第4章 连续时间信号和系统的复频域 表示与分析 4.1 拉普拉斯变换 4.2 拉普拉斯变换的性质与定理 4.3 拉普拉斯反变换 4.4 LTI系统的拉普拉斯变换分析法 4.5 系统函数与复频域分析法 4.6 连续时间系统的模拟及信号流图 4.7 LTI连续系统的稳定性

4.1 拉普拉斯变换 4.1.1 单边拉普拉斯变换 1. 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正、 反变换为

傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t)。 为了使函数收敛， 我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-σt， 使得f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的函数。 即有 f1(t)=f(t)e-σt 式中, e-σt为收敛（衰减）因子， 且f1(t)满足绝对可积条件。 则 (4.1-1)

令σ+jω=s， 式（4.1-1）可表示为 (4.1-2) F1(ω)的傅氏反变换为  (4.1-3)

式（4.1-3）两边同乘eσt， eσt不是ω的函数， 可放入积分号里， 由此得到 (4.1-4) 已知s=σ+jω， ds=d(σ+jω)， σ为常量， ds=j dω， 代入式（4.1-4）且积分上、 下限也做相应改 变， 式(4.1-4)可写作 (4.1-5)

因为e-σt的作用， 式(4. 1-2)与 (4. 1-5)是适合指数阶函数的变换。 又由于式(4 因为e-σt的作用， 式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶函数的变换。 又由于式(4.1-2)中的f(t)是t<0时为零的因果信号， 故称“单边”变换。 将两式重新表示在一起， 单边拉氏变换定义为 (4.1-6) 式中称s=σ+jω为复频率， F(s)为象函数， f(t)为原函数。 

图 4.1-1 复平面

象函数与原函数的关系还可以表示为 (4.1-7) s=σ+jω可以用直角坐标的复平面（s平面）表示， σ是实轴， jω是虚轴， 如图4.1-1所示。 

由以上分析， 并比较式(4. 1-6)与式(3. 3-7)， 以及式（4 由以上分析， 并比较式(4.1-6)与式(3.3-7)， 以及式（4.1-2）的推导，可见拉氏变换的基本信号元为est。  虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽， 不需要信号满足绝对可积， 但对具体函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题， 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决。 

2. 单边拉氏变换收敛区 收敛区是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围， 或是使f(t)的单边拉氏变换存在的σ取值范围。  由式(4.1-3)的推导可见， 因为e-σt的作用， 使得f(t)e-σt在一定条件下收敛， 即有 (4.1-8)

式中, σ0叫做收敛坐标， 是实轴上的一个点。 穿过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。 收敛轴的右边为收敛区， 收敛区不包括收敛轴。 一旦σ0确定，f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了。

以f(t)随时间变化的趋势， 收敛区的大致范围为: 若f(t)是随时间衰减的， σ0<0， 例如单边指数信号 e-atu(t)（a>0）的σ0=-a， 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(a)所示； f(t)是随时间不变的， σ0=0， 例如u(t)、 sinω0tu(t)， 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示； f(t)是随时间增长的， σ0>0， 例如eatu(t)（a>0）的σ0=a， 其拉氏变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示。

图 4.1-2 收敛区示意图

当σ0<0时， 收敛区包含虚轴jω， 函数的傅氏变换存在； 当σ0>0时收敛区不包含虚轴jω， 函数的傅氏变换不存在； 当σ0=0时， 收敛区虽不包含虚轴jω， 但函数的傅氏变换存在， 不过有冲激项。 因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在， 所以一般可以不标明收敛区。

4.1.2 常用函数的单边拉普拉斯变换 我们通过求常用函数的象函数， 掌握单边拉氏变换的基本方法。  1. F(s)=F(jω)| s=jω的函数 当拉氏变换的收敛区包括jω轴， F(s)可由F(jω)直接得到， 仅将jω换为s， 即 F(s)=F(jω)| s=jω (4.1-9)

例4.1-1 已知f(t)=e-atu(t)(a>0)以及 ， 求f(t)的拉氏变换。 解 f(t)的收敛域如图4.1-2(a)所示， 包括jω轴，所以

2. t的指数函数eatu(t)（a为任意常数） (4.1-10)

利用式(4.1-10)， 可以推出以下常用信号的拉氏变换。

3. t的正幂函数 即

依此类推， (4.1-11)

特别地， 表4-1列出了常用函数的拉氏变换。

表4-1 常用函数单边拉氏变换

4.1.3 双边拉普拉斯变换 1. 定义 先讨论e-σt作用。 当σ一定时， 若t>0时e-σt为收敛因子， 则t<0时e-σt为发散因子， 有  但是， 如果有函数在σ（σ1<σ<σ2）给定的范围内, 使得

则函数的双边拉氏变换存在， 并记为 (4.1-12) 或 (4.1-13)

2. 双边拉氏变换的收敛区 双边拉氏变换收敛区是使f(t)e-σt满足可积的σ取值范围， 或是使f(t)的双边拉氏变换存在的σ取值范围。  我们通过实例讨论双边拉氏变换存在的条件， 即双边拉氏变换的收敛区。 

例4.1-2 已知函数f(t)=u(t)+etu(-t)， 试确定f(t)双边拉氏变换的收敛区。 解 将积分分为两项 ① ② 对第①项， 只有1-σ>0， 即1>σ时积分收敛； 收敛区如图4.1-3(a)所示。

图 4.1-3 例4.1-2①、 ②收敛区

对第②项， 只有σ>0时积分收敛， 收敛区如图4 对第②项， 只有σ>0时积分收敛， 收敛区如图4.1-3(b)所示， 两项的公共收敛区为0<σ<1。 因此只有当0<σ<1时， ， 双边拉氏变换存在， f(t)波形与收敛区如图4.1-4所示。 其双边拉氏变换为

图 4.1-4 例4.1-2的f(t)与收敛区

图 4.1-5 双边拉氏变换收敛区示意图

通常， 双边拉氏变换有两个收敛边界， 一个取决于t>0的函数， 是左边界， 用σ1表示； 另一个取决于t<0的函数， 是右边界， 以σ2表示。 若σ1<σ2时， 则t>0与t<0的变换有公共收敛区, 双边拉氏变换存在。 因此， 双边拉氏变换的收敛区是s平面上σ1<σ<σ2的带状区， 如图4.1-5所示。 若σ1≥σ2时， t>0与t<0函数的拉氏变换没有公共收敛区， 双边拉氏变换不存在。 

例4.1-3 已知 ， 求所有可能的f(t)。  解 FB(s)可能的收敛区有(a) 0<σ<1； (b) σ>1； (c) σ<0三种情况， 对应的f(t)为  0<σ<1 f1(t)=u(t)+etu(-t) σ>1 f(t)=(1-et)u(t) σ<0 f3(t)=(et-1)u(-t)

4.1.4 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 本章开始, 是由傅氏变换引出了拉氏变换的概念, 现在借助图4.1-6， 重新回顾双边拉氏变换、 单边拉氏变换、 傅氏变换的关系。

图 4.1-6 拉氏变换与傅氏变换的关系

由图可见拉氏变换与傅氏变换的联系与区别： 傅氏变换是σ=0的双边拉氏变换， 或虚轴上的双边拉氏变换， 是双边拉氏变换的特例； 单边拉氏变换是t<0， f(t)=0时的双边拉氏变换， 或是f(t)u(t)e-σt的傅氏变换； 双边拉氏变换是傅氏变换在s平面上的推广， 是复平面上的傅氏变换。  在实际应用中， 信号通常都具有因果性， 所以下面除特别说明外， 本书的拉氏变换一般是指单边拉氏变换。 

