第九章 正弦稳态电路的分析 学习要点 阻抗和导纳的定义及含义； 电路的相量图； 一般正弦稳态电路的分析方法—电阻电路分析方法的推广； 瞬时功率、有功功率、无功功率、视在功率、功率因数、复功率的概念与计算； 有功功率、无功功率的测量； 最大功率传输条件及其计算； 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

重点 复阻抗、复导纳的概念以及它们之间的等效变换； 正弦稳态电路的分析； 正弦稳态电路中的平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算； 最大功率传输。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

难点 复阻抗和复导纳的概念； 直流电路的分析方法及定理在正弦稳态电路分析中的应用； 正弦稳态电路中的功率与能量关系，如平均功率、无功功率、视在功率、复功率、功率因数的概念及计算； 应用相量图分析电路的方法。 本章与其它章节的联系 直流电路的分析 + 相量法基础 → 正弦稳态电路的分析方法，在第10、11、12章节中都要用到。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

§9-1 阻抗和导纳 1. 阻抗Z (1)定义 . U . I fu fi 设： = U = I . U U = fu-fi jz 则：Z §9-1 阻抗和导纳 1. 阻抗Z (1)定义 . I 含线性无源元件的一端口N0 + - U . U . I fu fi 设： = U = I . U U def = fu-fi jz 则：Z = | Z | . I I U | Z | = 为阻抗的模，也可以简称为阻抗。 I jz =fu-fi 为阻抗角。 jz就是该阻抗两端的电压与通过该阻抗电流的相位差j ！ 阻抗的单位与电阻相同。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

代数式：Z =| Z |cosjz + j| Z |sinjz (2)阻抗参数间的关系 Z + - . U I N0 指数式：Z=| Z | e jj z 极坐标式： jz Z = | Z | 代数式：Z =| Z |cosjz + j| Z |sinjz Z = R + j X Z的实部R称为电阻， Z的虚部X称为电抗。 R = |Z|cosjz |Z| = R2 + X2 X X = |Z|sinjz jz = arctg | Z | R X |Z|、R、X构成的直角三角形称为阻抗三角形。 jz R 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

(3)单个元件的阻抗 . U 纯电阻 Z = = R . I . U 纯电感 Z = = jwL = j XL . I + - . U I N0 . U 纯电阻 Z = = R . I . U 纯电感 Z = = jwL = j XL . I L N0 + - . U I XL=wL 称感性电抗， XL ∝ f ！ . U 1 1 纯电容 Z = = = -j = j XC . I jwC wC C N0 + - . U I XC = - wC 1 称容性电抗， XC ∝ (1/f ) ！ 说明 Z 可以是纯实数，也可以是纯虚数。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

(4)RLC串联电路 根据KVL和VCR的相量形式可得： . U . I . I 1 . I = R + jwL - j wC 1 . I UR UL UC jwC 1 U I N0 根据KVL和VCR的相量形式可得： . U . I . I 1 . I = R + jwL - j wC 1 . I . I = R + jwL- j = [R + j(XL+XC)] wC . I . I = (R + jX) = Z . U Z = = R + j X = | Z | jz . I X = wL- wC 1 X = XL + XC jz = arctg R 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

表现为电压超前电流，Z 呈感性，称电路为感性电路。 + - R jwL . UR UL UC jwC 1 U I N0 Z = = R + j X = | Z | jz = wL- wC X = XL + XC jz = arctg X 结论： 以电流为参考相量相量图 wC 1 . UL ①当 wL＞ 时， . U 有 X＞0 ，jz＞0 表现为电压超前电流，Z 呈感性，称电路为感性电路。 jz . I . UR . UC 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

表现为电压滞后电流，Z 呈容性，称电路为容性电路。 + - R jwL . UR UL UC jwC 1 U I N0 Z = = R + j X = | Z | jz = wL- wC X = XL + XC jz = arctg X 以电流为参考相量相量图 wC 1 . UL ②当 wL＜ 时， . UR . I 有 X＜0 ，jz＜0。 jz 表现为电压滞后电流，Z 呈容性，称电路为容性电路。 . UC 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

从相量图可以看出，正弦交流RLC串联电路中，会出现分电压大于总电压的现象。  + - R jwL . UR UL UC jwC 1 U I N0 Z = = R + j X = | Z | jz = wL- wC X = XL + XC jz = arctg X 以电流为参考相量相量图： . UL wC 1 ③当 wL = 时， 从相量图可以看出，正弦交流RLC串联电路中，会出现分电压大于总电压的现象。  有 X = 0 ，jz = 0。 . U . UR = 表现为电压与电流同相位，电路发生了串联谐振，Z 呈纯电阻性。 . I . UC 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

