史密斯圆图 复平面上反射系数的表示方法 2.1 史密斯阻抗圆图 2.2 史密斯导纳圆图 2.3 史密斯圆图在集总参数元件电路中的应用 2.4

在传输线问题的计算中，经常涉及输入阻抗、负载阻抗、反射系数和驻波系数等量，以及这些量之间的相互关系，这些量利用前面给出的公式进行计算，并不困难，但比较繁琐。

为简化计算，P.H.Smith开发了图解方法，这种方法可以在一个图中简单、直观地显示传输线上各点阻抗与反射系数的关系，该图解称为史密斯圆图。

本章首先在标准复平面上给出反射系数的表示方法；然后介绍史密斯阻抗圆图和导纳圆图的构成；随后介绍如何利用图解法工具；最后给出史密斯圆图的应用举例。本章只讨论无耗均匀传输线的情况。

2.1 复平面上反射系数的表示方法 反射系数可以用以了解传输线上的工作状态。反射系数是传输线的基本特性参数，其既描述了传输线上各点反射电压与入射电压之间的关系，也描述了负载阻抗与特性阻抗的失配度。

史密斯圆图是在反射系数的复平面上建立起来的，为此，首先介绍复平面上反射系数的表示方法。

2.1.1 反射系数复平面 由式（1.28）可知，无耗传输线上距离终端为z′处的反射系数为

式（2.1）表明，反射系数是复数，可以在复平面上表示Γ（z′），不同的反射系数Γ（z′）对应复平面上不同的点。

在Γ（z′）=Γr+jΓi的复平面上，|Γ（z′）|由|ΓL|确定。由式（1.27）有

|ΓL|由负载阻抗ZL与特性阻抗Z0的失配度决定。

2.1.2 等反射系数圆和电刻度圆 1. 等反射系数圆 式（2.1）表明，在Γ（z′）=Γr+jΓi的复平面上，同一条传输线上各点的反射系数在同一个圆上，这个圆称为等反射系数圆。 反射系数模值相等

等反射系数圆的轨迹是以坐标原点为圆心、|ΓL|为半径的圆。因为0≤|ΓL|≤1，所以所有传输线的等反射系数圆都位于半径为1的圆内，这个半径为1的圆称为单位反射圆。

对负载阻抗与特性阻抗失配度不同的传输线而言，传输线的反射系数模值是不同的，因而就对应着不同的等反射系数圆半径，这一组半径不同的等反射系数圆称为等反射系数圆族。

又因为反射系数的模值与驻波系数一一对应，所以等反射系数圆族又称为等驻波系数圆族。等反射系数圆族有下面3个特点。

（1）当等反射系数圆的半径为0，即在坐标原点处时，反射系数的模值|ΓL|=0，驻波系数ρ=1。所以，反射系数复平面上的坐标原点为匹配点。

（2）当等反射系数圆的半径为1时，为单位反射圆，单位反射圆上反射系数的模值|ΓL|=1，驻波系数ρ=∞。所以，反射系数复平面上的单位反射圆对应着终端开路、终端短路和终端接纯电抗负载时传输线上各点的反射系数。

（3）所有等反射系数圆均在单位反射圆内，圆的半径随负载阻抗与特性阻抗失配度的不同而不同，同一条传输线上各点的反射系数在同一个圆上。 如图虚线所示。

图2.1 等反射系数圆

2. 电刻度圆 可以在单位反射圆的外面画两个同心圆分别标明反射系数相角的变化， · 一个圆用来标明传输线电长度一周变化λ/2； 2. 电刻度圆 可以在单位反射圆的外面画两个同心圆分别标明反射系数相角的变化， · 一个圆用来标明传输线电长度一周变化λ/2； · 另一个圆用来标明相角一周变化360°。

标明电长度变化的圆称为电刻度圆，电刻度圆的起始位置在圆的最左端，顺时针旋转时电刻度的数值增大。 相角的起始位置在圆的最右端，逆时针旋转时相角的数值增大。 电刻度圆和相角变化的情况如图2.2所示。

图2.2反射系数的相角和电刻度圆

2.2 史密斯阻抗圆图 史密斯阻抗圆图用来显示传输线上各点输入阻抗与反射系数的关系。 传输线上任意一点的反射系数都与该点的归一化输入阻抗有关，将归一化输入阻抗用归一化电阻和归一化电抗表示，等归一化电阻曲线和等归一化电抗曲线都是圆。

