1 系统函数 线性移不变系统，可用单位脉冲响应h(n)来表示，即 等式两边取z变换，有 Y(z) = X(z) H(z) H(z)称为线性时不变系统的系统函数。

3.6.2 系统函数和差分方程 3 一个N阶线性时不变系统，其常系数差分方程表示的一般形式为 两边取变换，有

3.6.2 系统函数和差分方程 3 还可以表示为 其中，cm为H(z)的零点，dk为H(z)的极点，K为比例常数。从表达式可以看出，系统函数也可由系统的零、极点来确定。

3.6.2 系统函数和差分方程 3 例3.17 差分方程 ，且 ， ， ，求 。 解 对已知的差分方程两边取变换，有 代入已知条件，得到 例3.17 差分方程 ，且 ， ， ，求 。 解 对已知的差分方程两边取变换，有 代入已知条件，得到 取z反变换，得到

3.6.3 因果稳定系统 3 1）因果：其单位脉冲响应h(n)=0,n<0;那么系统的收敛域一定包括无穷点，收敛域在某一圆外

3.6.3 因果稳定系统 2）稳定： 3 序列h(n)绝对可和，即 而h(n)的z变换的收敛域： Z=1 稳定系统的系统函数H(z)的收敛域须包含单位圆

H(z)须从单位圆到  的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内 3.6.3 因果稳定系统 3 3）因果稳定： H(z)须从单位圆到  的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内

不能构成既稳定又因果系统

3.6.3 因果稳定系统 3 例3.19 已知某系统函数 ，分析其因果性和稳定性。 例3.19 已知某系统函数 ，分析其因果性和稳定性。 解 根据系统函数可知，H(z)的极点为z1=0.5和z2=2。下面分三种情况讨论。 (1) 当收敛域 ，该系统是因果系统。由于其收敛域不包含单位圆，所以不是稳定系统。对应的单位脉冲响应 ，这是一个因果序列，同时又是发散的序列。

3.6.3 因果稳定系统 3 (2) 当收敛域 ，该系统不是因果系统。由于其收敛域包含单位圆，所以是稳定系统。单位脉冲响应 (2) 当收敛域 ，该系统不是因果系统。由于其收敛域包含单位圆，所以是稳定系统。单位脉冲响应 ，这是一个非因果但收敛的双边序列。 (3) 当收敛域 ，该系统不是因果系统。由于其收敛域不包含单位圆，所以也不是稳定系统。

综合实例 3 设某一系统由差分方程y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)描述。 (1) 求系统的系统函数H(z)，并画出零极点分布图。 (2) 限定系统是因果的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。 (3) 限定系统是稳定的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。 (4) 求出系统的频率响应并画出响应的幅频特性曲线。 (5) 设输入x(n)=δ(n)+ δ(n-1)，且系统因果的条件下，求输出y(n)。

综合实例 3 解 (1) 对差分方程两边求z变换可得 所以 其中，零点为 极点为

综合实例 3 (2) 若限定系统是因果的，则收敛域为 当n<0时，h(n)=0 当n≥0时， 因而

3.6.4 系统频率响应的几何确定法 3 （3）若限定系统是稳定的，则收敛域包括单位圆，为 当n≥0时，围线C内只有一个极点

3.6.4 系统频率响应的几何确定法 3 综合以上结果，可得 （4）系统的频率响应为

3.6.4 系统频率响应的几何确定法 3 设输入x(n)=δ(n)+ δ(n-1)，在系统因果的条件下对应的输出

3.6.4 系统频率响应的几何确定法 3 Matlab程序 den=[1 -1 -1]; num=[0 1]; subplot(211) zplane(num,den) % 求系统函数的零、极点 axis([-1 2 -1 1]) grid on [h,w]=freqz(num,den) subplot(212) plot(w,20*log(abs(h)))