第三章 物體的運動 3-1 物體運動的軌跡 3-2 牛頓運動定律 3-3 克卜勒行星運動定律

3-1 物體運動的軌跡 一、位移 二、 速度 三、加速度 四、 等加速度直線運動 五、自由落體

一、位移 前言： 2. 位置： 運動學：描述物體在空間的位置隨時間的變化。 動力學：探討引起物體各種運動的原因。 質點：當一物體其體積遠小於其移動的空間，或物體只有移動而無轉動時，可將物體視為質點，如此可簡化對物體運動的描述。 2. 位置： 位置：物體相對於參考點（坐標原點）的空間關係，為一向量，稱為位置向量。

位置的座標表示法：利用數學的坐標來描述，所選取的坐標，在物理學上稱參考坐標系。例如在下圖中，取 O 點為 x 坐標軸的原點，質點在 A 點的位置坐標記為 x = 3cm，在 B 點則記為 x = - 2cm。 位置函數：質點在一直線運動，其位置座標 x 與時間 t 之關係可以函數 x = x(t) 表示。例如：

x – t 圖：取橫軸代表時間坐標 t，縱軸代表位置坐標 x，將質點運動的函數 x(t) 畫成 x 對 t 的關係圖線，稱為 x - t 圖。 例如：(1) 等速度運動： x t x0 (2)加速度運動： x t x0

3. 時間坐標：用來指明事件所發生的時間。 4. 路徑長與位移： 時刻：事件發生的時候（某一時間點），如第三秒，三秒末或 四秒初。 時距：事件經歷的長短（一段時間），如三秒內、第三秒內。 第三秒或第三秒末 二秒末或三秒初 第三秒內 0s 1s 2s 3s 4s 三秒內 4. 路徑長與位移： 路徑：質點移動所經過的路線或軌跡，路徑的總長度稱為路徑長，為純量。

位移：位置坐標的變化量，以Δx 表示，為一向量。 量值：起點至終點的直線距離。 方向：由起點指向終點。 位移表示法： Δx = x2 – x1 。 X1 X2 t1 t2 x Δx 註： 位移僅與起點、終點有關，與所經路徑、所經時間與所選取的座標無關。 作直線運動的物體，其運動如無折返的情形，則路徑長等於位移的量值。

二、速度 1. 平均速度： 定義：在某一時距內，物體單位時間內所經的位移。 公式： x x2 單位：公尺∕秒（m / s） x1 0 t1 t2 t Δx Δt 單位：公尺∕秒（m / s） 方向：平均速度為一向量，其方向同位移方向 圖形意義：x – t 圖中割線的斜率為平均速度

2. 瞬時速度： 意義：某一時刻的速度或極短時間的平均速度。 定義公式： t t + Δt x(t) x(t+Δt) x

x x2 x1 0 t1 t2 t 瞬時速度的方向：在軌跡的切線方向。 圖形意義：x – t 圖中該點的切線斜率為順時速度。

3. 平均速率： 4. 瞬時速率： 意義：表示某一時段，物體運動快慢的程度 定義：物體單位時間所經的路徑長。 公式： 註：直線運動如無折返現象，則平均速率等於平均速度量值。 4. 瞬時速率： 意義：極短時間的平均速率或瞬時速度的量值。 公式：

例題：上山速率為 6 公里∕小時，下山速率為 12 公里∕小時，則往返一趟之 (1) 平均速度為何？ (2) 平均速率為何？ 答案：(1) 0； (2) 8公里∕小時

5. 位移為 v - t 圖內所圍面積： 若知物體的速度隨時間變化的關係 v(t)，如何求 t 秒內位移？ 畫出 v - t 圖，如右圖所示，將時間 t 細分成許多小段 Δt，每一小時段 v 取最小值來計算位移，再把每一小時段的位移加總即為總位移。如此所得的位移與實際位移的誤差將隨著 Δt 的減小而變小。因此 v 0 t1 t2 .... tn t