= R + j X = | Z | jz Z = X = XL + XC = wL- wC X jz = arctg jwL . UR UL UC jwC 1 U I N0 Z = = R + j X = | Z | jz = wL- wC X = XL + XC jz = arctg X . UX ④当R=0，X >0时，Z 为纯电感性； ⑤当R=0，X<0时，Z 为纯电容性。 . U RLC 串联电路的电压 UR、 . UX UX、U 构成电压三角形。 |Z| X . I 满足： jz U = UR + UX 2 . UR R 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

2. 导纳 Y 1 (1)阻抗Z的倒数定义为导纳Y， 即：Y = Z . I I Y = = fi-fu = |Y| jY [单位是S] . 称为导纳模， 也可以简称为导纳。 U jY =fi-fu 称为导纳角。 导纳的代数形式为： Y = G + j B jY | Y | G B 导纳三角形 实部G称为电导，虚部B称为电纳。 G、B、|Y|、jY 之间的关系为 G=|Y|cosjY |Y| = G2 + B2 B B=|Y|sinjY jY = arctg G 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

当无源网络内为单个元件时，等效导纳分别为 ： (2)单个R、L、C 元件的导纳 Y + - . U I N0 当无源网络内为单个元件时，等效导纳分别为 ： . I 1 纯电阻 Y = = = G 称为电导； . U R . I 1 纯电感 Y = = = jBL . U jwL 1 BL = - 称为感性电纳； wL . I Y 可以是纯实数，也可以是纯虚数。 纯电容 Y = = jwC = jBC . U BC = wC 称为容性电纳； 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

(3)RLC并联电路 . 根据VCR和KCL的相量形式可得： . I . U 1 . U . U = G + + jwC jwL 1 . U - I 根据VCR和KCL的相量形式可得： . I . U 1 . U . U = G + + jwC jwL 1 . U . U = G - j + jwC = [G + j(BL+ BC)] wL . U . U = (G + jB) = Y | Y | B . I jY Y = = G + j B = | Y | . U jY 1 B = BL + BC = - +wC wL G B |Y| = jY = arctg G2 + B2 导纳三角形 G 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

. jY = G + jB = | Y | Y = B = BL+ BC = - +wC wL B jY = arctg |Y| = I3 jwL jwC 1 I2 I1 R U + - I Y = = G + jB = | Y | jY jY = arctg B |Y| = G2+B2 = - wL B = BL+ BC +wC 以电压为参考相量相量图 结论： 对于 RLC 并联电路 . IC ① B＜0或jY ＜0，称Y为感性； ② B＞0或jY ＞0，称Y为容性； ③ B=0或jY =0，Y为纯电阻性； ④ G=0，B＜0，Y为纯电感性； ⑤ G=0，B＞0，Y为纯电容性。 . I . IC + IL jY . U . IR . IL 电流三角形 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

从相量图可以看出，正弦交流RLC并联电路中，会出现分电流大于总电流的现象。  G . I3 jwL jwC 1 I2 I1 R U + - I Y = = G + jB = | Y | jY jY = arctg B |Y| = G2+B2 = - wL B = BL+ BC +wC . I3 ③ B=0、jY =0，时的相量图 从相量图可以看出，正弦交流RLC并联电路中，会出现分电流大于总电流的现象。  . I1 . I = . U . I2 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

N0的等效阻抗(导纳)、输入阻抗(导纳)或驱动点阻抗(导纳)，它们的实部和虚部都是外施正弦激励的角频率w 的函数： 3. 阻抗与导纳的相互等效 . I 含线性无源元件的一端口N0 + - U N0的等效阻抗(导纳)、输入阻抗(导纳)或驱动点阻抗(导纳)，它们的实部和虚部都是外施正弦激励的角频率w 的函数： Z(jw) = R(w) + jX(w) Y(jw) = G(w) + jB(w) 若已知 Z = 5 30o W 1 则 |Y| = = 0.2 S 一端口的阻抗和导纳可以互换，等效互换的条件为： |Z| jY =- jz =-30o Z(jw) Y(jw) =1 所以 Y = 0.2 -30o S 分开写 | Z | | Y | = 1 jZ + jY = 0 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

若已知 Z=R+jX ，求等效的 Y=G+jB 1 1 . I R + - U jX 则： Y = = = Z R + jX (R + jX) (R - jX) R -X = + j = G + jB R2 + X2 R2 + X2 R X G = B = - |Z|2 |Z|2 若已知 Y = G + jB jB . I + - U G 等效成 Z = R + jX G B 则 R = X = - |Y|2 |Y|2 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