4.2 拉普拉斯变换的性质与定理 1. 线性 若f1(t)  F1(s)， f2(t)  F2(s)， 则 k1f1(t)+k2f2(t)  k1F1(s)+k2F2(s) k1, k2为任意常数 (4.2-1)

证 线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一。 例如

2. 时延（移位、 延时）特性 若f(t)u(t)  F(s)， 则 f(t-t0)u(t-t0)  (4.2-2) 证 令t-t0=x， t=x+t0， 代入上式得

例4.2-1 以f1(t)=sinωtu(t)为例， 画出f1(t)； f2(t)=sinω(t-t0)u(t)； f3(t)=sinωtu(t-t0); f4(t)=sinω(t-t0)u(t-t0)的波形并分别求其拉氏变换。  解 f1(t)、 f2(t)、 f3(t)、 f4(t)如图4.2-1所示。   可以直接用公式的是f1(t)、 f4(t)：

f2(t)、 f3(t)经一定的变化后方可用性质。 f2(t)=sinω(t-t0)u(t)=(sinωt cosωt0-cosωt sinωt0)u(t)

图 4.2-1 例4.2-1的波形图

图 4.2-2 例4.2-2的波形图

例4.2-2 f(t)如图4.2-2所示， 求其象函数。  解 已知  f(t)=f1(t)+f2(t) （利用线性） 其中 f1(t)=e-t［u(t)-u(t-1)］ f2(t)=-f1(t-1) (时延) 

则

例4.2-3 求周期函数的单边拉普拉斯变换， 或求如图4.2-3所示单边“周期”函数的拉普拉斯变换。 图 4.2-3 例4.2-3的单边“周期”函数

解 令f1(t)、f2(t)、f3(t)、…分别表示f(t)第一周期、第二周期、第三周期、…的函数。  f(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)+…=f1(t)+f1(t-T)+f1(t-2T)+… 则 (在收敛区中)

令 为周期因子， 由以上推导过程中可以得到周期函数的单边拉氏变换基本步 骤为:  (1) 求f(t)第一周期的象函数f1(t)  F1(s)；  (2) 周期函数的单边拉氏变换等于函数第一周期的象函数乘以周期因子 ， 即 (4.2-3)

图 4.2-4 例4.2-3的波形

例4.2-4 求如图4.2-4(a)所示周期的半波整流波形的单边象函数。 解 半波整流波形第一周期的波形如图4.2-4(b)所示， 可由两个波形叠加， 即

3. 频率平移（s域） 若f(t)  F(s), 则   (4.2-4)

例4.2-6 已知f(t)如图4.2-5(a)所示， 求F(s)。 图 4.2-5 例4.2-6的波形

解 f(t)=e(t)e-t  F(s)=E(s+1), e(t)如图4.2-5(b)

4. 尺度变换 若f(t)  F(s), 则 其中a>0 (4.2-5) 证 令 ， 代入上式得

5. 时域微分 若f(t)  F(s)， 则 (4.2-6) 式中, f(0-)是f(t)在t=0-时的值。  可以将式(4.2-6)推广到高阶导数  (4.2-7)

式中, f(0-)以及f(r)(0-)分别为t=0-时f(t)以及 时的值。 证

同理, 令 ， 则 依此类推， 可以得到高阶导数的 L 变换

特别地， 当f(t)为有始函数， 即t<0， f(t)=0时， 我们有 f(0-)=f′(0-)=…=f(n-1)(0-)=0  则式(4.2-6) 、 (4.2-7)可分别化简为 (4.2-8a) (4.2-8b) 式中, s为微分因子。

6. 时域积分 若f(t)u(t)  F(s)， 则 (4.2-9)

式中, f(-1)(t)表示积分运算，  证 (4.2-10) 其中 (4.2-11) 利用任意函数与阶跃卷积 (4.2-12)

特别的， 如果f(t)为因果信号， 则 特别的， 如果f(t)为因果信号， 则 ， 式(4.2-9)为 (4.2-13) 式中, 1/s为积分因子。

7. 复频域微分 若L ［f(t)］=F(s)， 则 (4.2-14) 证 (变换运算次序)

可以推广至复频域的高阶导数 利用这一性质可证明t的正幂函数的象函数

8. 复频域积分 若L ［f(t)］=F(s)且 则 (4.2-15)

证 复频域微分和复频域积分这两个性质可以用在一些非 有理函数的正反变换上。 

9. 初值定理  设有f(t)、 f′(t)， 且L {f(t)}、 L {f′（t)}存在， 则 (4.2-16) 初值定理只适用f(t)在原点处没有冲激的函数。

证 由时域微分性质我们有 比较等式左、 右两边得

(交换积分与取极限次序)

10. 终值定理 设有f(t)、 f′(t)， 且L {f(t)}、 L {f′(t)}存在, 则f(t)的终值 (4.2-17) 终值适用的条件是sF(s)的所有极点在s平面的左 半面(F(s)可有在原点处的单极点)。

证 利用上面的结果 令s→0, 两边取极限得

11. 时域卷积定理 若f1(t)  F1(s), f2(t)  F2(s)， 则  f1(t)*f2(t)  F1(s)F2(s) (4.2-18) 证 因为f1(t)、 f2(t)为有始函数， 所以

交换积分次序 利用延时特性

12. 复频域卷积定理 若f1(t)  F1(s), f2(t)  F2(s)， 则 (4.2-19)

证 表4-2列出了拉氏变换的性质与定理。

表4-2 拉氏变换性质（定理）

4.3 拉普拉斯反变换 拉普拉斯反（逆）变换是将象函数F(s)变换为原函数f(t)的运算。 式(4.1-6)给出为

这个公式的被积函数是一个复变函数， 其积分是沿着收敛区内的直线σ-j∞→σ+j∞进行。 这个积分可以用复变函数积分计算。 但一般情况下计算函数比计算积分更容易， 因此可以利用复变函数理论中的围线积分和留数定理求反变换。 但当象函数为有理函数时， 更简便的是代数方法， 这种方法称为“部分分式法”。 本书只讨论拉氏反（逆）变换的部分分式法。 

F(s)为s的有理函数时， 一般形式可表示为 (4.3-1) 式中, ai、 bi为实常数， n、 m为正整数。

部分分式法的实质是利用拉氏变换的线性特性， 先将F(s)分解为若干如表4-1所示的简单函数之和， 再分别对这些简单象函数求原函数。 将分母多项式表示为便于分解的形式 A(s)=(s-p1)(s-p2):(s-pn) (4.3-2) 式中, p1, p2, :, pn是A(s)=0方程式的根， 也称F(s)的极点。 同样分子多项式也可以表示为 B(s)=(s-z1)(s-z2):(s-zm) (4.3-3) 式中, z1, z2, :, zm是B(s)=0方程式的根， 也称F(s)的零点。  

p1, p2, :, pn既可以是各不相同的单极点， 也可能出现有相同的极点即有重极点； 分母多项式的阶次一般高于分子多项式(m<n)， 但也有可能m≥n。 下面分几种具体情况讨论F(s)分解的不同形式。 

1. m<n， F(s)均为单极点 (4.3-4) 式中, p1, p2, :, pn为不同数值的单极点， F(s)可分解为 (4.3-5) 则 (4.3-6)