例題：作直線運動的質點，其速度對時間的關係圖如下圖所示，求 2 秒內質點的位移。 4 - 2 v t 答案：2 公尺

例題：一直線運動質點的 v - t 圖如右圖所示，已知質點的初位置為 x = -10公尺，則質點在第 8 秒的位置為 (A) +8 (B) +10 (C) +2 (D) -2 (E) -10 公尺。 答案：A

例題：一物體的速度－時間圖形如附圖，則該物體在 20 秒內的平均速度為多少 m∕s？ 答案：7.5

例題：附圖為一物體沿直線運動之速度對時間的關係，哪個時間與 3秒末所通過的位置相同？ 答案：5 秒末

三、加速度 1. 平均加速度： 定義：一段時間內物體在單位時間的速度變化量。 公式： v v1 單位：公尺∕秒 2。 v2 0 t1 t2 t Δv Δt 單位：公尺∕秒 2。 方向：平均加速度的方向為速度變化量的方向。 圖形意義：v – t 圖內割線的斜率為平均加速度。

2. 瞬時加速度： 意義：極短時間內的平均加速度 定義公式： v v2 v1 0 t1 t2 t 即加速度為速度對時間的一次微分，或位置坐標對時間的二次微分。 圖形意義：v – t 圖內切線的的斜率為該時刻的瞬時加速度。 註：加速度與速度同向，則速率增快； 加速度與速度反向，則速率減慢。

3. 速度變化量為 a - t 圖內所圍面積為： 與前面所述，位移為 v – t 圖內所圍面積的道理相同，物體在一段時間內的速度變化量為 a(t) 對時間做積分，或 a – t 圖內所圍面積。即

總結： 例如： 運動狀態 函數 等速度運動 等加速度運動 x (t) v (t) a (t) a = 0 a（定值）

例題：作直線運動的質點，其位置坐標 x 與時間 t 的關係圖如右圖所示，試問 (1) 哪一時段速度為正？ (2) 哪一時刻速度為零？ (3) 哪一時段速率增快？ (4) 哪一時段加速度為正？ x (t) t A B C D E 答案：(1) A～B 與 D～E (2) B 與 D (3) B～C 與 D～E (4) C～E

例題：若一物體不具有加速度，則此物體： (A)必為靜止　(B)可能作曲線運動　(C)可能作等速圓周運動　(D)可能作變速率運動　(E)可能作等速運動

四、等加速度直線運動 t = 0 x0 v0 t x v x 若物體以一定的加速度 a 在一直線上運動，當時間 t = 0時，位置座標在 x0 處，速度為 v0 。經時間 t 後，位置座標在 x 處，速度變為 v ，則

a t at v0 at v t

例題：某人駕車在高速公路上以 90 km∕hr 的速率，突然見到前方有交通事故，立即踩煞車。假設車子作等加速度直線運動，其加速度為 -10 m∕s2，則車子在完全停止前，共經歷多少時間？將滑行多遠？ 答案：2.5 秒；31.25 公尺

例題：甲車以10米∕秒，乙車以 4米∕秒之速率在同一車道中同向前進，若甲車之駕駛員在離乙車後方距離 d 處發現乙車，立即踩煞車而使其車獲得負 2米∕秒2 之定值加速度，為使兩車不至相撞，則 d 之值至少應大於： (A)3米 (B)9米 (C)16米 (D)20米 (E)25米。 [70日大] 答案：B

例題：火車以等加速度行駛。其前端通過車站某一點時速率為 10 m/s，後端通過時速率為 30 m/s。火車中點通過該點時速率為何？ [66

五、自由落體 1. 自由落體運動： 2. 重力加速度： 當物體只受到地球引力的作用，不受其它任何阻力的影響而從空中落下的運動。 自由落體的運動為等加速度運動，其加速度的量值約為9.8 m/s2，稱為重力加速度或重力場強度，簡記為 g。 因物體所受的重力與高度有關，故重力加速度與高度有關，越高處其值越小。 在地表附近的重力加速度，因地球在兩極處略扁平及地球自轉的影響而稍有差異。 國際上取北緯 45o 海平面的重力加速度量值為9.80665m/s2 為標準值。

3. 實驗： 伽立略曾將兩個不同重量的鐵球，同時從比薩斜塔自由釋放，結果兩鐵球幾乎同時著地。 1971年 8月 2日太空人大衛史考特在月球上同時釋放一把鐵鎚和一根羽毛，結果發現兩者幾乎同時落到月球表面。

4. 自由落體公式： 取鉛直方向的座標為 y 座標，向上為正。自由落體為等加速度直線運動，加速度 a = - g，因此適用等加速度直線運動的 公式 y v0 v y0 t = 0 t v0 = 0：由靜止釋放 v0 > 0：鉛直上拋 v0 < 0：鉛直下拋

5. 自由落體的性質： 由靜止釋放的物體，下降 h 的高度後，末速 v 為 以 v0 鉛直上拋的物體，上升的最大高度 h 與所需時間 t 分別為 上拋體經過某一段高度差的時間，與下降過程經過同一段高度差的時間相等。 上拋體經過某一高度的速度與下降過程經同一高度時的速度大小相等，方向相反。

例題：一熱汽球正以 20m/s 等速上升，距地面 25m之瞬間，從熱汽球底部掉落一小螺絲釘，則此釘（g＝10m/s2） (1) 經幾秒著地？ (2) 著地時速度為何？ (3) 所走過的路徑長為何？ t = 2s t = 5s 答案：(1) 5 秒 (2) －30 m∕s (3) 65 公尺

3-2 牛頓運動定律 一、牛頓第一運動定律 二、牛頓第二運動定律 三、牛頓第三運動定律

一、牛頓第一運動定律 亞里斯多德對運動的觀點： 伽立略對運動的觀察： 物體需持續有力量作用才會運動，若無力的作用，則物體必回歸於自然狀態 — 靜止。 圖 (a) 伽立略對運動的觀察： 物體在斜面上的運動： 下坡時加速運動，如圖 (a)。 上坡時減速運動，如圖 (b)。 在水平面上時速度不增也不減，如圖 (c)。 圖 (b) 圖 (c)

伽立略的主張：欲改變物體的速度需藉外力，但維持速度則不需外力，物體在水平面上運動終致靜止，是因為有摩擦力作用。 物體在兩斜面間的運動：將小球由左邊斜面頂端自由滑下，在右邊斜面上總是爬升到原來高度，如下圖。因此他推得：若把右邊斜面平放，小球因無法到達原來高度，必永遠運動下去。 伽立略的主張：欲改變物體的速度需藉外力，但維持速度則不需外力，物體在水平面上運動終致靜止，是因為有摩擦力作用。 乾冰盤在無摩擦力的水平面上作等速度運動。

牛頓第一運動定律： 物體若不受外力，或所受外力合為零，則靜者恆靜，而動者恆沿一直線作等速度運動。 物體這種保持原來運動狀態的特性，叫做慣性，因此牛頓第一運動定律又叫做慣性定律。 慣性座標：牛頓第一定律適用的座標系，為靜止或作等速度運動的座標系統。牛頓第一定律的主要意義是對慣性座標下定義。若為加速運動的座標系稱為非慣性座標。 例：搭乘汽車時，若汽車突然開動，人體由於慣性而後仰。對地面靜止的觀察者而言，車前進而人靜止，為一慣性坐標系；對車上的觀察者而言，人不受外力卻向後加速，為一非慣性坐標系。

二、牛頓第二運動定律 牛頓第二運動定律的實驗 ： 實驗裝置：置乾冰盤於光滑水平桌面上，以細繩繞過桌邊之定滑輪與一彈簧秤連接，彈簧秤下端掛法碼，改變砝碼大小已調整施於乾冰盤的拉力，如左下圖。圓盤受拉力而運動時，以閃光攝影法測得在不同時刻圓盤的位置，如右下圖所示，並計算圓盤的加速度。

實驗結果： 固定乾冰圓盤的質量，以不同拉力拉動圓盤，則物體加速度 a 和其所受拉力 F 成正比。如右圖所示。 改變乾冰圓盤的質量，並調整砝碼，使拉力保持定值，物體加速度 a 與其質量 m 成反比，畫出加速度與質量倒數的關係圖如右圖所示。

牛頓第二運動定律： 物體加速度 a 與外力 F 成正比，與其質量 m 成反比，而加速度方向則與外力方向相同。這便是牛頓第二運動定律，選取適當單位牛頓第二運動定律可寫成 質量的定義： 慣性質量：比較物體慣性大小所測得的質量。 測量方法：分別施相同大小的力於待測物體與砝碼上，測得兩者的加速度各為 a 與 a0，如砝碼的質量為 m0，則待測物的質量 m 滿足 ma = m0a0，因此得 F a m m0 a0

4. 力的單位： 重力質量：比較物體所受重力大小所測得的質量。 測量方法：以天平秤測量所得的質量為重力質量。 實驗顯示物體的慣性質量等於其重力質量。此為愛因斯坦廣義相對論的基礎。 4. 力的單位： 牛頓（nt）：使質量 1 公斤的物體產生 1 公尺∕秒2 加速度的力量，為 SI 制中力的單位。 達因（dyne）：使質量 1 公克的物體產生 1 公分∕秒2 加速度的力量。 公斤重（kgw）：質量 1 公斤的物體所受到的重力。在地球表面 1公斤重 = 9.8 牛頓。

註：質量與重量 重量：重量代表物體所受地球引力的大小，故和物體所在的位置有關，通常用彈簧秤測量。 質量：質量是指物體所含物質的總量，不論物體放在何處，其質量是不變的，通常用天平測量。 利用牛頓第二定律，對質量為m的物體而言，所受到的地球重力量值W（即物體在地球上的重量） 重量（ W ）＝ 質量（ m ）× 重力加速度（ g ）

力學問題解題策略： 選定受力體。 畫出該物體受到的外力圖。 選定適當的直角座標系，將各外力沿座標軸方向作分解。 列出各座標軸方向的牛頓第二運動定律方程式。 解聯立方程式。

三、牛頓第三運動定律 牛頓第三運動定律：力量來自於物體間的互相作用，必成對同時出現，且作用力與反作用力大小相等，方向相反。即當施力者施一作用力於受力者，則受力者也必同時施一大小相等，方向相反的反作用力於施力者。 作用力與反作用力的性質： 同時發生，同時消失。 量值相等，方向相反。 對兩物體組成的系統而言，作用力與反作用力為內力，不影響整體的運動狀態。對個體而言為外力，會影響個體的運動狀態。

例題：如附圖所示，有人施力 F 於一放置在桌面上的木塊。設 W 代表木塊所受之地球引力，N 代表桌面作用於木塊之力。下列敘述何者正確？ (A) F 和 W 互為作用力和反作用力　 (B) F 和 N 互為作用力和反作用力　(C) W 和 N 互為作用力和反作用力　(D) F、W 和 N 三者同時互為作用力和反作用力　(E) F、W 和 N 三者中沒有任何作用力和反作用力的關係 答案：E

例題：施一水平拉力，可使一物體在光滑水平桌面上，以19 例題：施一水平拉力，可使一物體在光滑水平桌面上，以19.6 m／s2 之加速度運動，若施同樣大小之拉力，將此物體鉛直上提離開桌面，則其上升之加速度為多少 m／s2？ 答案：9.8 m／s2

例題：互相垂直的兩水平力，大小分別為 4 牛頓和 3 牛頓，同時作用在靜止於光滑平面上 10公斤的物體，則物體加速度為多少m / s2？

a 例題：如右圖所示，桌上物體的質量為 m1，下方吊掛物體的質量為 m2。假設所有摩擦力繩子和滑輪的質量皆可忽略不計，試求物體的加速度與繩子的張力。 T T m2 g