电路如图，求各支路电流和 . U10 。 w = 314rad/s . U10 解：选 ? 为参考相量。 . U10 = U10 0o V Z1 电路如图，求各支路电流和 . U10 。 + - R1 . I U10 jwC 1 Us R2 jwL I2 I1 10W 0.5H 10m 1k 100V w = 314rad/s . U10 解：选 ? 为参考相量。 . U10 = U10 0o V 设 串联支路阻抗为Z1 并联支路导纳为Y10 则 Z1=10 + j157 W 1 Y10 = + jwC =10-3 + j3.14×10-3 R2 =3.2954×10 -3 72.33o S 1 Z10 = = 303.45 -72.33o = 92.11- j289.13 W Y10 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

电路如图，求各支路电流和 . U10 。 w = 314rad/s Z1=10 + j157 W Z10 = 92.11- j289.13 I U10 jwC 1 Us R2 jwL I2 I1 10W 0.5H 10m 1k 100V w = 314rad/s Z1=10 + j157 W Z10 = 92.11- j289.13 = 303.45 -72.33o W Zeq= Z1+Z10 = (92.11+10) + j(157-289.13) . US = 102.11 - j132.13 . I = 100 = Zeq =166.99 -52.30o W -52.30o 166.99 = 0.6 52.30o A 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

+ - R1 . I U10 jwC 1 Us R2 jwL I2 I1 10W 0.5H 10m 1k 100V w = 314rad/s Z1=10 + j157 W Z10 = 92.11- j289.13 = 0.6 52.30o A Z1 -72.33o = 303.45 W 电路如图，求各支路电流和 . U10 。 . U10 . I = Z10 =303.45 ×0.6 -72.33o + 52.30o =182.07 -20.03o V . I1= jwC . U10 =182.07 ×0.00314 90o - 20.03o A . U10 =0.57 69.97o A . I2 = =0.182 -20.03o A R2 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

§9-2 电路的相量图 相量作为一个复数，可以用复平面上的有向线段来表示。 按照大小和相位关系，用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。 因相量图能直观地反映各相量之间的关系，所以借助于相量图对电路进行辅助分析和计算，有时能起到“事半功倍”的效果。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

相量图的定性画法 ①选一参考相量，通常是某一并联部分的电压，习惯上把它画在水平方向。 ②由VCR确定并联支路电流的相量→由KCL确定结点电流相量； ③对串联部分，以电流相量为参考→由VCR确定有关电压相量→由KVL确定回路上各电压相量。 ④绘制时，可以用平移求和法则，使各相量（有关结点电流相量、回路电压相量等）构成若干个封闭的多边形。 ⑤也可以使各相量都从原点向外辐射，用平行四边形法则求和。 一般是根据需要，结合上述两种方式，画成便于分析计算的形状。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

当需要借助相量图进行分析计算时，右图选并联部分电压为参考相量比较方便。 . I 当需要借助相量图进行分析计算时，右图选并联部分电压为参考相量比较方便。 R1 jwL 1 . I1 . I2 + + . US 1 . U10 R2 jwC - - 定性绘制过程： R1 . I . I1 . U10 . U10 VCR KCL . I VCR KVL . US jwL . I . I2 . US . I R1 绘制时应根据已知条件，使图形大致符合比例。 . I jwL . I . I1 . U10 . I2 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

. U 与 . I 同相。 例题： 求： I、R、XC、XL 。 . Uab 解：选 为参考相量 . Uab 90o . I1 超前 . + - . I Uab U R jXL I2 I1 a b -jXC 100V 10A 例题： 求： I、R、XC、XL 。 . Uab 解：选 为参考相量 . Uab 90o . I1 超前 . I2 与 . Uab 同相 . I2 . I1 . I . I = . I1+ . I2 jXLI . 45o 由KCL . U jXLI . I = I1 + I2 = 14.14 A 2 2 . . I 90o jXLI 超前 45o . Uab . U = jXLI . . 由KVL知： + Uab 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

I = 14.14 A jXLI I、R、XC、XL 。 求： U 与 I 同相。 例题： XLI = U = 100V U 100 Uab + - I U R jXL I2 I1 a b -jXC 100V 10A jXLI 45o I、R、XC、XL 。 求： U 与 I 同相。 例题： XLI = U = 100V U 100 XL = = = 7.07 W I 14.14 Uab = 2 U = 141.4V Uab R = = 14.14 W I2 Uab XC = = 14.14 W I1 若给定w，还能进一步算出L和C。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