将等电阻圆和等电抗圆画在反射系数的复平面上，就构成了史密斯阻抗圆图。

2.2.1 归一化阻抗 2.2.2 等电阻圆和等电抗圆 在反射系数的复平面上，归一化电阻为常数的曲线称为等电阻曲线；归一化电抗为常数的曲线称为等电抗曲线。

将式（2.6）变换后得 （a） 等电阻圆 （b） 等电抗圆 图2.3 等电阻圆和等电抗圆

2.2.3 史密斯阻抗圆图 电刻度圆 相角圆 图2.4 史密斯阻抗圆图的构成

图2.5 史密斯阻抗圆图

由上面圆图的构成可以知道，史密斯阻抗圆图有如下特点。 （1）圆图旋转1周为λ/2，而非λ。

（2）圆图上有3个特殊的点。 ●匹配点。坐标为（0，0），此处对应于r=1、x=0、 |Γ|=0、ρ=1。

（3）圆图上有3条特殊的线。 ●右半实数轴线。线上x=0、r>1，为电压波腹点的轨迹；同时，线上r的读数也为驻波系数的读数。由驻波系数可以求得反射系数的模值。 ●左半实数轴线。线上x=0、r<1，为电压波谷点的轨迹；同时，线上r的读数也为行波系数的读数。由行波系数可以求得反射系数的模值。 ●单位反射系数圆。线上r=0，为纯电抗轨迹（还有开、短路点），反射系数的模值为1。

（4）圆图上有2个特殊的面。 ●实轴以上的上半平面是感性阻抗的轨迹。 ●实轴以下的下半平面是容性阻抗的轨迹。

（5）圆图上有2个旋转方向。 ●传输线上的点向电源方向移动时，在圆图上沿等反射系数圆顺时针旋转。 ●传输线上的点向负载方向移动时，在圆图上沿等反射系数圆逆时针旋转。

（6）由圆图上的点可以得到4个参量，其为r、x、|Γ|、φ。

2.2.4 史密斯阻抗圆图的应用 1. 负载的阻抗变换 对射频电路设计来说，经常需要确定电路的阻抗响应。没有对阻抗性质的详细了解，就不能恰当地预言射频系统的性能。

一个典型的情况是负载阻抗ZL与特性阻抗为Z0、长为l的传输线相连的电路，传输线的输入阻抗与负载阻抗不同，产生了阻抗变换。用史密斯阻抗圆图可以计算输入阻抗。

2. 反射系数和驻波系数的计算 使用圆图可以求出驻波系数和反射系数。过zL点的等反射系数圆与圆图右半实数轴交点的归一化电阻读数即为驻波系数。

由于圆图上没有画出等反射系数圆族，可由驻波系数求得反射系数的模值，驻波系数与反射系数模值之间的关系由式（1.33）给出，为 L G - + = 1 r

图2.6 例2.2用图

图2.7 例2.3用图

3 传输线上行驻波电压最大点和最小点位置的计算 用圆图可以找到传输线上行驻波电压的最大点和最小点。在射频电路中，如果在传输线的电压最大点或电压最小点插入λ/4阻抗变换器，可以达到阻抗匹配。

图2.8 例2.4用图

图2.9 例2.5用图

4 传输线终端短路和终端开路时的阻抗变换 终端短路的传输线和终端开路的传输线可以等效为电感和电容，这一点在射频电路中非常重要。在给定频率下，依据传输线长度和终端条件，可以产生感性和容性两种阻抗，这种用分布电路技术实现集总元件参数的方法有很大的实用价值。

图2.10 例2.6用图

图2.11 例2.7用图

在高频时，因为开路线周围温度、湿度和介质其他参量的改变，保持理想的开路条件是困难的。由于这个原因，在实际应用中短路条件是更可取的。然而，在很高频率或者当用短路通孔连接在印刷电路板上时，即使是短路线也会引起附加寄生电感而出问题。此外，假如要求电路尺寸为最小，只能采用开路线实现电容器、采用短路线实现电感器。

5 串联终端短路传输线 为了将负载阻抗调节到某一个预期值，可以在距负载一段距离处串联一终端短路的传输线。

图2.12 例2.8电路

图2.13 例2.8用图

23〓史密斯导纳圆图 在实际工作中，有时电路中需要得到的不是阻抗而是导纳。本节介绍史密斯导纳圆图。

2.3.1归一化导纳 将式（2.3）通过简单的倒置，可以得到归一化导纳。归一化导纳定义为 式中

归一化阻抗： 归一化导纳可以写为：

对于复数，有如下关系式 －1=ejπ （2.13） 将式（213）代入式（212），归一化导纳为

下面公式： －1=ejπ 可以看出，在史密斯阻抗圆图上，将阻抗点旋转180°，可以得到归一化导纳的值。 图2.14 例2.9用图

图2.15 例2.10用图

2.3.2 史密斯导纳圆图 图2.16 史密斯导纳圆图

史密斯导纳圆图有如下2个特点。 （1） 电导g越小，等电导圆越大。当g<1时，等电导圆与实数轴的交点在右半实数轴上；当g=1时，等电导圆过原点；当g>1时，等电导圆与实数轴的交点在左半实数轴上。 （2）当b<0时，等电纳圆在实数轴以上的上半平面，是感性；当b>0时，等电纳圆在实数轴以下的下半平面，是容性。|b|越小，等电纳圆的半径越大。

2.3.3 史密斯阻抗-导纳圆图 在实际应用中，电路中经常会同时出现阻抗和导纳的值，通常将史密斯阻抗圆图和史密斯导纳圆图同时使用，构成史密斯阻抗-导纳圆图，如图2.17所示。