式(4. 3-6)正是F(s)的原函数， 现在的任务就是要快速、 准确地确定系数k1, k2, :, kn。 我们在式(4 式(4.3-6)正是F(s)的原函数， 现在的任务就是要快速、 准确地确定系数k1, k2, :, kn。 我们在式(4.3-5)两边乘以(s-p1) (4.3-7)

再令s=p1， 则式(4.3-7)右边除k1外， 其余各项均为零， 由此得到第一个系数  k1=(s-p1)F(s)| s=p1 (4.3-8) 同样, 在式(4.3-5)两边同乘(s-p2)， 然后令s=p2可得第二个系数 k2=(s-p2)F(s)| s=p2 (4.3-9) 以此类推， 任一极点pi对应的系数为 ki=(s-pi)F(s)| s=pi (4.3-10)

2. m≥n， F(s)均为单极点 当m≥n时， 利用长除法将分子多项式的高次项提出， 对余下的m′<n部分处理同上。 对提取的sr部分（0≤r≤m-m′）， 利用微分性质：  (4.3-11)

例4.3-2 已知象函数 ， 求原函数f(t)。 解

3. m<n, F(s)有重极点 设 (4.3-12)  其中, s=p1是F(s)的k阶极点, 由F(s)可展开为 (4.3-13) 式中, 是展开式中与极点p1无关的部分。 

面对式(4.3-13)， 现在的任务是如何确定系数k11, … k1k。 与前面求系数的方法相同， 先在F(s)等式两边同乘(s-p1)k， 有 (s-p1)kF(s)=k11+k12(s-p1)+… +k1k(s-p1) k-1+(s-p1)k (4.3-14)

当s=p1时， 右边只剩k11项， 其余各项为零。 所以  k11=(s-p1)kF(s)| s=p1 (4.3-15) 其余各项系数是否能如法炮制。 例如我们求k12。

当s→p1时， 等式右边第一项 ， 所以剩下的k-1个系数不能再用此法， 为了求解剩下的k-1个系数， 引入函数 F1(s)=(s-p1)kF(s)  =k11+k12(s-p1)+…+k1k(s-p1)k-1+(s-p1)k (4.3-16) 对式(4.3-16)两边求导 (4.3-17)

令式(4.3-17)的s=p1， 右边除了第一项外， 其余各项均为0， 所以, (4.3-18) 同理对式(4.3-17)再求导， 可得 (4.3-19)

再令式(4.3-19)的s=p1得 (4.3-20) 类推一般项系数 (4.3-21)

对剩下的 中若均为单极点， 用前面单极点的处理方法展开， 如还有重极点可用上面的方法处理。 重极点反变换式中一般项为 (4.3-22) 所以最后

4.4 LTI系统的拉普拉斯变换分析法 4.4.1 用拉普拉斯变换求解线性微分方程 用拉氏变换求解线性微分方程， 可以把对时域求解微分方程的过程， 转变为在复频域中求解代数方程的过程， 再经拉氏反变换得到方程的时域解。 下面以二阶常系数线性微分方程为例讨论用拉氏变换求解线性微分方程的一般方法， 高阶微分方程求解方法类推。

二阶常系数线性微分方程的一般形式为 （4.4-1） 设f(t)是因果激励， 又已知初始条件y(0-), y′(0-)， 可利用拉氏变换求解式 （4.4-1）。 对式（4.4-1）等式两边取拉氏变换， 利用单边拉氏变换的时延性， 得到 s2Y(s)-sy(0-)-y′(0-)+a1［sY(s)-y(0-)］+a2Y(s) =b0s2F(s)+b1sF(s)+b2F(s)

整理上式为 (s2+a1s+a2)Y(s)=(b0s2+b1s+b2)F(s)+sy(0-)+y′(0-)+a1y(0-) （4.4-2）

1. 零状态响应 零状态响应是仅由激励引起的响应。 当f(t)是因果激励时， 系统初始条件为零 （y(0-)=y′(0-)=0）， 则式（4.4-2）为 （4.4-3） 由式（4.4-3）得零状态响应为  （4.4-4）

2. 零输入响应  零输入响应是仅由系统初始储能引起的响应， 由初始条件y(0-), y′(0-)确定。 此时激励f(t)=0， 式（4.4-2）变为 （4.4-5） （4.4-6）

3. 全响应 利用拉氏变换， 实际上不需要分别求零状态响应与零输入响应， 因其初始条件y(0-), y′(0-)已“自动”引入， 所以可直接求解微分方程的全响应。 式（4.4-2）即为全响应的拉氏变换， 所以

4.4.2 s域的网络模型——运算电路法 根据元件上的电压、 电流关系列写电路系统的微, 积分方程, 然后对方程取拉氏变换的方法, 在分析电路响应时有许多优点, 但是对比较复杂的网络(多网孔、 节点), 以及对初始条件的处理（需要标准化或等效）还有许多不便之处, 我们可以用类似频域电路的方法， 简化获得网络拉氏变换方程的过程, 并且将初始条件“自动”引入， 充分体现拉氏变换优越性， 这种方法称为s域的网络模型法或运算电路法。

1. 元件的s域模型 首先讨论无初始条件电阻、 电感、 电容的s域模型。 此时R, L, C元件的时域电压电流关系为 (4.4-8)

分别对上式进行拉氏变换， 得到 (4.4-9)

由上式可见， 如果认为R、 Ls, 1/Cs是复频域阻抗， 则s域的电压电流关系满足复频域（广义）的欧姆定律。 这样就可以将原来的微、 积分运算关系变为代数运算关系。 式(4.4-9)所表示的电压电流关系可以用如图4.4-1所示的s域网络模型表示。

图 4.4-1 无初始条件元件的s域网络模型

再考虑电感、 电容具有初始条件的s域模型， 此时L, C时域模型如图4.4-2所示， 其电压电流关系为 (4.4-10)

图 4.4-2 有初始条件元件的时域模型

分别对式(4.4-10)进行拉氏变换， 得到 (4.4-11) 上式所表示的电压电流关系， 可以用如图4.4-3所 示的s域网络模型表示。

图 4.4-3 有初始条件元件的s域网络模型

由式（4.4-11）还可解出： 所对应的s域网络模型如图4.4-4所示。

图 4.4-4 有初始条件元件的s域网络模型另一种形式

2. 网络s域等效模型及其响应求解 将网络中激励、 响应以及所有元件分别用s域等效模型表示后， 得到网络s域等效模型 (运算电路)。 利用网络的s域等效模型， 可以用类似求解直流电路的方法在s域求解响应， 最后再经反变换得到所需的时域结果。 举例说明用s域等效模型求解系统响应的方法。 

图 4.4-5 例4.4-5电路系统

图 4.4-6 例4.4-5电路的s域网络模型

例4.4-5 电路如图4.4-5所示， 激励为e(t)， 响应为i(t)， 求s域等效模型及响应的s域方程。 解出 其中, Z(s)=Ls+R+1/Cs为s域等效阻抗。

图 4.4-7 例4.4-6电路系统

图 4.4-8 例4.4-6电路的s域网络模型

例4.4-6 已知电路如图4.4-7所示, 求i zi(t)。 其中： R1=0.2 Ω， R2=1 Ω， C=1 F， L=0.5 H； vC(0-)=-0.2 V， iL(0-)=-1 A。 解 s域等效模型如图4.4-8所示, 列网孔方程式：  由行列式求解I1(s)为

当激励为零时i zi(t)等于此时的i1(t)， 所以 i zi(t)=(0.6e-4t-1.6e-3t)v(t)

例4.4-7 电路如图4.4-9, 已知e(t)=10 V； vC(0-)=5 V， iL(0-)=4 A， 求i1(t)。 图 4.4-9 例4.4-7电路

图 4.4-10 例4.4-7电路的s域网络模型

解 例4.4-3电路的s域等效模型如图4.4-10所示， 列网孔方程式：

若要分别计算零状态、 零输入响应, 可以分别绘出与输入及初始状态有关的s域等效模型如图4.4-11(a)、 (b)所示， 由图列出方程。

图 4.4-11 例4.4-7电路零状态、 零输入的s域网络模型

(1) 零状态情况如图4.4-11(a)所示， vC(0-)=iL(0-)=0

(2) 零输入情况如图4.4-11(b)所示， E(s)=0

4.5 系统函数与复频域分析法 4.5.1 系统函数H(s)  系统函数在零状态下定义为 (4.5-1)

系统函数也称转移函数、 传输函数、 传递函数。  由式(4.5-1)可得系统零状态响应象函数为 (4.5-2) 得到系统的零状态响应 (4.5-3)

特别的， 激励为δ(t)时， 系统零状态响应是单位冲激响应  f(t)=δ(t)  F(s)=1  H(s)  h(t) (4.5-4) 上式表明系统函数与单位冲激响应h(t)是一对拉氏变换对。

1. 由微分方程 n阶系统微分方程的一般形式为 (4.5-5)

系统为零状态且f(t)为因果信号时， 对方程两边取变换， 可得： (4.5-6)

2. 电路系统 举例说明用s域等效模型， 可以得到网络的系统函数。  例4.5-1 图4.5-1所示电路系统， 输入为v1(t)，输出为v2(t)，试求系统函数H(s)。 解

图4.5-1 电路系统

由Y(s), F(s)所处的端口， 以及y(t), f(t)所含的物理意义, H(s)有不同的含义， 可以是s域（运算）阻抗,s域（运算）导纳, 电压、 电流传输函数等。 如上例的系统函数就是电压传输函数。  

3. 转移算子 已知稳定系统的转移算子， 将其中的p用s替代， 可以得到系统函数。 一般n阶系统的转移算子为 则由 H(p)| p=s=H(s) (4.5-7)

可得系统函数为

4.5.2 系统函数的零、 极点 分解系统函数的分子分母两个多项式， 可得  (4.5-8)

式(4.5-8)中H(s)分母多项式D(s)的根pi(i=1, 2, :, n)是H(s)的极点， 有n个； H(s)分子多项式N(s)的根zj(j=1, 2, :, m)是H(s)的零点， 有m个。 若H(s)是实系数的有理函数， 其零、 极点一定是实数或共轭成对的复数。

例4.5-2 已知某系统的系统函数如下， 求系统的零、 极点。 解

n=4， 极点为p1=-1(二阶）， p4=j2， p1=-j2；  m=3， 零点为z1=0， z2=1+j， z3=1-j。   将系统函数的零、 极点准确地标在s平面上, 这样的图称零、 极点图或零、 极图， 其中“·” 表示零点, “×”表示极点。 如例4.5-2的零、 极点如图 4.5-2 所示。

图 4.5-2 例4.5-2系统零、 极点图

例4.5-3 已知某系统的系统函数 求出系统的零、 极点并绘出零、 极点图。

解 MATLAB程序及结果如下： a=［1 6 11 12］;%分母多项式系数 b=［0 5 18 25］;% 分子多项式系数 r1=roots(a) % 求极点 r2=roots(b) % 求零点 pzmap(b, a) %系统的零、 极点图

答案 r1 = -4.0000  -1.0000 + 1.4142i -1.0000 - 1.4142i r2 = -1.8000 + 1.3266i -1.8000 - 1.3266i 其零、 极点图如图4.5-3所示。

图 4.5-3 例4.5-3系统零、 极点图

4.5.3 零、 极点分布与时域特性 H(s)与h(t)是一对拉氏变换对, 所以只要知道H(s)在s平面上的零、 极点分布情况, 就可以知道系统冲激响应h(t)的变化规律。 假设式(4.5-8)的所有极点均为单极点且 m<n, 利用部分分式展开 式中, pi=σi+jωi。

式(4.5-9)对应的单位冲激响应为 (4.5-10)

以jω虚轴为界， 我们将s平面分为左半平面与右半平面。 由式(4.5-10)不难得出 hi(t)与h(t)的变化规律。  (1) pi=σi+jωi为一阶极点。 若σi>0， 极点在s平面的右半平面， hi(t)随时间增长； σi<0， 极点在s平面的左半平面， hi(t)随时间衰减； σo=0， 极点在s平面的原点(ωi=0)或虚轴上， hi(t)对应于阶跃或等幅振荡。 

(2) pi=σi+jωi为高阶（二阶以上）极点。 σi>0或σi<0时， hi(t)随时间变化的趋势同一阶情况； σi=0时， 对应于t的正幂函数或增幅振荡。  (3) 系统函数H(s)的全部极点在左半平面(σi<0)， h(t)随时间衰减趋于零； 系统函数H(s)有极点在虚轴及右半平面(σi≥0)， h(t)不随时间消失。

从以上分析可知， 由系统函数H(s)极点在s平面上的位置， 便可确定h(t)的模式， 判断单位冲激响应是随时间增长或衰减为零的信号， 还是一个随时间等幅振荡（或阶跃）的信号， 如图4.5-4所示。 

图 4.5-4 零、 极点与单位冲激响应模式

4.5.4 零、 极点与各响应分量  下面从s域出发, 由激励的象函数F(s)和系统函数H(s)来讨论零状态响应中的自然、 受迫、瞬态、 稳态分量等概念。  研究零状态响应象函数在s平面的零, 极点分布, 可以预见在给定激励下, 零状态系统响应的时域模式。 因为 yzs(t)=L-1{Yzs(s)}=L-1{F(s)H(s)}

显然Yzs(s)的零, 极点由F(s)、 H(s)的零、 极点共同决定， 而F(s), H(s)可分别表 示为 (4.5-11)

为讨论方便, 我们假设F(s), H(s)无相同极点且均为单极点， 则将Y(s)部分分式展 开为 (4.5-12)

不难看出， Yzs(s)的极点由两部分组成， 一部分是系统极点pi， 另一部分是激励的极点pk， 对式(4 不难看出， Yzs(s)的极点由两部分组成， 一部分是系统极点pi， 另一部分是激励的极点pk， 对式(4.5-12)的Yzs(s)取反变换， 响应为 (4.5-13)

式(4.5-12)右边第一项是由系统极点决定的响应称为自然响应； 右边第二项是由激励极点决定的响应称为强迫（受迫）响应。  自然响应的模式由系统函数极点所确定, 与激励形式无关。 同样地， 强迫响应的时间模式只取决于F(s)的极点。  当F(s), H(s)有相同极点时， 一般规定与H(s)极点相对应的为自然响应, 比H(s)高阶的极点对应的为受迫响应。 

