通 信 原 理 指导教师:杨建国 指导教师:杨建国 二零零七年十一月 二零零八年三月

第十一章 伪随机序列及其编码 11.1 伪随机序列的概念 11.2 正交码与伪随机码 11.3 伪随机序列的产生 11.4 m序列 第十一章 伪随机序列及其编码 11.1 伪随机序列的概念 11.2 正交码与伪随机码 11.3 伪随机序列的产生 11.4 m序列 11.5 M序列 11.6 Gold序列 11.7 正交沃尔什函数 11.8 伪随机序列的应用

11.1 伪随机序列的概念 在通信技术中，随机噪声是造成通信质量下降的重要因素， 因而它最早受到人们的关注。如果信道中存在着随机噪声，对于模拟信号来说，输出信号就会产生失真，对于数字信号来说， 解调输出就会出现误码。另外，如果信道的信噪比下降，那么信道的传输容量将会受到限制。

伪随机序列应当具有类似随机序列的性质。在工程上常用二元{0，1}序列来产生伪噪声码，它具有以下几个特点： (1) 在随机序列的每一个周期内0和1出现的次数近似相等。 (2) 每一周期内，长度为 n 的游程取值(相同码元的码元串)出现的次数比长度为n+1的游程次数多一倍。  (3) 随机序列的自相关类似于白噪声自相关函数的性质。

11.2 正交码与伪随机码 若M个周期为T的模拟信号s1(t)，s2(t)，…，sM(t)构成正交信号集合，则有 (11-1) 设序列周期为p的编码中，码元只取值+1和-1, 而x和y是其中两个码组:

式中，xi,yi∈（+1， -1）, i=1, 2, …，n, 则x 和y之间的互相关函数定义为 (11-2) 若码组x和y正交，则有ρ(x,y)=0。  如果一种编码码组中任意两者之间的相关系数都为0， 即码组两两正交，这种两两正交的编码就称为正交编码。由于正交码各码组之间的相关性很弱，受到干扰后不容易互相混淆， 因而具有较强的抗干扰能力。

ρ(x, y)=(A-D)/(A+D)=(A-D)/p (11-3) 对于{0，1}二进制码， 式(11-2)的互相关函数定义可简化为 ρ(x, y)=(A-D)/(A+D)=(A-D)/p (11-4) 式中，A是x和y中对应码元相同的个数； D是x和y中对应码元不同的个数。  式(11-3)的自相关函数也表示为 ρx(j)= (A-D)/(A+D)=(A-D)/p (11-5)

式中，A是码字xi与其位移码字xi+j的对应码元相同的个数： D是对应码元不同的个数。伪随机码具有白噪声的统计特性， 因此， 对伪随机码定义可写为 (1) 凡自相关函数具有 （11-6） 形式的码， 称为伪随机码， 又称为狭义伪随机码。

（2） 凡自相关函数具有 （11-7） 形式的码，称为广义伪随机码。  狭义伪随机码是广义伪随机码的特例。

11.3 伪随机序列的产生 编码理论的数学基础是抽象代数的有限域理论。一个有限域是指集合F元素个数是有限的，而且满足所规定的加法运算和乘法运算中的交换律、结合律、分配律等。常用的只含（0， 1）两个元素的二元集F2,由于受自封性的限制，这个二元集只有对模二加和模二乘才是一个域。  一般来说，对整数集Fp={0, 1, 2, …, p-1}, 若p为素数， 对于模p的加法和乘法来说，Fp是一个有限域。

可以用移位寄存器作为伪随机码产生器，产生二元域F2及其扩展域F2m中的各个元，m为正整数。可用域上多项式来表示一个码组， 域上多项式定义为 （11-8） 称其为F的n阶多项式，加号为模二和。式中，ai是F的元，anxn称为f(x)的首项，an是f(x)的首项系数。记F域上所有多项式组成的集合为F(x)。

若g(x)是F(x)中的另一多项式， （11-9） 如果n≥m，规定f(x)和g(x)的模二和为 （11-10） 其中, bm+1=bm+2=…=bn=0。 规定f(x)和g(x)的模二乘为 （11-11）

f(x)=q(x)g(x)+r(x) 若g(x)≠0，则在F(x)总能找到一对多项式q(x)(称为商)和r(x)(称为余式)使得 （11-12） 这里r(x)的阶数小于g(x)的阶数。 式（11-12）称为带余除法算式，当余式r(x)=0, 就说f(x)可被g(x)整除。