例題：（阿特午機）如右圖所示，不計繩、滑輪重量與所有摩擦力，m2 > m1，試求兩物體的加速度與繩的張力。 T m1 g T m2 g a

四、彈力 虎克定律：在彈性限度內，彈簧所受之外力 F 與其 形變量 Δℓ 成正比。 F k 稱為彈力常數，大小與彈簧的材質、長度、截面積有關。其值愈大表示彈簧愈不容易伸縮。

彈簧的組合： 串聯：等效彈力常數 ks ks < ki F

F 並聯：等效彈力常數 kp kp > ki

彈簧的分割： 將一彈簧等分為 n 段，則各段的力常數 分割為長度比為 m：n 的兩段，則 m n

例題：有一原長為 20cm 的彈簧，用 F 的力可將此彈簧拉長成30cm。若欲拉長成 36cm，則需施力為何？

例題：甲、乙兩輕彈簧（質量不計）受力 1 N 時均伸長3 cm。今鉛直懸掛甲彈簧，其下連接重 2 N 之 A 物體，而在 A 物下方鉛直懸掛乙彈簧，並在乙彈簧下方掛重 3 N 之 B 物體，則甲、乙兩彈簧的伸長量各為何？ 答案：15cm，9cm

例題：一彈簧秤掛在天花板時，以 15公斤重的力拉它，伸長 3公分，則水平放置此彈簧並在其兩端各以 20公斤重的力拉它，則彈簧伸長多少公分？ 答案：4cm

例題：將一重物懸吊於一質量可忽略的彈簧下，在鉛直方向成平衡，此時彈簧的伸長量為10cm。今將此彈簧由中間剪斷，利用被剪斷的二彈簧將同一重物吊起，在鉛直方向成平衡﹙如右圖所示﹚。若懸吊連接耗去的長度可忽略，則此彈簧組合被重物拉長了 _________。 [87.日大] 2k W 答案：2.5cm

五、摩擦力 摩擦力的產生：兩物體接觸面做相對運動或有相對運動的傾向時，在接觸面間所生的阻力，方向是平行接觸面，以反抗相對運動或相對運動的傾向。 摩擦力的測定實驗：如右圖所示，施力拉一物體，如施力太小，物體無法被拉動，此時外力等於摩擦力。拉力繼續增加，當物體開始動那一瞬間的摩擦力稱為最大靜摩擦力 fs。物體開始動後，摩擦力維持定值，稱為動摩擦力 fk，其值略小於最大靜摩擦力，如右下圖。 F f N W f F 靜止時 運動時

摩擦力的計算： 未達最大值的靜摩擦力：兩物體接觸面間的靜摩擦力在未達最大值前，為某一外力的平衡力，找出摩擦力的平衡力，即可得知摩擦力的大小。 最大靜摩擦力 fs：由實驗得知兩物體接觸面間的最大靜摩擦力只和接觸面間的材質與正向力有關。其計算公式為 μs 稱為靜摩擦係數，與接觸面的材質有關。N 為接觸面間的正向力。 動摩擦力 fk：由實驗得知兩物體接觸面間的動摩擦力也只和接觸面間的材質與正向力有關。其值略小於最大靜摩擦力，其計算公式為 μk 稱為動摩擦係數，其值略小於μs 。

例題：如附圖所示，一方形木塊質量 3公斤，其右側頂在鉛直牆面上，今在左側施一向右水平力 F＝4公斤重，使木塊不下滑，若已知木塊與牆面間之靜摩擦係數為 2、動摩擦係數為0.5，則此時木塊與牆面間之摩擦力大小為何？ W F 答案：3公斤重

例題：有一木塊重 20公斤重，靜止於一水平桌面上，木塊與桌面間之靜摩擦係數為 0. 4，動摩擦係數為 0 例題：有一木塊重 20公斤重，靜止於一水平桌面上，木塊與桌面間之靜摩擦係數為 0.4，動摩擦係數為 0.2，若以 6公斤重之水平力作用於木塊，則木塊與桌面間之摩擦力為多少公斤重？ 答案：6公斤重

例題：小揚欲將心愛的畫作掛上牆壁，他先用手把畫框暫時壓在牆壁上，若畫框背面與牆壁間的靜摩擦係數為 0 例題：小揚欲將心愛的畫作掛上牆壁，他先用手把畫框暫時壓在牆壁上，若畫框背面與牆壁間的靜摩擦係數為 0.5，小揚的手掌與畫框正面間的靜摩擦係數亦為 0.5，畫框重為 2公斤，重力加速度 g = 10 m/s2，則為避免畫框滑下，小揚用手垂直壓在畫框上的力至少應多大？ 答案：20牛頓

3-3 克卜勒行星運動定律

科學家對太陽系的了解： 西元二世紀時，托勒密認為地球是宇宙的中心，提出「地心說」。 西元十六世紀哥白尼提出「日心說」，認為太陽才是宇宙的中心，建構了我們現在所認識的太陽系。 克卜勒利用第谷所遺留給他的大量有關行星運動的精確數據，發現了行星運動的規律，稱為克卜勒定律。 牛頓發現了萬有引力定律，從理論上直接的導出了克卜勒定律。牛頓證明了天體運動和地面物體的運動都遵守同樣的力學定律。

2003年11月，美國天文學家邁克爾·布朗和他的同事在柯伊伯帶中發現了一顆被稱作「塞德娜」的行星，它的體積也和冥王星接近，新行星距離太陽大約 145億公里，公轉週期為 560年。 在英語中，關於行星的稱法只有 planet（大行星）和 asteroid（小行星）兩種。這顆新行星是否為 planet. 科學家的看法仍存有歧見。

行 星 軌 道 數 據 距離太陽 (AU) 半徑 (地球) 質量 (地球) 軌道傾角 (度) 軌道 離心率 水星 0.39 0.38 行 星 軌 道 數 據 距離太陽 (AU) 半徑 (地球) 質量 (地球) 軌道傾角 (度) 軌道 離心率 水星 0.39 0.38 0.05 7 0.2056 金星 0.72 0.95 0.89 3.394 0.0068 地球 1.0 1.00 0.000 0.0167 火星 1.5 0.53 0.11 1.850 0.0934 木星 5.2 11.0 318 1.308 0.0483 土星 9.5 95 2.488 0.0560 天王星 19.2 4.0 17 0.774 0.0461 海王星 30.1 3.9 1.774 0.0097 冥王星 39.5 0.18 0.002 17.15 0.2482

克卜勒行星運動定律： 克卜勒行星第一運動定律：太陽系的行星，各在以太陽為焦點的一橢圓軌道上運行。 b a c x y 橢圓方程式： 近日點 遠日點 b a c x y 橢圓方程式： a 為半長軸；b 為半短軸。 橢圓面積：πab 焦點位置：(c，0) 及 (-c，0) 離心率： 離心率用於代表橢圓的扁平程度。

克卜勒行星第二運動定律：由太陽至一行星的連線，於相等時間中掃過相等面積。 推論一：行星與太陽之間距離 r 的平方與其公轉角速度ω的乘積為一定值。 即

推論二：行星與太陽之間距離 r 與其公轉速度 v 滿足 θ s r θ

克卜勒行星第三運動定律：行星與太陽的平均距離 R 的立方，與行星繞太陽週期 T 的平方之比值對各個行星皆相同。 （對不同的行星） 軌道如為圓形，則 R = 圓的半徑。

3.986 × 10－20 90613 5906 冥王星 3.968 × 10－20 60190 4503 海王星 3.989 × 10－20 30799 2877 天王星 3.983 × 10－20 10579 1433 土　星 3.97 × 10－20 4332 779 木　星 3.987 × 10－20 686.97 227.9 火　星 3.985 × 10－20 365.26 149.6 地　球 224.70 108.2 金　星 3.99 × 10－20 87.97 57.0 水　星 （ ） 行星公轉週期 T（天） 行星軌道的平均半徑 R（106公里） 行　星

例題：以下關於地球繞日運行之敘述，何者正確？ (A)作變速率橢圓軌道運動. (B)在近日點時，地球繞日速率最快 (C)作等速率橢圓軌道運動 例題：以下關於地球繞日運行之敘述，何者正確？ (A)作變速率橢圓軌道運動 (B)在近日點時，地球繞日速率最快 (C)作等速率橢圓軌道運動 (D)由遠日點到近日點，地球移動速率漸增 (E)在軌道上各處均有法線加速度。 答案：ABDE

例題：下列有關行星與衛星之運動的敘述，何者錯誤？ (A)克卜勒行星第一定律指出，太陽系之行星或行星之衛星均做橢圓軌道運動 (B)太陽系中，各行星均環繞太陽做變加速度運動 (C)在相同時間內，地日連線掃過之面積等於任一行星與太陽連線掃過之面積 (D)克卜勒行星第二定律適用於衛星繞行星之運動 (E)克卜勒第三定律之常數與引力中心星體之質量成正比。 答案：AC

例題：克卜勒定律除了可以用來描述行星繞行恆星的運動外，亦可用來描述人造衛星繞行地球的運動。下圖為一人造衛星以橢圓軌道運動繞地球的示意圖，下列敘述何者正確　(Ａ)衛星經 A 點的速率最大　(Ｂ)由 A 點到 C 點，衛星移動速率漸減　(Ｃ)衛星受到地球的引力作用，進行變加速度運動　(Ｄ) 在相同時間內，衛星與地心連線掃過之面積等於月心與地心連線掃過之面積　(Ｅ)地心 F 點是人造衛星橢圓軌道的焦點。 答案：ABCE

例題：有關克卜勒第三定律下列各敘述何者正確？ (A)地球繞日與月球繞地運行時平均軌道半徑立方與週期平方比值相等 (B)所有繞太陽運轉的行星平均軌道半徑立方與週期平方比值皆相等 (C)平均軌道半徑為軌道長軸長度與短軸長度之算術平均數 (D)平均軌道半徑即為行星與太陽最近距離與最遠距離之算術平均數 (E)平均軌道半徑為橢圓軌道短軸兩端與太陽之距離。 答案：BDE

例題：已知土星繞太陽運轉之平均距離約為地球繞太陽運轉平均距離的 10倍，則土星繞太陽一周需時__________年。 [83.日大]

例題：海爾—波普慧星的週期約為 2500年，則其與太陽的平均距離，為地球與太陽平均距離的多少倍？ (A)2500 (B)1665 (C)615 (D)185 (E)50。 [86.日大] 註：這顆彗星是在一九九五年七月廿三日由兩位天文學家Hale 和 Bopp 同時發現的。 答案：D

例題：繞太陽運轉的某彗星，其週期為 64年，且近日點距太陽為 2 A.U.，則該彗星在近日點的速率與在遠日點的速率的比值為若干？ 答案：15

例題：設行星繞日之軌道均為圓，由地球觀察某行星與太陽之最大夾角為 30o，則 (A) 地球軌道半徑為 R，該行星之軌道半徑為何？ (B)該行星繞日之週期約為幾天？

例題：如右圖所示，甲、乙兩人造衛星以圓形軌道繞地球運轉，假設運行的軌道在同一平面上，且運行的方向相反。甲衛星發現每隔 1∕9 週期會與乙衛星相遇（即甲、乙兩衛星與地球恰在一直線上且在地球同側），若忽略甲、乙兩衛星間的作用力，則甲、乙兩衛星軌道半徑之比為何？ (A) 1：4 (B) 1：2 (C) 1：1 (D) 2：1 (E) 4：1。 [95.指定科考] 答案：E 地球