图 4.5-5 稳定系统各响应关系

在1. 9节用时域分析法求系统零输入响应时， 已知零输入响应的一般模式取决于系统的特征根。 比较式(1. 9-8)与式(4 在1.9节用时域分析法求系统零输入响应时， 已知零输入响应的一般模式取决于系统的特征根。 比较式(1.9-8)与式(4.5-7)， 不难看出特征根就是系统函数的极点。 所以由H(s)的极点， 可以确定零输入响应yzi(t)的模式。 显然， 零输入响应也是自然响应, 不过当H(s)由零、 极点相抵消时, 被消去极点后的H(s)只反映了零状态响应的信息, 而不是零输入响应的全部信息。 求零输入响应时， 可借助算子方程得到系统所有极点。  由对零、 极点分布与时域特性讨论可判断： s左半平面极点对应系统的瞬态响应， 虚轴及s右半平面的极点对应系统的稳态响应。图4.5-5给出了稳定系统各响应之间的 关系。

例4.5-4 已知H(s)=s/s+a， F(s)=1/s+a， 求响应y(t)， 并指出各响应分量。 解  强迫 自然 瞬态响应、 零状态响应

4.5.5 零、 极点分布与系统频域特性 由系统的零、 极点分布不但可知系统时域响应的模式， 也可以定性了解系统的频域特性。 因为由稳定系统的H(s)在s平面上的零、 极点图， 可以大致地描绘出系统的频响特性|H(ω)|~ω和φ(ω)~ω。 (4.5-14)

取s=jω， 即在s复平面中令s沿虚轴移动， 得到 (4.5-15)

对于任意零点zj和极点pi， 相应的复数因子(矢量) 如图4.5-6所示都可以表示为零点与极点矢量 其中, Nj、 Mi分别是零、 极点矢量的模； ψj, θi分 别是零、 极点矢量与正实轴的夹角。 则

(4.5-16) 式中

由图4.5-6可见, 随着ω变化， N, M长短会变化； ψ、 θ也会变化。 当ω从0~∞， 逐点由矢量图解法可以得到相应的|H(ω)|~ω， φ(ω)~ω曲线， 再由对称性可得到-∞~0的幅频及相频特性。  当系统函数零、 极点数目不是很多， 利用零、 极点矢量作定性的频谱分析还是有其方便之处的。 

图4.5-6

例4.5-5 用矢量作图法求如图4.5-7所示高通滤波器的幅频、 相频特性。 图 4.5-7 例4.5-5高通滤波器

图 4.5-8 例4.5-5的零点与极点矢量

解 零点z1=0， 极点p1=-1/RC， 零点与极点矢量如图 4.5-8所示。  幅频特性： 当ω=0时， N1=0， 所以,

当ω增大时， 导致N1, M1增大， 且趋于|H(ω)|；  相频特性：  φ(ω)~ω φ(ω)=ψ1-θ1， 其中， ψ1=π/2, 所以 当ω=0时， θ1=0， 当ω增大时， 导致θ1增大， 且趋于 ω趋于∞时， θ1趋于π/2 ， φ(ω)趋于0。 

由3分贝截止频率定义 得 解出 幅频、 相频特性如图4.5-9所示。

图 4.5-9 例4.5-5的频响特性

这种在虚轴上的零、 极点情况是特例, 而一般意义的零、 极点通常表示为zj=αj+jωj， pi=αi+jωi。 其中αj, αi为实部， 当αj, αi很小时， 零、 极点靠近虚轴， 此时由零、 极点定性绘出的系统幅频特性及相频特性曲线具有以下特点 (1) 幅频特性 在ω=ωi点， Mi=|pi|=|αi+jωi|最小， |H(ω)|| ω=ωi出现峰值； 在 ω=ωj点， Nj=|zj|=|αj+jωj|最小， |H(ω)|| ω=ωj出现谷值。  (2) 相频特性 在ω=ωi、 ω=ωj附近相位变化均加快。 零、 极点靠近虚轴时系统幅频特性及相频特性曲线如图4.5-10所示。

图 4.5-10 靠近虚轴的零、 极点频响特性

在系统分析与设计时， 幅频特性及相频特性曲线是十分有用的。 但在实际应用中, 用逐点矢量作图法准确地计算幅频、 相频特性是很不容易的。 尤其是零、 极点数量较多的高阶系统， 无论计算与作图都相当困难。 利用MATLAB程序可以很方便地得到一般系统函数的频响特性。 

例4.5-6 已知例4.5-3三阶系统的系统函数为 要求画出其频响特性。

解 计算例4.5-6频响特性的MATLAB程序如下： w=logspace(-1, 1); h=freqs(b, a, w);%系统频响 Hmag=abs(h);%振幅特性 Hpah=angle(h).*180/pi;%相位特性 subplot(2, 1, 1);%作振幅图

plot(w, Hmag);title(′H(s)频响′); xlabel(′频率′);ylabel(′系统振幅′); subplot(2, 1, 2); %作相位图 plot(w, Hpah);xlabel(′频率′); ylabel(′系统相位′); 结果如图4.5-11所示。 

图 4.5-11 例4.5-6的频响特性

4.5.6 全通系统与最小相移系统的零、 极点分布 1. 全通系统 当系统幅频特性在整个频域内是常数时， 其幅度特性可无失真传输， 这样的系统称为全通系统。 全通系统的特点是系统函数H(s)的零、 极点对jω轴成镜像对称, 即零、 极点个数相同(m=n)， 且零、 极点矢量的大小相等(Nj=Mj)。 三阶全通系统零、 极点分布示意图如图4.5-12所示， 不难看出 (4.5-17) 式中, H0为常数。

图 4.5-12 全通系统零、 极点分布示意图

(4.5-18) 由于φ(ω)不是常数, 随着零、 极点的个数（系统阶数）和零、 极点分布不同而不同， 实际应用中正是利用这种相位特性做相位校正网络或时延均衡器。

2. 最小相移系统 实际应用中， 会遇到在幅频特性相同情况下， 希望得到系统的相移（时延）最小， 这样的系统称为最小相移系统。 本书不加证明给出最小相移系统的条件为： 全部零、 极点在s平面的左半平面(零点可在jω轴上)， 不满足这一条件的为非最小相移系统。 图4.5-13是幅频特性相同， 最小相移系统与非最小相移系统的零、 极点分布示意图。 

图 4.5-13 最小相移系统与非最小相移系统零、 极点分布示意

非最小相移系统可由全通系统与最小相移系统组成， 组成图4. 5-13(b)非最小相移系统的最小相移系统与全通系统的零、 极点图如图4

图 4.5-14 组成非最小相移系统的最小相移与 全通系统零、 极点分布

4.5.7 其他形式的频响特性 在电子、 通信、 自动控制等实际应用中， 为了掌握更宽范围的频响特性， 常用的是频率取对数坐标， 即频率ω是非线性刻度。 例如ω=1到ω=2之间的距离(lg2-lg1= 0.301 03)就大于ω=2到ω=3之间的距离(lg3-lg2= 0.176 09)。 但ω=1到10的坐标间隔与ω=10到100的坐标间隔相等， 即任意ω1与10ω1之间满足 lg10ω1-lgω1=1。 所以这样的频率间隔称为“十倍频程”。

这样做可以相对展宽低频而压缩高频部分的横坐标， 它既可扩大频率范围， 又可将低频与高频部分的变化情况同时表示出来。 由MATLAB程序可直接得到这样的频响特性。 

例4.5-7 已知例4.5-3三阶系统的系统函数为 ， 要求画出对数坐标的频响特性。  解 计算例4.5-6频响特性的MATLAB程序为 a=［1 6 11 12］;%分母多项式系数 b=［0 5 18 25］;% 分子多项式系数 freqs(b, a)%系统频响 结果如图4.5-15所示。 

图 4.5-15 例4.5-7的频响特性

  在自动控制系统与通信系统分析与设计中， 还广泛采用贝尔电话实验室波特（或Bode）提出的一种方便而有效的频响计算作图方法， 即波特图。  通信工程测量功率增益时， 通常用的标准是分贝， 定义为 (4.5-19) 式中, P1是系统的输入功率， P2是系统的输出功率， X(jω)、 Y(jω)分别为输入和输出（通常是电压或电流）的拉氏变换。

波特图的频响特性曲线与前面介绍的频率取对数坐标的频响特性基本相同， 仅幅频特性表示增益的纵坐标为20 lg|H(jω)|， 单位为分贝。 这样表示的优点不但可以清楚地将低频与高频部分的幅度特性值大小变化情况表示在图上， 更重要的是取对数后， 幅度函数中各基本因子的乘除运算转变为加减运算。 即 (4.5-20)

例4.5-8 已知例4.5-3三阶系统的系统函数为 ， 要求画出其波特图。  解

实际作图分别将这五条直线精确叠加也不容易， MATLAB为我们提供了作波特图的程序， 例4.5-7波特图的MATLAB程序为  bode(b, a) %系统波特图 结果如图4.5-16所示。 

图 4.5-16 例4.5-8系统的波特图

4.6 连续时间系统的模拟及信号流图 4.6.1 连续时间系统的模拟（仿真）  用系统的观点来分析问题时, 可以把系统看做一个“黑盒子”, 不管其内部的具体结构、参数, 所关心的只是输入、 输出之间的转换关系, 如图4.6-1所示。 通过实例可以证明， 不同的结构和参数的系统可以具有相同输入、 输出关系。 

图4.6-1 系统的输入、 输出表示

例4.6-1 分别求如图4.6-2所示RL、 RC电路的系统函数。

解 这是两个结构、 参数不同的一阶系统， 但由于它们传输函数相同， 因此它们的输入输出关系完全相同， 数学模型都是一阶微分方程 y′(t)+y(t)=f(t)

n阶LTI系统微分方程的一般形式为 其系统函数为 (4.6-1) (4.6-2)

要对连续LTI系统进行模拟, 就要对它的系统传输函数或微、 积分方程进行模拟。从以上的例子知道具有相同输入输出关系的系统， 系统实现的结构、 参数不是惟一的， 为此可以选择实际容易实现的结构进行模拟。 用三种基本运算， 就可对式(4.6-1)的运算关系作系统模拟。 这三种基本运算是加法、 标量乘法与积分。 它们对应着三种基本模拟运算器件： 加法器、 标量乘法器、 积分器。 描述系统的输入、 输出关系既可用数学方程描述, 亦可由基本运算器组成的模拟图描述。 下面先介绍基本运算的模拟。 

基本运算模拟的加法器、 标量乘法器、 积分器有时域、 复频域两种表示方法， 所以一般模拟图既可用时域也可用复频域表示。 系统函数表征了系统的输入输出关系， 并且是有理式，运算关系简单， 因此实际系统模拟通常采用复频域表示。

1. 加法运算关系 y(t)=x1(t)±x2(t) Y(s)=X1(s)±X2(s) (4.6-3) 加法器如图4.6-3所示。

图 4.6-3 加法器

2. 标量乘法运算关系  y(t)=ay(t) Y(s)=aX(s) 标量乘法器如图4.6-4所示。 (4.6-4) 图 4.6-4 标量乘法器

3. 积分运算关系 (4.6-5) 积分器如图4.6-5所示。

图 4.6-5 积分器

4.6.2 系统模拟的直接(卡尔曼)形式 1. 全极点系统模拟的直接形式 一阶系统的微分方程及系统函数表示 (4.6-6) 将一阶线性系统的微分方程改写为 y′(t)=x(t)-a0y(t) (4.6-7) 将y′(t)作为积分器输入， 得到用基本运算器组成的时域与复频域模拟图， 如图 4.6-6 所示。   

图 4.6-6 一阶系统模拟

一阶系统模拟的方法可推广至全极点的二阶系统模拟， 其微分方程及系统函数为 (4.6-8) 改写微分方程 y″(t)=x(t)-a1y′(t)-a0y(t) 积分器的输入为y″(t)， 经两次积分得到y(t)， 其模拟 如图4.6-7所示。  

图 4.6-7 无零点二阶系统模拟

由二阶系统模拟可推广至全极点n阶系统， 其微分方程及系统函数为 (4.6-9) n阶系统的模拟如图4.6-8所示。

图 4.6-8 全极点n阶系统模拟

2. 一般系统模拟的直接（卡尔曼）形式 以上模拟实现了系统的极点， 实际系统除了极点之外， 一般还有零点。 例如一般二阶系统的系统函数为 将上式改写为 (4.6-10) 式(4.6-10)的模拟如图4.6-9所示。

图 4.6-9 一般二阶系统的模拟

由一般二阶系统的模拟不难推广到n阶系统(m≤n)

图 4.6-10 一般n阶系统的模拟

4.6.3 其他形式的模拟 复杂系统往往由多个子系统组成， 常见的组合形式有子系统的级联、 并联、 混联、 反馈等。 由于用方框图可以简化复杂系统的表示， 突出系统的输入输出关系， 因此， 通常用方框图表示子系统与系统的关系。 

1. 级（串）联形式 级（串）联模拟实现方法是将H(s)分解为基本（一阶）节相乘。  (4.6-11)

式中, Hi(s)是H(s)的子系统。 也有将级联形式称为串联形式。 式(4 图 4.6-11 系统的级(串)联方框图

子系统的基本形式是由共轭极点（或两个实单极点）组成的二阶模拟， 实单极点的一阶模拟是基本形式的特例。 子系统模拟构成原则是系统内所有参数为实数。 利用基本形式的模拟， 再将各子系统级联起来, 可得系统模拟图， 称为级（串）联模拟图。

例4.6-2 已知某系统函数为 画出由一阶系统级联的模拟图。 解 一阶系统级联的模拟图如图4.6-12所示。

图 4.6-12 例4.6-2系统的级联模拟图

当系统阶数较高时， 把直接形式的系统函数转变为级联形式的系统函数时， 计算系统零、 极点的工作量会很大， 利用MATLAB程序可方便地将直接形式变为级联形式。  例已知某系统的系统函数为 ， 求其级联形式的系统函数。 

变直接形式为级联形式的MATLAB程序及结果： ［B,A,K］=tf2zp(b,a) %变直接形式为级联形式，B为零点，A为极点，k为系数

答案 B = 0 -2 A = -4.0000 -3.0000 -1.0000 K = 1 即级联形式的系统函数为

2. 并联模拟 并联模拟实现方法是对H(s)部分分式展开 (4.6-12) 式中, Hi(s)是H(s)的子系统。

图 4.6-13 系统的并联方框图

Hi(s)子系统模拟的基本形式同级联模拟相似。 整个系统可以看成是n个子系统的叠加(并联), 其中每个子系统可按上面的子系统模拟, 这种形式称为并联形式。 子系统的并联图如图4.6-13所示。 