图11-1是一个4级移位寄存器，用它就可产生伪随机序列。 规定移位寄存器的状态是各级存数从右至左的顺序排列而成的序列， 这样的状态叫正状态或简称状态； 反之， 称移位寄存器状态是各级存数从左至右的顺序排列而成的序列叫反状态。 图11-1中的反馈逻辑为 (11-13)

图 11-1 4级移位寄存器

当移位寄存器的初始状态是1000时，即an-4=1,an-3=0,an-2=0,an-1=0, 经过一个时钟节拍后， 各级状态自左向右移到下一级，末级输出一位数，与此同时模二加法器输出加到移位寄存器第一级，从而形成移位寄存器的新状态，下一个时钟节拍到来又继续上述过程，末级输出序列就是伪随机序列。 在这种条件下， 图11-1产生的伪随机序列是 {an-4}=1000100110101111000100110101111… P=15 这是一个周期长度p=15的随机序列。

当图11-1的初始状态是0状态时，即an-4=an-3=an-2=an-1=0移存器的输出是一个0序列。  4级移存器共有16个状态，除去一个0状态外，还有15个状态。对于图11-1来说，只要随机序列的周期达到最大值，这时无论如何改变移存器的初始状态，其输出只改变序列的初相， 序列的排序规律不会改变。 但是，如果改变图11-1 四级移存器的反馈逻辑， 其输出序列就会发生变化。例如， 当反馈逻辑变成 (11-14)

时，给定不同的初始状态1111、0001、1011，可以得到三个完全不同的输出序列 111100111100…， 000101000001…， 101101101101 它们的周期分别是6、6和3。

由此， 我们可以得出以下几点结论：  （1）线性移位寄存器的输出序列是一个周期序列。  （2）当初始状态是0状态时，线性移位寄存器的输出是一个0序列。  （3） 级数相同的线性移位寄存器的输出序列与寄存器的反馈逻辑有关。  （4） 序列周期p<2n-1(n级线性移位寄存器)的同一个线性移存器的输出还与起始状态有关。  （5） 序列周期p=2n-1的线性移位寄存器，改变移位寄存起初始状态只改变序列的起始相位，而周期序列排序规律不变。

11.4 m 序 列 11.4.1 线性反馈移位寄存器的特征多项式 1. 线性反馈移位寄存器的递推关系式 递推关系式又称为反馈逻辑函数或递推方程。设图 11-2 所示的线性反馈移位寄存器的初始状态为(a0a1…an-2an-1)，经一次移位线性反馈，移位寄存器左端第一级的输入为

若经k次移位，则第一级的输入为 (11-15) 其中，l=n+k-1≥n, k=1,2,3,… 由此可见，移位寄存器第一级的输入，由反馈逻辑及移位寄存器的原状态所决定。 式(11-15)称为递推关系式。

图11-2 m序列的线性反馈移位寄存器的一般结构图

2. 线性反馈移位寄存器的特征多项式 用多项式f(x)来描述线性反馈移位寄存器的反馈连接状态： (11-16) 式(11-16)称为特征多项式或特征方程。其中，xi存在，表明ci=1，否则ci=0，x本身的取值并无实际意义。ci的取值决定了移位寄存器的反馈连接。由于c0=cn=1，因此，f(x)是一个常数项为 1 的n次多项式，n为移位寄存器级数。

可以证明，一个n级线性反馈移位寄存器能产生m序列的充要条件是它的特征多项式为一个n次本原多项式。若一个n次多项式f(x)满足下列条件: (2) f(x)可整除(xp+1), p=2n-1; (3) f(x)除不尽(xq+1),q<p。 则称f(x)为本原多项式。 以上为我们构成m序列提供了理论根据。

11.4.2 m序列产生器 用线性反馈移位寄存器构成m序列产生器， 关键是由特征多项式f(x)来确定反馈线的状态，而且特征多项式f(x)必须是本原多项式。 现以n=4 为例来说明m序列产生器的构成。用4 级线性反馈移位寄存器产生的m序列，其周期为p=24-1=15，其特征多项式f(x)是 4 次本原多项式，能整除(x15+1)。先将(x15+1)分解因式，使各因式为既约多项式，再寻找f(x) 。

其中，4 次既约多项式有 3 个，但(x4+x3+x2+x+1)能整除(x5+1)， 故它不是本原多项式。因此找到两个 4 次本原多项式(x4+x+1)和(x4+x3+1)。 由其中任何一个都可产生m序列。用f(x)=(x4+x+1)构成的m序列产生器如图 11-3 所示。

