◆ 第7節 水波的干涉與繞射 一、干涉簡介 二、兩同相點波源的干涉 三、節線數的計算 四、水波的繞射 範例 1 範例 2 範例 3 1

一、干涉簡介 1. 干涉現象 如下頁圖所示，兩個同頻率、同振幅的圓形水波，其波源分別為 S1、S2。當兩波在水面交會時，會因為波的疊加而形成干涉(interference)現象。

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2. 同調性 (1)要在水面上形成穩定的干涉圖樣，兩波源振動的相位差必須一定，相位差固定的兩波源，稱為同調源(coherence source)。例如兩頻率相同的波源，若恰為第5節提及的同相與反相運動，則這兩個波源同調。 (2)兩個同調的波源，具有相同的頻率。 (3)雖然同調性並不需要振幅相同，但若振幅也相等，則干涉圖樣會更清楚，因此在高中課時中，僅討論振幅相同的同調波源。 4

3. 波程差 5

二、兩同相點波源的干涉 為簡單起見，我們使用兩個相位差為零的點波源 S1 與 S2，某一瞬間兩波的波形如下頁圖所示。在此圖中有兩組同心圓，分別是波源 S1 及 S2 所造成之圓形水波的波前。其中實線的圓代表波峰波前，虛線的圓則代表波谷波前。

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動畫：圓形波的干涉 動 ：圓形波的干涉 畫 8

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1. 腹線 (1) 考慮在兩波之波峰疊加處的點 P，及兩波之波谷疊加處的點 P'。 10

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⇒兩波在P點相遇時，波峰與波峰重疊，在P‘點相遇時，波谷與波谷重疊，形成完全建設性干涉（完全相長性干涉），此時質點的合成位移最大，稱為腹點，相同波程差的腹點之連線則稱為腹線。 13

動畫：完全建設性干涉2 動 ：完全建設性干涉 畫 14

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(3)由於雙曲線上的任一點，到兩個焦點的距離差為一定值，所以腹線就是以S1及S2為焦點的雙曲線。但通過波源本身時則退化成　 　，如下圖所示的第三腹線。 直線 18

(4)腹點並非總是保持在位移最大狀態，而是以原波源兩倍的振幅在原處作簡諧運動。當其為最高點（兩波峰重疊處）時，在水波槽的白紙上的投影為亮紋；當其為最低點（兩波谷重疊處）時，在水波槽的白紙上的投影為暗紋。故腹線在白紙上的投影並不是一條亮線，而是亮、暗相間、交替變化且動態遠離波源的線。 19

2. 節線 (1)考慮在兩波之波峰與波谷疊加處的 Q 點及 Q' 點。 20

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⇒兩波在Q點及Q‘ 點相遇時，波峰與波谷重疊，形成完全破壞性干涉（完全相消性干涉），此處質點的合成位移為零，因此該處水面靜止不動，稱為節點，相同波程差的節點之間的連線則稱為節線。 23

動畫：完全破壞性干涉2 動 ：完全破壞性干涉 畫 24

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(3)同樣地，節線也是以 S1 及 S2 為焦點的 ，但通過波源本身時則退化成 。 (4)波峰與波谷恰相會處固然是節點，但節線任一點 未必是波峰與波谷恰相會的點。只要波程差等於 半波長的奇數倍，滿足兩成分波的位移大小相等 、方向相反，使得兩波完全相消，造成質點的合 位移為零即為節點。 雙曲線 直線 28

(5)由於節線上的任意點皆為完全破壞性干涉，且質點的合成位移為零，因此該處水面恆靜止不動，故在水波槽的實驗中，我們看到的節線是沒有明暗變化的靜止灰色曲線。 29

◎兩反相點波源的干涉 若兩波源的振動恰好是反相時，則其產生節線與腹線的條件和同相時恰好相反。

三、節線數的計算 1.由上述的討論知，節線的形狀為雙曲線，而每條節線皆會穿過兩點波源之間連線上的節點，節線的數目會與 S1S2 連線上的節點數目相同，如右圖所示。