I、R、XC、XL 。 求： U 与 I 同相。 例题： 也可以用复数运算求解 . Uab 选 为参考相量，则 . Uab = Uab 0o 1 1' + - . I Uab U R jXL I2 I1 a b -jXC 100V 10A I、R、XC、XL 。 求： U 与 I 同相。 例题： 也可以用复数运算求解 . Uab 选 为参考相量，则 . Uab = Uab 0o V . I1 = j10 A， . I2 = 10 A R (-jXC) Z11' = jXL+ R - jXC . I = . I1+ . I2 = (10+j10) A -jXC = jXL+ 1-j = 14.14 45o A -jXC (1+j) I1= I2 R=XC = jXL+ 2 = 0.5XC + j (XL - 0.5XC) 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

I、R、XC、XL 。 求： U 与 I 同相。 例题： Z11' = 0.5XC + j (XL - 0.5XC) . U 与 . Uab U R jXL I2 I1 a b -jXC 100V 10A I、R、XC、XL 。 求： U 与 I 同相。 例题： Z11' = 0.5XC + j (XL - 0.5XC) . U 与 . I 同相 Z11' 呈纯电阻 所以：XL - 0.5XC = 0 . U 100 由 Z11' = = =7.07 = 0.5XC . I 14.14 得 XC =14.14 W = R 由 XL - 0.5XC = 0 得 XL = 0.5XC = 7.07 W 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

§9-3 正弦稳态电路的分析 本节的核心内容：将电阻电路的各种分析方法，推广到正弦稳态电路中。 电阻电路中的很多方法和定理，都以两类约束为基础，即： KCL、KVL和VCR。 在引入相量和复阻抗的概念以后，两类约束的相量表达式与时域表达式具有相同的形式： ∑I = 0 . KCL ∑i = 0 ∑U = 0 . KVL ∑u = 0 . U = Z I VCR u = Ri 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

以两类约束为基础的各种计算方法和定理必然也具有相同的形式。 所以电阻电路的各种分析方法和定理就能推广到正弦稳态电路中来。 推广时作如下变换： 电阻电路 正弦稳态电路 . I i 例如：Req的定义与求法，可以推广成 Zeq的定义与求法； . U u R Z G Y 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

相量法把描述动态电路的微分方程变为复数的代数方程。与求微分方程的特解(正弦稳态解)相比，使计算简化，书写方便，物理概念也更加突出。 推广后的差别 相量法把描述动态电路的微分方程变为复数的代数方程。与求微分方程的特解(正弦稳态解)相比，使计算简化，书写方便，物理概念也更加突出。 由于描述的物理过程不同，所以方程为相量形式，计算为复数运算。 因为 p = ui 是非正弦量，所以，功率的计算要单独考虑(后述)。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

① ② 解题指导 例1：独立源均为同频率正弦量。试列出该电路的结点电压方程和回路电流方程。 解：用观察法列结点电压方程 . Un1 . + - . IS5 US1 Z1 US3 Z2 Z3 Z4 Z5 解题指导 ① ② 例1：独立源均为同频率正弦量。试列出该电路的结点电压方程和回路电流方程。 + - . U . Il1 . Il2 . Il3 解：用观察法列结点电压方程 . Un1 . Un2 . US1 . US3 ① (Y1+Y2+Y3) - Y3 = Y1 + Y3 . Un1 . Un2 . US3 . + IS5 ② - Y3 + (Y3+Y4) = -Y3 用观察法列回路电流方程 . Il1 . Il2 . US1 = L1 (Z1+Z2) -Z2 . Il1 . Il2 . Il3 = . -US3 L2 -Z2 + (Z2+Z3 +Z4) -Z4 . Il3 = . - IS5 L3 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

例2：独立源均为同频率正弦量。试列出该电路的结点电压方程和回路电流方程。 . US3 ① ② ③ ④ + - Z3 I3 US2 b Z1 Z4 Z5 例2：独立源均为同频率正弦量。试列出该电路的结点电压方程和回路电流方程。 解：选参考结点时，尽量把无伴电压源选为结点电压。 . Un1 = . US2 . Un1 . Un3 . Un4 . US3 ③ -Y3 + (Y3+Y4+Y5) -Y5 = -Y3 . Un1 . Un3 . Un4 . I3 ④ -Y1 -Y5 + (Y1+Y5) = b 用结点电压表示控制量： . Un1 . Un3 . US3 - - . I3 = . Un1 . Un3 . US3 = Y3 - - Z3 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

例3：求右图一端口的戴维宁等效电路。 解：求开路电压 . Uoc . I2 . Uao = -r + . I2 = Y2 . Uao . US1 + - Z1 Z2 I2 IS3 rI2 1 1' Uoc 例3：求右图一端口的戴维宁等效电路。 解：求开路电压 . Uoc . I2 . Uao = -r + . I2 = Y2 . Uoc + - Zeq 1 1' . Uao . Uoc . Uao . Uao . Uao = -rY2 + = (1-rY2) . US1 . - IS3 Y1 . Uao = 用结点法求出 Y1 + Y2 . US1 . - IS3) (1-rY2) (Y1 . Uoc = 代入上式得 Y1 + Y2 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

例3：求右图一端口的戴维宁等效电路。 . Uoc = (1-rY2) (Y1 US1 - IS3) Y1 + Y2 再求等效阻抗 Z1 a o . US1 + - Z1 Z2 I2 IS3 rI2 1 1' Uoc 例3：求右图一端口的戴维宁等效电路。 . Uoc = (1-rY2) (Y1 US1 - IS3) Y1 + Y2 再求等效阻抗 . Uoc + - Zeq 1 1' Z1 . I2 = . I Z1+Z2 Z1+Z2 . I = . I2 . I2 =(1+Y1Z2 ) a o . US1 + - Z1 Z2 I2 IS3 rI2 1 1' U I Z1 . U . I2 . I2 . I2 = -r + Z2 = (Z2-r) . U Z2-r Zeq = = . I 1+Y1Z2 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

例4：US =380V， f =50Hz，C为可变电容，当C=80.95mF时，表A读数最小为2.59A。求：表A1的读数。 R1 . I jwC 1 + - US jwL1 I1 IC A A1 解法1：借助相量图求解 . US 选 为参考相量 . I = . I1+ . IC 调C，IC变。但： 始终构成封闭三角形。 . US I1 IC I . US I1 IC I . IC . I1 不变， . IC 始终与 . US 正交。 . US . I . US 当 与 同相时最小。 . I1 . I IC = 2pfCUS = 9.66A I1 = 9.662 + 2.592 = 10 A 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

例4：US =380V， f =50Hz，C为可变电容，当C=80.95mF时，表A读数最小为2.59A。求：表A1的读数。 R1 . I jwC 1 + - US jwL1 I1 IC A A1 解法2：电路的输入导纳为 R1 wL1 Y = jwC+ - j |Z1|2 |Z1|2 调C，只改变Im[Y]。 . I = 2.59 则 0o A 当Im[Y ]=0时，| Y |最小， . IC = jwC . US = j9.66A I = | Y |U 也最小。 . I1= . I - . IC = 2.59 - j9.66 电路呈纯电阻性， . US . I 与 同相。 = 10 -70o A . US = 380 设 0o V 表A1的读数为10 A。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

实践中，可以用这种电路测量一个电感线圈的参数。 例4：US =380V， f =50Hz，C为可变电容，当C=80.95mF时，表A读数最小为2.59A。求：表A1的读数。 R1 . I jwC 1 + - US jwL1 I1 IC A A1 实践中，可以用这种电路测量一个电感线圈的参数。 由以上(测得的)数据算出 . I1= 10 电感线圈 -70o A . Us Z1 = = 38 70o = 13 + j 35.71 W . I1 35.71 R1=13 W， L1= = 113.7mH w 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

电流表A的读数为2A，电压表V1、V2的读数均为200V，求参数R、L、C，并作出该电路的相量图。 例5：P228例9-5。已知 R + - L A V1 uS V2 C i uS= 200 2 cos(314t+60o) V 电流表A的读数为2A，电压表V1、V2的读数均为200V，求参数R、L、C，并作出该电路的相量图。 . UL . U1 . U1 解：另选电流为参考相量 . UR . I = 2 0o A . I 30o 根据已知条 . U2 . US 30o 件，定性绘出相量图。 60o . U2 = -j 200 V 分析相量图得： . U1 = 200 . US = 200 30o V， -30o V， 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

I = 2 0o A U2 = -j 200 V U1 = 200 30o V， US = 200 -30o V。 . U1 200 30o R + - L A V1 uS V2 C i . I U2 UR UL U1 US 60o 30o I = 2 0o A U2 = -j 200 V U1 = 200 30o V， US = 200 -30o V。 . U1 200 30o Z1=R+jwL= = . I 2 0o =100 30o =86.6+j50 W R=86.6 W， wL=50 W 50 L= = 0.159H 314 . U2 -j200 ZC= = = -j100 W . I 2 1 1 = -j C = = 31.85 mF wC 100w 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

若硬要在uS的基础上写出其它电压、电流的瞬时值表达式，可将以电流为参考相量的相量图逆时针旋转90o： 本例给定 R + - L A V1 uS V2 C i . I U2 UR UL U1 US 60o 30o cos(314t+60o) V 2 uS= 200 若硬要在uS的基础上写出其它电压、电流的瞬时值表达式，可将以电流为参考相量的相量图逆时针旋转90o： . I U2 UR UL U1 US 60o 30o 如： cos314t V 2 u2= 200 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

例6 电路及参数如图, S动作前已达稳态。t=0时S闭合。求：iL、uC。 R1 + - L uS C iL(t) R2 uC(t) S 5mF 50W 150W 0.2H 解：S 闭合后，电路被分为两个一阶电路。与第七章不同的是电源不是直流，而是正弦电源。由于是一阶电路，仍是三要素法最简便，只是在求初值和稳态值时用相量法。 uS =70 sin(1000t+36.9o) V 2 由t＜0的电路求初值： . US . IL= 1 R1+R2+ j wL- wC 36.9o 70.7 = 150+50+ j(200-200) 36.9o A = 0.3535 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

. IL= 0.3535 36.9o A . UC . IL = -j200 -53.1o V =70.7 所以求出 iL = 0.3535 R1 + - L uS C iL(t) R2 uC(t) S 5mF 50W 150W 0.2H uS =70 sin(1000t+36.9o) V 2 . IL= 0.3535 36.9o A . UC . IL = -j200 -53.1o V =70.7 所以求出 iL = 0.3535 2 sin(wt+36.9o) A (t＜0) iL(0-) = 0.3535 sin36.9o = 0.3A 2 同理求出 uC(0-) = 70.7 sin(-53.1o) = -80V 2 t＞0后，由RC电路部分求零输入响应： tC=R2C=2.5×10-4s， uC(∞) = 0 uC(t) = -80e-4000t V (t≥0) 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

t＞0后，由RL电路部分求正弦电源激励的全响应。 iL(0-) = 0.3A R1 + - L uS C iL(t) R2 uC(t) 5mF 50W 150W 0.2H t≥0 S t =L/R1=(1/750)s t＞0后，由RL电路部分求正弦电源激励的全响应。 f(t) = f '(t) + [ f(0+) -f '(0+) ] - t e 先用相量法求特解 iL' (0+) = 0.4 sin(-16.23o) . US 36.9o = - 0.112A . IL' = 70.7 = R1+jwL 150+j200 iL(0+) = iL(0-) = 0.3A -16.23o A =0.2828 代入三要素公式得 iL' (t)=0.2828 iL(t) = [0.4 sin(wt-16.23o) 2 sin(wt-16.23o) = 0.4 sin(wt-16.23o) A + 0.4 12e-750t]A (t≥0) 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

§9-4 正弦稳态电路的功率 1. 瞬时功率p 为分析方便，以电流为参考正弦量。 即把计时起点选在fi = 0的时刻： 只含无源元件的一端口 (N) + - u i 1. 瞬时功率p 为分析方便，以电流为参考正弦量。 即把计时起点选在fi = 0的时刻： wt o u ,i i = I coswt 2 j u = U cos(wt+j) 2 电压与电流之间的相位差 u j = fu -fi = fu i 因 u、i采用关联的参考方向，故一端口吸收的瞬时功率为： p = u i = 2 U cos(wt+j) 2 I coswt 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

第二项仍为正弦量，但频率是电压或电流的两倍。 1. 瞬时功率p p = u i = 2 U cos(wt+j) 2 I coswt 只含无源元件的一端口 (N) + - u i = UIcosj + UIcos(2wt+j) 第一项为恒定量。 wt o u ,i , p j i u 第二项仍为正弦量，但频率是电压或电流的两倍。 p 瞬时功率式还可以改写成 p = UIcosj (1+cos2wt) -UIsinj sin2wt UI cosj 第1项始终≥0为不可逆部分。 UIcos(2wt+j) 第2项为两倍电压或电流频率的 正弦量，是瞬时功率的可逆部分。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

不可逆部分是一端口内部所有电阻消耗的功率。 p = UIcosj (1+ cos2wt) - UIsinj sin2wt 不可逆部分 可逆部分 只含无源元件的一端口 (N) + - u i 不可逆部分是一端口内部所有电阻消耗的功率。 可逆部分正负交替，说明一端口与电源之间有能量交换情况。 p＞0，表示电路吸收功率， p＜0，表示电路发出功率。 因为没有必要研究电路中每时每刻的功率情况，而且瞬时功率也不便于测量。所以瞬时功率的实际意义不大。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

2. 有功功率P 和 功率因数cosj (或用l表示) 只含无源元件的一端口 (N) + - u i 为便于测量，通常采用平均功率P的概念。P为瞬时功率在一个周期内的平均值，即： 1 ∫ T P = p dt 积分结果是 P = UIcosj T P 不仅与电压和电流有效值的乘积有关，而且还与 它们之间的相位差有关！ cosj 称为功率因数。 一般有 0≤|cosj | ≤1。 cosj =1，表示一端口的等效 阻抗为纯电阻，P = UI 达到最大； cosj =0，表示一 端口的等效阻抗为纯电抗，P = 0。 P实际上是电阻消耗的功率，亦称为有功功率。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

由于Q并非一端口实际消耗的功率，故称无功功率。 3. 无功功率Q 和视在功率 S 无源一端口N0 + - u i 有源一端口NS def Q U I sinj 由于Q并非一端口实际消耗的功率，故称无功功率。 Q与瞬时功率的可逆部分有关，反映了一端口与外电路之间进行能量交换的规模(最大值)。 为便于区分，Q的单位用Var(乏)。 def S U I 视在功率反映含源一端口的做功能力。也称表观功率。 发电机、变压器等许多电力设备的容量就用S表示。S的单位是VA(伏安)。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

4. S、P、Q、j 之间的关系 通过上述分析可知： S = UI P = UIcosj = Scosj 功率三角形 Q = UIsinj = Ssinj 功率三角形 S P Q U UR UX S = P2 + Q2 R X |Z| Q j j = arctg P 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

5. 单一R、L、C元件时的功率情况 (1) R ：u与i 同相，j =0 i = I coswt 2 u = I coswt 2 + - u i (1) R ：u与i 同相，j =0 i = I coswt 2 u = I coswt 2 wt o u ,i , p p=ui=UI(1+cos2wt)≥0 总有 p≥0，说明R一直 UI u 在吸收功率。 i PR=UIcosj =UI = I2R=U2 G QR=UIsinj = 0 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

u i (2) L：u 超前 i 90o , 即j =90o i = I coswt 2 u = I cos(wt+90o) 2 - u i (2) L：u 超前 i 90o , 即j =90o i = I coswt 2 u = I cos(wt+90o) 2 p=ui= -UIsin2wt wt o u , i , p P=UIcosj = 0，不耗能。 Q=UI  p交替变化，说明L对外 有能量交换，其规模为： QL=UIsin90o =UI = wLI I 放 吸 放 吸 U2 = I2wL = = I2XL wL 工程上认为，L吸收无功功率。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

工程上认为，C放出无功功率(以示与L的区别)。 (3) C：u 滞后i 90o，即j = -90o C + - u i i = I coswt 2 u = I cos(wt-90o) 2 p=ui= UIsin2wt wt o u , i , p P=UIcosj = 0，不耗能。 Q=UI  p交替变化，说明C对外 有能量交换，其规模为： QC=UIsin(-90o) = -UI 1 吸 放 吸 放 = - I2 = -U2wC = I2XC wC 工程上认为，C放出无功功率(以示与L的区别)。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

例题：电感参数R、L的测量电路如图。根据测出的数据求R、L。 W A V * + - . US I 50V 1A 30W f=50Hz R L 例题：电感参数R、L的测量电路如图。根据测出的数据求R、L。 解： 功率表的读数就是 电感线圈电阻 R 消耗的 有功功率。 wL = 502 - 302 = 40W 由 P= I2R =30 W 40 40 L = = = 127mH w 314 得 R=30W 或者 P= UI cosj =30 W 电压有效值与电流有效 P 值之比即为电感线圈的 cosj = =0.6 j = 53.1o UI 阻抗(模)。 Z =50 53.1o =30+j40 W U |Z|= = 50W I 得 R=30W，wL= 40W。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

§9-5 复功率 正弦电流电路的有功功率、无功功率和视在功率 三者之间的关系可以通过“复功率”表述。 1. 定义： . U=U . I = I 设一端口的 fu ， fi . U . I* del 则： j S = UI fu-fi = S =UIcosj + jUIsinj = P+jQ S 把 P、Q、S 联系在一起，它的实部是平均功率； 虚部是无功功率，模是视在功率； 辐角是功率因数角。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

∑ S = 0 ∑ P = 0 ∑Q = 0 2. 复功率也可表示为 P + jQ . U . I* . I ) . I* S = = (Z = ZI2 = (R + jX) I2 = RI2 + jXI2 . U . I* . U . U 或 S = = (Y )* = YU2  S 本身不代表正弦量， 它作为一个复数，只用于 辅助计算功率。 电路也满足复功率守恒 ∑ S = 0 ∑ P = 0 ∑Q = 0 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

P239 例9-10 ：已知 U=380V， f =50Hz，cosj1=0.6，P1=20kW 欲使cosj=0.9，求补偿电容C。 R jwL jwC 1 + - . I U I1 IC 解法1：并联C前 j1 S1 Q1 P1 cosj1= 0.6→j1=53.13o R jwL jwC 1 + - . I U I1 IC 根据功率三角形得 Q1= P1tg j1 = 20tg53.13o = 26.67 kvar RL支路的复功率为 并联C后 ① 不会改变 S1； S1 =P1+ jQ1 ② 不会改变 P1。 =20+j26.67 kVA 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

若 C的复功率为 SC = 0 + jQC 则 S = S1+ SC = P1+ j(Q1+ QC) 因 要求把cosj 提高到 0.9 R jwL jwC 1 + - . I U I1 IC 若 C的复功率为 SC = 0 + jQC 则 S = S1+ SC = P1+ j(Q1+ QC) 因 要求把cosj 提高到 0.9 故 j =±25.84o 因此补偿后总无功功率 QC = -16.98 或 -36.36 kvar Q = Q1+ QC = P1tgj 取较小(绝对)值，少花钱。 =±9.69 kvar 由QC = -wCU2 得 QC 需要C补偿的无功功率为 19.68×103 C = = -wU2 314×3802 QC =±9.69 - Q1 = 374.49 mF =±9.69-26.67 kvar 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

解法2：借助相量图。 接C前I1的无功电流分量为I1sinjZ1 接C后I1的无功电流分量变为IsinjZ 需要的补偿电流 IC 应为 R jwL jwC 1 + - . I U I1 IC 解法2：借助相量图。 接C前I1的无功电流分量为I1sinjZ1 接C后I1的无功电流分量变为IsinjZ 需要的补偿电流 IC 应为 IC = I1sinjZ1 - IsinjZ . IC P1 P1 将 I1= I = UcosjZ1 UcosjZ IcosjZ = I1cosjZ1 . U IC =wCU 代入上式并整理得 jZ1 . I1 . I jZ P1 C = (tgjZ1 - tgjZ) wU2 代入已知数据可求得 C=375mF 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

式中 Y= Y cosjY + j Y sinjY R jwL jwC 1 + - . I U I1 IC 解法3：根据等效导纳求解 接C后等效导纳为：Y=Y1+YC 式中 Y= Y cosjY + j Y sinjY Y1= Y1 cosjY1+ j Y1 sinjY1 所以 YcosjY+jYsinjY = Y1cosjY1+ jY1sinjY1+ jwC 即 Y sinjY = Y1 sinjY1+ wC P1 注意jY(jY1)与jZ(jZ1)的差别 由 P1 =U(U Y1) cosjY1 得 Y1 = U2cosjY1 P1 由 P =U(U Y) cosjY 得 Y = U2cosjY P1 代入上式整理得 C = (tgjY -tgjY1) wU2 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

提高功率因数的意义 接C前，I = I1 P1 20×103 I1= = = 87.72A U cosj1 380×0.6 R jwL jwC 1 + - . I U I1 IC 提高功率因数的意义 接C前，I = I1 P1 20×103 I1= = = 87.72A U cosj1 380×0.6 接C后P1不变，I1仍为87.72A。 但电源提供的电流 I 减小了： R jwL jwC 1 + - . I U I1 IC P1 20×103 I = = = 58.48A Ucosj 380×0.9 ①提高了电源设备的利用率； ②降低了传输线路上的损耗。 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

若为诺顿等效电路，则条件是 Y=Yeq*。 §9-6 最大功率传输 . I Z + - U Zeq Uoc NS Z + - . U I 若为诺顿等效电路，则条件是 Y=Yeq*。 Z=？能获得最大功率？ Pmax=？ 若Z无约束，则 设：Z=R + jX，Zeq=Req+ jXeq X +Xeq=0 时可获得最大功率。 则负载吸收的功率为 dP =0 dR Uoc 2 P= I2R = R 解得：Z=Req- jXeq =Z*eq |Z+Zeq| 2 R Uoc Uoc 2 2 共轭匹配 = Pmax= (R + Req)2+ (X + Xeq)2 4Req 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三

本章结束 2018年12月26日星期三2018年12月26日星期三