图 11-3 m序列产生器

设 4 级移位寄存器的初始状态为 1 0 0 0。c4=c1=c0=1, c3=c2=0。输出序列{ak}的周期长度为 15。

11.4.3 m序列的性质 1. 均衡特性(平衡性) m序列每一周期中 1 的个数比 0 的个数多 1 个。由于p=2n-1为奇数，因而在每一周期中 1 的个数为(p+1)/2=2n-1(偶数)，而 0 的个数为(p-1)/2=2n-1-1(奇数)。上例中p=15, 1 的个数为 8，0 的个数为 7。当p足够大时，在一个周期中 1 与 0 出现的次数基本相等。

2. 游程特性(游程分布的随机性) 我们把一个序列中取值(1 或 0)相同连在一起的元素合称为一个游程。在一个游程中元素的个数称为游程长度。例如图 11-2 中给出的m序列 {ak}= 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 … 在其一个周期的 15 个元素中，共有 8 个游程， 其中长度为 4 的游程 1 个， 即 1 1 1 1; 长度为 3 的游程 1 个，即 0 0 0； 长度为 2 的游程2个，即1 1 与 0 0； 长度为 1 的游程 4 个， 即 2 个 1 与 2 个 0。

m序列的一个周期(p=2n-1)中，游程总数为 2n-1。其中，长度为 1 的游程个数占游程总数的 1/2；长度为 2 的游程个数占游程总数的1/22=1/4；长度为 3 的游程个数占游程总数的 1/23=1/8；等等。一般地， 长度为k的游程个数占游程总数的 1/2k=2-k，其中1≤k≤(n-2)。而且，在长度为 k 的游程中，连 1 游程与连 0 游程各占一半，长为(n-1)的游程是连 0 游程，长为 n 的游程是连 1 游程。

3. 移位相加特性(线性叠加性) m序列和它的位移序列模二相加后所得序列仍是该m序列的某个位移序列。设mr是周期为p的m序列mp的r次延迟移位后的序列， 那么 (11-17) 其中，ms为mp某次延迟移位后的序列。例如， mp =0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1, …

mp延迟两位后得mr, 再模二相加 mr=0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0, … ms=mp⊕mr=0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 , … 可见，ms=mp⊕mr为mp延迟 8 位后的序列。

a1,a2,a3,…,ap (p=2n-1) aj+1,aj+2,aj+3,…,aj+p 4. 自相关特性 m序列具有非常重要的自相关特性。在m序列中，常常用+1 代表 0， 用-1代表 1。 此时定义：设长为 p的m序列，记作 a1,a2,a3,…,ap (p=2n-1) 经过j次移位后，m序列为 aj+1,aj+2,aj+3,…,aj+p 其中，ai+p=ai(以p为周期)，以上两序列的对应项相乘然后相加， 利用所得的总和

来衡量一个m序列与它的j次移位序列之间的相关程度，并把它叫做m序列(a1,a2,a3,…,ap)的自相关函数。 记作 (11-18) 当采用二进制数字 0 和 1 代表码元的可能取值时，式(11-18) 可表示为 (11-19) 式中，A、D分别是m序列与其j次移位的序列在一个周期中对应元素相同、不相同的数目。 式(11-19)还可以改写为 (11-20)

由移位相加特性可知，ai⊕ai+j仍是m序列中的元素，所以式(11-20)分子就等于m序列中一个周期中 0 的数目与 1 的数目之差。 另外由m序列的均衡性可知，在一个周期中 0 比 1 的个数少一个， 故得A-D=-1(j为非零整数时)或p(j为零时)。因此得 (11-21) 如图 11-4 所示。

R(j)=R(j+kp) m序列的自相关函数只有两种取值(1和-1/p)。 R(j)是一个周期函数， 即 (11-22) 式中，k=1,2,…, p=(2n-1)为周期。而且R(j)是偶函数， 即 R(j)=R(-j) j=整数 (11-23)

图 11-4 m序列的自相关函数

5. 伪噪声特性 如果我们对一个正态分布白噪声取样，若取样值为正， 记为+1，若取样值为负，记为-1，将每次取样所得极性排成序列，可以写成  …+1,-1,+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1,… 这是一个随机序列， 它具有如下基本性质： (1) 序列中+1 和-1 出现的概率相等；

(2) 序列中长度为 1 的游程约占 1/2， 长度为 2 的游程约占 1/4，长度为 3 的游程约占 1/8, … 一般地，长度为k的游程约占 1/2k，而且+1、-1 游程的数目各占一半； (3) 由于白噪声的功率谱为常数，因此其自相关函数为一冲击函数δ(τ)。 把m序列与上述随机序列比较，当周期长度p足够大时，m序列与随机序列的性质是十分相似的。可见，m序列是一种伪噪声特性较好的伪随机序列， 且易产生，因此应用十分广泛。

11.5 M 序 列 M序列是一种非线性的伪随机序列，它是最长序列，是由非线性移位寄存器产生的码长为2n的周期序列。M序列已达到n级移位寄存器所能达到的最长周期，所以又称为全长序列。 M序列的构造可以在m序列基础上实现。因为m序列包含了2n-1个非零状态，仅缺一个0状态，因此，只要在 m序列适当的位置上插入一个0状态， 即可完成码长为2n-1的m序列向码长为2n的M序列转换。

一般地讲，0状态插入应在状态xnxn-1…x1=100…0之后，同时紧跟0状态的后继序列状态应当是原m序列状态，后继状态应是0…001即可。因此，重要是检测后n-1个0， 即检测M序列的状态xn-1xn-2 … x1然后加上原反馈逻辑f0(x1, x2, …, xn)，得到新的反馈逻辑 (11-24) 现以本原多项式f(x)=1+x+x4产生的码长为15的m序列加长码长为16的M序列四级移位寄存器为例说明。 四级M序列发生器的原理图如图11-5所示。反馈逻辑函数为

(11-25) 图11-5中的000状态检测器可检测到1000和0000两个状态。 当检测到1000状态时，检测器输出为1，这个1与反馈输入an（此时为1）模二加得到0，输入到an-1，使后续状态成为0状态；在0状态时检测器继续输出1，此1与反馈输入an 此时为0）模二加得到1， 输入到an-1，使0状态的后续状态保持原来的循环状态0001。 这样就把0状态插进原始序列之中。

图 11-5 四级M序列发生器

下面给出M序列状态流程， 设初始状态为0100。  0100→1001→0011→0110→1101→1010→0101→1011→0111→1111→ 1110→1100→1 000→0 000→0001→0010→0100（初态）→… 　构成M序列的方法很多，但实现起来并非易事，要能方便、简练地得到M序列，仍需作不懈努力。

周期为p=2n的M序列的随机特性有下列几点：  （2） 在每一个周期内共有2n-1个游程， 其中同样长度的0游程和1游程的个数相等。当1≤k≤n-2时，长为k的游程占总游程数的一半， 长为n-1游程不存在，长为 n的游程有两个。

f(x1, x2, …, xn)= f0(x1, x2, …, xn-1)+xn （3） 归一化自相关函数RM（τ）具有如下相关值： ① RM(0)=1 ② RM(±τ)=0 0<τ<n ③ RM(±n)=1-4W(f0)/p≠0 其中，W(f0)是M序列发生器的反馈逻辑函数表示成 f(x1, x2, …, xn)= f0(x1, x2, …, xn-1)+xn 的形式时，f0取值为1的个数。 通常把W(f0)叫做f0的权重。

Mn=2(2 n-1-n) 当τ>n时，RM(τ)无确定表示式，只能从给定的M序列中逐点移位计算得到。  　以上特点说明，M序列的自相关函数是多值的，而且有较大的旁峰。长度相同的M序列具有不同的自相关特性。M序列的自相关特性也是多值的。  　对于任意的自然数n，一定有n级M序列以及产生此M序列的n级移位寄存器存在。n级M序列的总长为 Mn=2(2 n-1-n) (11-26)

表11-1列出了不同n值时所得到的M序列和m序列的数目。 可以看出，当n>4时，M序列比m序列的数目多得多， 这对于某些需要地址序列很多的应用场合提供了选择的灵活性。

11.6 伪随机序列的应用 11.6.1 Gold序列的生成 　　周期为p（=2n-1）的m序列优选对{an}和{bn}，{an}与{bn}的移位τ次的{bn+τ}(τ=0, 1, …, p-1)逐位模二相加所得的序列{an⊕bn+τ}都是不同的Gold序列。 　　产生Gold序列的电路原理框图如图11-6所示。图中m序列发生器1和2产生的m序列是一个m序列优选对。m序列发生器1的初始状态固定不变，调整m序列发生器2的初始状态， 在同一时钟脉冲控制下，产生的两个m序列经过模二加后可得到Gold序列。通过设置m序列发生器2的不同初始状态，可以得到不同的Gold序列。

图11-6 产生Gold序列的电路原理框图

11.6.2 Gold序列的特性 　　1. