第五讲 固体力学-线弹性问题有限元分析 元计算技术部

线弹性力学作为固体力学的一个重要分支，研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础 。广泛应用在建筑、机械、化工、航天等工程领域 。本讲将对该分支，从其物理模型，有限元弱形式推导，以及ELAB.1.0有限元分析、ELAB1.0有限元软件公式库实现等各个方面进行介绍。 基本方程 ELAB1.0模型向导实现 有限元脚本文件分析

线弹性问题的基本方程 从静力学、几何学和物理学方面考虑得到线弹性稳态问题对应的数学物理方程为： 平衡方程： 本构方程： 几何方程： 其中σxx、σyy、σzz表示直角坐标系下三个方向的正应力 ，εxx、εyy、εzz表示对应的正应变 ， σxy、σxz、σyz表示直角坐标系下三个剪应力 ， εxy、εxz、εyz表示对应的剪应变 ，u、v、w表示直角坐标系下三个方向的位移 ，E表示杨氏模量 ，ν表示泊松比。

边界条件： 第一类边界条件: 第二类边界条件： 第三类边界条件： 有限元分析 运用迦辽金有限元法求位移，由上面的平衡方程可得：

其中σu、σv、σw表示三个方向的虚位移。 对上式进行分部积分化为弱形式可得： 将本构方程带入到上面的弱形式，得到求解位移的最终弱形式表达式：

对于弹性体的应力，采用最小二乘法，由线弹性问题的本构方程可以得到如下的弱形式： 线弹性问题属于固体力学中基础的学科分支，在ELAB1.0有限元软件中以公式库的形式提供给大家，因此可以采用【公式库-固体力学-线弹性】直接生成的方式生成程序代码， 下面通过一个算例用ELAB1.0公式库来实现。

工程背景 三维工字形部件线弹性体，如下图所示，底面为边长为8m的正方体，上下两部分高度为2m，中间部分高度为10m。该部件的弹性模量为1.0e10N/m2，泊松比为0.3，地面边界固定，上表面施加100N的均布力载荷，分析该部件的位移、应力以及变形情况。 几何模型

固体力学--线弹性ELAB1.0软件实现 工程建模 1、点击“工程向导”进入公式库 2、选择“固体力学”研究领域 3、选择“坐标系”

6、定义工程名和工程路径，完成 工程设置 4、选择“单元类型” 5、选择“问题类型”

定义材料参数 点击工具栏“参数设置”→“材料参数”，如下图所示： 材料参数对话框中设定相应的材料参数，如下图所示： b场材料参数 a场材料参数

前处理 点击工具栏中“前处理”按钮进入GID，建立该工程的几何模型。 注：进入GID后要进行ELAB1.0的数据转化data→problemtype→ELAB 几何建模： 建立几何模型的具体操作详见《有限元分析基础与应用》相关章节。 注：模型建立后，选择Geometry——Edit——Collapse——models，选中所建模型，按鼠标中键结束，将所有的体连为一体。保证没有孤立的点、线或者面。

添加材料参数和边界条件： 施加均布力 地面固定边界 a场材料 b场材料

求解计算 划分网格： 设置划分网格的单元类型(要与工程建模中选择的单元类型一致)，以及网格尺寸，划分网格如下图所示： 点击工具栏中“求解计算”按钮，完成模型的求解计算。

后处理 点击工具栏中的“后处理”按钮进入GID，查看计算结果。 x向位移u y向位移v

z向位移w 位移矢量 x向应力dxx y向应力dyy

z向应力dzz 变形图（放大2.1392e6倍）

有限元语言描述文件 为生成该问题有限元计算的所有程序源代码，针对之前的ELAB1.0有限元分析得到的微分方程弱形式，ELAB1.0软件提供简洁的有限元语言描述文件，包括微分方程描述文件、多物理场描述文件以及求解命令流控制文件。 针对该问题的有限元描述文件包括delxyz.fde( 求解位移微分方程)， delxyz.fbc(求解位移边界条件) ， selxyz.fde(求解应力微分方程)， solid.mdi， solid.gcn 微分方程描述文件delxyz.fde ( 求解位移微分方程) 在delxyz.fde给出单元的待求未知量，涉及到的材料参数，单元的形函数表达式，刚度矩阵表达式和载荷表达式，以及为描述刚度矩阵和载荷向量而自定义的函数。 以下给出微分方程描述文件中与微分方程弱形式对应的部分(详细的解析见《有限元分析基础和应用》中相关章节)：

未知变量对应微分方程弱形式中的变量(几何方程中) 微分方程弱形式： 求解位移的微分方程描述文件 未知变量： DISP u v w 未知变量对应微分方程弱形式中的变量(几何方程中) u v w

单元刚度矩阵对应微分方程弱形式中的左端项 材料参数： MATE pe pv fx fy fz rou alpha 材料参数行对应微分方程弱形式中的变量 E v fx fy fz 单元刚度矩阵： dist =+[ev_i;ev_j]*sm_i_j*fact+[ep_i;ep_i]*shear*fact 单元刚度矩阵对应微分方程弱形式中的左端项

单元载荷向量对应微分方程弱形式中的右端项的体积分项 单元载荷向量： load=+[u_i]*f_i*vol 单元载荷向量对应微分方程弱形式中的右端项的体积分项 求解位移的边界描述文件 load=+[u]*fu+[v]*fv+[w]*fw 单元载荷向量对应微分方程弱形式中的右端项的边界积分项

多物理场描述文件solid.mdi 3dxyz #a 0 3 u v w fde delxyz c2 fbc delxyz q2 #b 0 6 dxx dyy dzz dyz dxz dxy fde selxyz c2 # 坐标系(三维直角坐标系) a场0个初值3个自由度 a场方程描述文件+单元类型和积分方法 a场边界描述文件+单元类型和积分方法 b场0个初值6个自由度 b场方程描述文件+单元类型和积分方法 结束标志 求解命令流控制文件solid.gcn DEFI a ell b str a START a SOLV a SOLVSTR b a gidres(coor0); a场采用ell算法 b场采用ell算法耦合a场数据 初始化a场 求解a场 最小二乘求解b场 输出GID格式的结果数据

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