例4.6-3 已知某系统函数为 画出其并联模拟图。 解 系统的并联模拟图如图4.5-14所示。

图 4.6-14 例4.6-3系统的并联模拟图

3. 混联 混联系统的系统函数的计算要根据具体情况具体对待。 如图4.6-15所示系统， 图 4.6-15(a)的系统函数为 H(s)=H1(s)+H2(s)H3(s) (4.6-13) 图4.6-15(b)的系统函数为 H(s)=［H1(s)+H2(s)］H3(s) (4.6-14)

图 4.6-15 混联系统方框图

4. 反馈系统 反馈系统应用广泛， 自动控制系统的基本结构就是反馈系统。 最基本的反馈系统方框图如4.6-16所示。 由此图可见， 信号的流通构成闭合回路， 即反馈系统的输出信号又被引入到输入端， 这种与输入相减的反馈称为负反馈， 若是与输入相加的反馈则称为正反馈。 通常为保证系统稳定， 采用的都是负反馈， 但正反馈在振荡电路中也有实际应用， 根据实际需要可采用不同的反馈。

由图4.6-16可见， 除了输入外， 输出也形成了对系统的控制。 这种输出信号对控制作用有直接影响的反馈系统， 也称为闭环系统， 闭环系统的传递函数也称为闭环增益 相应的若输出信号对控制作用没有影响的系统称为开环系统， 开环部分的传递函数亦称其为开环增益。

图 4.6-16 反馈系统方框图

反馈（闭环）系统一般可由开环系统与反馈两部分组成。 图4 反馈（闭环）系统一般可由开环系统与反馈两部分组成。 图4.6-16中， 除去反馈部分剩下的是开环系统， 开环部分的传递函数为H1(s)； 整个反馈系统的传递函数（闭环增益）为 (4.6-15) 若给定图4.6-16中的H1(s)、 H2(s)， 则利用MATLAB可以方便地求出整个反馈系统的传递函数（闭环增益）。 

例如， 两个子系统分别为 、 ， 利用MATLAB求系统传递函数的程序与结果：

［b, a］=feedback(b1, a1, b2, a2) %反馈系统的分子、 分母系数 答案 b = 1 5 7 3 a = 3 20 36 19 即

4.6.4 连续系统的信号流图表示 在方框图中， 系统函数可以由各子系统的系统函数与连接方式决定。 在模拟图中， 系统函数可以由各基本器件与连接方式决定。 方框图和模拟图表示还不是最简表示， 用信号流图可以将方框图与模拟图再加以简化。 

信号流图是用节点与有向支路来描述系统。 用流图表示系统的具体处理方法是： 用带箭头的有向线段代替模拟图中的方框； 线段的两个端点为节点， 表示原方框的输入与输出； 线段箭头的方向是信号传输的方向， 原方框的传递系数（支路增益）直接标在箭头旁； 有两个以上有向线段指向一个节点的， 表示相加或相减（传递系数有负号）。 

前面的方框图与模拟图都可以用信号流图表示， 例如图4.6-9的信号流图如图4.6-17 所示。  图4.6-10 n阶系统模拟的信号流图如图4.6-18所示。式(4.6-11)的信号流图如图4.6-19所示。

图 4.6-17 二阶系统模拟的信号流图

图 4.6-18 n阶系统的信号流图

图4.6-10 n阶系统模拟的信号流图如图4.6-18所示。 式(4.6-11)的信号流图如图4.6-19所示。 图 4.6-19 级联系统的信号流图

例 4.6-2系统的信号流图如图4.6-20所示。 图 4.6-20 例4.6-2系统的级联模拟信号流图

式(4.6-12)的信号流图如图4.6-21所示。  例 4.6-3系统的信号流图如图4.6-22所示。 图 4.6-21 并联系统的信号流图

图 4.6-22 例4.6-3系统的信号流图

式(4.6-14)的信号流图如图4.6-23所示。 式(4.6-15)的流图如4.6-24图所示。  图 4.6-23 混合系统的信号流图

图 4.6-24 反馈系统的信号流图

4.6.5 梅森公式 利用梅森公式可直接由信号流图求解系统函数， 这是一种较方便求系统函数的方法。 先介绍几个与此有关的术语。  1. 通路与通路增益 一条或几条连续的支路构成通路， 通路中各支路增益的乘积为通路增益。 特别的连接输入与输出的通路称为前向通路。 例图4.6-24的前向通路增益为H1(s)。 

2. 回路与回路增益 回路是从一个节点开始沿某一通道, 不经重复能回到同一节点的闭合通路； 闭合通路中各支路增益的乘积为回路增益。 例图4.6-24的回路增益为H1(s)H2(s)。  3. 接触 有公共节点的通（回）路为接触通（回）路， 反之， 没有公共节点的通（回）路为不接触通（回）路。 例图4.6-22中的两个回路为不接触回路。

下面不加证明给出梅森公式， 由此可得到单输入单输出系统的传递函数 (4.6-16) 式中, (4.6-17) 前向通路增益之和 H(s)= (4.6-18) 1-所有回路增益之和

例4.6-4 用梅森公式求出如图4.6-25所示系统的传递函数。 图 4.6-25 例4.6-4的信号流图

解 图中前向通路有一条， 两两互不接触回路有两条， 且连接输入输出的通路（前向通路）与所有回路都有接触Δk(s)=1， 各增益分别为: 前向通路增益为T=9/s2； 回路1增益为L1=-3/s； 回路2增益为L2=3/s； 系统函数为

例4.6-5 用梅森公式求出如图4.6-26所示系统的传递函数。 图 4.6-26 例4.6-5的信号流图

解 图中前向通路有三条， 回路有两条， 且连接输入输出的前向通路与所有回路都有接触Δk(s)=1， 而各增益分别为: 前向通路1增益为T1= 1/s · 1/s ·b0= b0/s2 ； 前向通路2增益为T2= 1/s ·b1= b1/s2 ； 前向通路3增益为T3=b2； 回路1增益为L1=- a1/s ； 回路2增益为L2= 1/s · 1/s ·(-a0)=- a0/s2 ； 系统函数为

例4.6-6 用梅森公式求出如图4.6-27所示系统的传递函数。 图 4.6-27 例4.6-6的信号流图

解 前向通路有两条， 两两互不接触回路有两条， 而各增益分别为： 前向通路1增益为T1= 2/s ， Δ1(s)=1+ 2/s ； 前向通路2增益为T2= -1/s ， Δ2(s)=1+ 1/s ； 回路1增益为 L1=- 1/s ； 回路2增益为L2= -2/s ； 系统函数为

4.7 LTI连续系统的稳定性 稳定性是系统本身的性质之一， 与激励信号无关。 稳定系统也是一般系统设计的目标之一。 稳定性的概念有几种不同的提法， 但是没有实质性的差别。 这里给出普遍采用的稳定系统定义： 有界输入产生有界输出（简称BIBO）的系统。 如果对有界激励， 系统的响应无界， 系统就是不稳定的。 LTI系统BIBO稳定的充分必要条件是单位冲激响应绝对可积。

（4.7-1） 式中, M为一有界的实数。 满足式（4.7-1）的h(t)， 一定是随时间衰减的函数， 即 。 LTI系统的系统函数与单位冲激响应集中表征了系统特性， 稳定性也必在其中。 因此既可由 的不同情况， 也可由H(s)的极点分布， 对系统稳定性分类。 

4.7.1 系统稳定性分类 1. 稳定 由4.5节零、 极点分析可知， 若H(s)的全部极点在s的左半平面（不含jω轴）， 则单位冲激响应满足 （4.7-2） 系统稳定。