图2.17 史密斯阻抗-导纳圆图

图2.18 例2.11电路

图2.19 例2.11用图

24史密斯圆图在集总参数元件电路中的应用 2.4.1 含串联集总参数元件时电路的输入阻抗 在图2.20(a)所示的电路中，负载阻抗ZL与一集总参数元件ZS相串联，输入阻抗为 Zin=ZL+ZS=（RL+RS）+j（XL+XS）（2.16）

图2.20 含串联集总参数元件时电路的输入阻抗 由式（2.16）可以得到归一化输入阻抗zin为

利用史密斯阻抗圆图可以求出式（2. 17）中的归一化输入阻抗zin，如图2. 20(b)所示。式（2

（1）在圆图上确定负载zL的位置，用点A表示。

（2）由点A沿等电阻圆移动到点B，以增加归一化电抗jxS。点B的归一化阻抗为

（3）由点B沿等电抗圆移动到点C，以增加归一化电阻rS。点C的归一化阻抗为

式（2.17）中的zin还有另一种图解方法可以求得，如图2.20(b)所示，步骤如下。 （1）由点A沿等电抗圆移动到点B′，以增加归一化电阻rS。 （2）由点B′沿等电阻圆移动到点C，以增加归一化电抗jxS。

在图2.21(a)所示的电路中，负载导纳YL与一集总参数元件YP相并联，输入导纳为 2.4.2 含并联集总参数元件时电路的输入导纳 在图2.21(a)所示的电路中，负载导纳YL与一集总参数元件YP相并联，输入导纳为 图2.21 含并联集总参数元件电路的输入导纳

式（2.20）的结果可以利用史密斯导纳圆图求出，如图2.21(b)所示。步骤如下。 由式（2.19）可以得到归一化输入导纳yin为 式（2.20）的结果可以利用史密斯导纳圆图求出，如图2.21(b)所示。步骤如下。 图2.21 含并联集总参数元件电路的输入导纳

（2）由点A沿等电导圆移动到点B，以增加归一化电纳jbP。点B的归一化导纳为 （1）在圆图上确定负载yL的位置，用点A表示。 （2）由点A沿等电导圆移动到点B，以增加归一化电纳jbP。点B的归一化导纳为 （3）由点B沿等电纳圆移动到点C，以增加归一化电导gP。点C的归一化导纳为 图2.21 含并联集总参数元件电路的输入导纳

式（2.20）中的yin还有另一种图解方法可以求得，如图2.21(b)所示，步骤如下。 （1）由点A沿等电纳圆移动到B′点，以增加归一化电导gP。 （2）由点B′沿等电导圆移动到点C，以增加归一化电纳jbP。

图2.22 含串联或并联集总电抗元件的四种可能电路 2.4.3 含串联或并联集总电抗元件时电路的输入阻抗 这是2.4.1和2.4.2节所述电路的一种特殊情况，电路中串联或并联的元件是无耗的，即为纯电抗性集总元件。在这种情况下，有4种可能的组合，如图2,22所示。 图2.22 含串联或并联集总电抗元件的四种可能电路

为了求输入阻抗，应预先计算出集总电抗元件的归一化串联电抗值jx或归一化并联电纳值jb，并假定归一化负载zL位于圆图上的点A。对于图2 为了求输入阻抗，应预先计算出集总电抗元件的归一化串联电抗值jx或归一化并联电纳值jb，并假定归一化负载zL位于圆图上的点A。对于图2.22所示的4种可能电路，从圆图上的点A开始实行图解计算，如图2.23所示（图2.23为史密斯阻抗-导纳圆图）。情况如下所述。

（1）在电路中串联电感L时，电路如图2.22(a) 所示。在圆图上由点A沿等电阻圆顺时针方向移动jx=jωL/Z0，即得到圆图上归一化输入阻抗所在的点，如图2.23所示。 图2.23 对应图2.22中四种电路的圆图图解

（2）在电路中串联电容C时，电路如图2.22(b) 所示。在圆图上由点A沿等电阻圆逆时针方向移动jx=－j/ωCZ0，即得到圆图上归一化输入阻抗所在的点，如图2.23所示。 图2.23 对应图2.22中四种电路的圆图图解

（3）在电路中并联电感L时，电路如图2.22(c) 所示。在圆图上由点A沿等电导圆逆时针方向移动jb=－j/ωLY0，即得到圆图上归一化输入导纳所在的点，如图2.23所示。 图2.23 对应图2.22中四种电路的圆图图解

（4）在电路中并联电容C时，电路如图2.22(d) 所示。在圆图上由点A沿等电导圆顺时针方向移动jb=jωC/Y0，即得到圆图上归一化输入导纳所在的点，如图2.23所示。 图2.23 对应图2.22中四种电路的圆图图解

图2.22 含串联或并联集总电抗元件的四种可能电路

图2.24 例2.12用图

2.4.4 含串联及并联集总电抗元件时电路的输入阻抗 在此应用中，电路中既有串联集总电抗元件，又有并联集总电抗元件（如图2.25所示），反复运用2.4.3小节阐述的方法，就可以求得总的输入阻抗。

图2.25 含串联及并联集总电抗元件的电路

图2.26 例2.13电路

图2.27 例2.13图解