2.兩點波源間的連線上，因兩波源S1 與 S2 所產生的波形、振幅、頻率皆相同，但波的行進方向相反，滿足形成駐波的條件，故會形成駐波。

(2)相鄰的兩節點間相距＝ ；相鄰的兩腹點間相距＝ 。 (1) 相鄰的節點和腹點間相距＝ 。 (2)相鄰的兩節點間相距＝ ；相鄰的兩腹點間相距＝ 。 33

3.若 S1 與 S2 同相，則在 S1 與 S2 的連線上的正中央為 ，兩邊節點與中央腹點 ，故節線數目為 。 對稱 偶數 節點 對稱 奇數 34

1 同相時的節線數 兩同相且振幅相同的點波源 S1與 S2，二者間的距離 d 為波長λ的 3.5 倍（即 d ＝ λ），如右圖所示，則 範例1 兩同相且振幅相同的點波源 S1與 S2，二者間的距離 d 為波長λ的 3.5 倍（即 d ＝ λ），如右圖所示，則 (1) P點與兩波源間的波程差為　　　，位於 上。 (2)畫出干涉的簡圖，將通過S1與S2上的節線計入，共有 條節線；若兩波源上的節線不計入，共有 條節線。 ※請同學注意比較(1)、(2)兩題，觀念將會更清楚。

以 N 代表節點，A 代表腹點，則 在兩點波源間連線上干涉的情形 如下圖所示。

解 (2) 如 下圖， 若 第 四 節 線 計入，共有 8 條節線；若第四節線不計入，共有 6 條節線。

2 反相時的節線數 範例2 兩個反相且距離為 d 的點波源發生干涉時，若 d 與波長λ的關係為d＝ λ，則水波槽中可見到 條節線， 條腹線。

以 N 代表節點，A 代表腹點，則在兩點波源間連線上干涉的情形如下圖所示。

解 如下圖，有 5 條節線（紅色虛線） ，6 條腹線（藍色實線）。

3 聲波的干涉 範例3 S1、S2兩個喇叭，分別置於y＝12公尺，x＝　2.5公尺處（如右圖所示），由同一電源驅動發出相同的單頻聲音。一觀測者在x軸的不同位置上可聽到音量有大小起伏的變化。已知音量在原點時最大，往右移則音量漸小，當移至x＝2.5公尺處時，音量最小。若聲速為344公尺/秒，則喇叭之音頻為　(A)158赫茲　(B)172赫茲　(C)316赫茲　(D)344赫茲　(E)502赫茲。【85日大】

1.兩個喇叭類似兩個同相水波源， 腹線是音量　 　處；節線是音 量　 　處。 2.原點在S1、S2連線的中垂線上，兩 聲波同時到達，故為　 　，音 量　 　。 最大 最小 腹點 最大 3.當移至x＝2.5公尺處時，音量最小，故此處位於　 　上，波程差為 。 第一節線

解

四、水波的繞射 1. 繞涉現象 波在通過障礙物、障礙物邊緣或是狹縫時，其波前形狀發生變化，導致行進方向改變的現象，稱為繞射(diffraction)，如下頁圖所示。

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2. 不同情形下的繞射現象比較 繞射現象的明顯程度與波長有關，也與狹縫或障礙物的大小有關。 (1)若障礙物的大小相對於波長越小，繞射現象越明顯，如下頁圖所示。 51

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動畫：水波遇障礙物的繞射 動 ：水波遇障礙物的繞射 畫 53

(2)若狹縫寬度相對於波長越小，繞射現象越明顯，如下圖所示。當狹縫寬度接近波長時，幾乎會變成圓形波。 54

動畫：水波遇狹縫的繞射 動 ：水波遇狹縫的繞射 畫 55

3. 利用惠更斯原理解釋繞射現象 如下頁圖所示，某向上行進的直線水波，在某一時刻，某一波前恰抵達狹縫的位置，根據惠更斯原理，在此波前上的每一點各自發出圓形子波，各子波因向外傳播，形成了繞射現象。 56

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CHAPTER 2 波動 NEXT 實驗2 水波槽實驗 58