2. 不稳定 若H(s)有极点落在右半平面， 或者jω轴、 原点处有二阶以上的重极点， 则单位冲激响应为 （4.7-3） 系统不稳定。

3. 边（临）界稳定 若H(s)在原点或jω轴上有一阶极点， 虽然单位冲激响应 ， 但 （4.7-4） 例如纯LC网络， 其单位冲激响应为无阻尼（等幅）的正弦振荡。 因为边(临)界稳定是处在稳定与不稳定两种情况之间， 所以称边（临）界稳定。 为使分类简化， 通常将其归为非稳定系统。 

4.7.2 稳定系统与系统函数分母多项式系数的关系 （4.7-5）

稳定系统的极点应位于s平面的左半平面， 因此D(s)根的实部应为负值。 它对应以下两种情况： (1) 实数根， 其因式为 (s+a) a>0 （4.7-6） (2) 共轭复根， 其因式为 (s+α+jβ)(s+α-jβ)=(s+α)2+β2 =s2+2αs+α2+β2=s2+bs+c （4.7-7）

式（4.7-7）表明复数根只能共轭成对出现， 否则不能保证b、 c为实数。 又因为复数根的实部应为负值(α>0)， 所以b、 c必为正值。 综上所述， 将D(s)分解后， 只有(s+a)、 (s2+bs+c)两种情况， 且a、 b、 c均为正值。 这两类因式相乘后， 得到的多项式系数必然为正值， 并且系数为零值的可能性也受到了限制。 由此我们可得到稳定系统与分母多项式 D(s)的系数关系：

(1) D(s)的系数ai全部为正实数;  (2) D(s)多项式从最高次方项排列至最低次项无缺项。  以上是系统稳定的必要条件而非充分条件。 如果给定H(s)表示式， 由此可对系统稳定性作出初步判断。 若当系统为一阶、 二阶系统时， 系数ai>0就是系统稳定的充分必要条 件(i=0, 1)。 

例4.7-1 已知系统的H(s)如下， 试判断是否为稳定系统？

解 (1) 分母有负系数所以为非稳定系统； (2) D(s)中缺项， 所以不是稳定系统；  (3) D(s)满足稳定系统的必要条件， 是否稳定还需进一步分解检验。  对D(s)进行分解  D(s)=3s3+s2+2s+8=(s2-s+2)(3s+4)  可见D(s)有一对正实部的共轭复根， 所以系统(3)为非稳定系统。

例4.7-2 如图4.7-1所示反馈系统， 讨论当k从零增长时系统稳定性变化。 图 4.7-1 例4.7-2系统

解 Y(s)=V(s)G(s)  将V(s)=F(s)-kY(s)代入上式， 得  Y(s)=［F(s)-kY(s)］G(s)=F(s)G(s)-kY(s)G(s) 整理上式， 得  Y(s)［1+kG(s)］=F(s)G(s) 由此得到

其中

图 4.7-2 例4.7-2极点的变化轨迹

代入具体值讨论：  k=0时， 反馈支路开路， 系统无负反馈， 极点为p1=1， p2=-2， 系统不稳定； k=2时， 系统加了反馈， 极点为p1=0， p2=-1， 系统临界稳定； k=9/4时， 系统进一步加大了反馈， 极点为p1=p2=-1/2， 系统稳定； k>9/4， p1、 p2为具有负实部的共轭复根， 系统稳定。 k不同极点的变化轨迹如图4.7- 2所示。  以上分析可知k>2系统稳定， k<2系统不稳定。 可以推得一般结论： 系统加负反馈可以增加系统的稳定性。

由二阶系统稳定的充分必要条件ai>0， 亦可得到k>2系统稳定的相同结论。  例4.7-2 系统具有反馈环路， 也称闭环系统。 若断开系统中的反馈支路， 则系统为开环系统。 通过以上分析知道， 当k变化时， 闭环系统特征方程的特征根（极点）会随着变化， 系统的稳定性也会发生改变。 随着闭环系统函数参数k的变化， 其特征方程的特征根（极点）在s平面移动的路径称根轨迹， 如图4.7- 2就是例4.7- 2系统的根轨迹图。

由系统的根轨迹研究系统的稳定性， 有其方便之处。 但对有若干极点的复杂系统， 作根轨迹图 并非易事。 借助MATLAB的程序， 可以很方便地利用开环系统函数， 作出闭环系统的根 轨迹。  

例4.7-2根轨迹的MATLAB程序如下： a=［1 1 -2］;%开环分母多项式系数 b=［0 0 1］; %开环分子多项式系数 rlocus(b, a);%根轨迹 title( ′例4.7-2 根轨迹′) 例4.7-2根轨迹如图4.7- 3所示。 

图 4.7-3 例4.7-2的根轨迹

例4.7-3 已知某系统的开环传递函数为 要求绘制其根轨迹。  解 例4.7-3根轨迹的MATLAB程序如下: a=［2 5 1］;%开环分母多项式系数 b=［1 2 3］; %开环分子多项式系数 rlocus(b, a);%根轨迹 title( ′例4.7-3根轨迹′) 例4.7-3根轨迹如图4.7- 4所示。 

图 4.7-4 例4.7-3的根轨迹

4.7.3 罗斯稳定性准则 由上面的讨论已知， 当H(s)满足稳定系统必要条件时， 为判断H(s)极点具体位置， 需要求分母多项式D(s)的根。 这项工作往往很繁， 尤其求高阶系统的特征根不容易。 实际上为了判断系统稳定性， 不需要解出方程全部根的准确值， 只要知道系统是否有正实部或零实部的特征根就可以了。 1877年罗斯提出一种不计算代数方程根的具体值， 只判别具有正实部根数目的方法， 就可以用来判断系统是否稳定。 

罗斯准则（判据）: 若 D(s)=ansn+an-1 s n-1+…+a1s+a0 （4.7-8） 则D(s)方程式的根全部位于s左半平面的充分必要条件是D(s)多项式的全部系数ai大于零、 无缺项、 罗斯阵列中第一列数字符号相同。

“罗斯阵列”排写如下

其中， 罗斯阵列前两行由D(s)多项式的系数构成。 第一行由最高次项系数an及逐次递减二阶的系数得到。 其余排在第二行。 第三行以后的系数按以下规律计算：

依次类推， 直至最后一行只剩下一项不为零， 共得n+1行。 即n阶系统， 罗斯阵列就有n+1行。  如果第一列an、 a n-1、 b n-1、 c n-1、 d n-1、 en-1、 …各元素数字有符号不相同， 则符号改变的次数就是方程具有正实部根的数目。 

例4.7-4 用罗斯准则判断下列方程是否具有正实部的根。  D(s)=2s4+s3+12s2+8s+2 解 全部系数大于零， 无缺项； n=4， 排出n+1=5行。

罗斯阵列为： 

第一列数字两次改变符号（从1→-4； -4→8.5）， 所以有两个正实部的根， 为非稳定系统。  借助MATLAB程序， 求出极点并作出系统函数的极点分布图， 可以验证上面的结论。 例4.7-4系统的零、 极点图的MATLAB程序及结果如下：

a=［2 1 12 8 2］;%多项式系数 r=roots(a)%极点 pzmap(1, a)%极点图 答案 r = 0.0885 + 2.4380i 0.0885 - 2.4380i -0.3385 + 0.2311i -0.3385 - 0.2311i

图 4.7-5 例4.7-4的极点分布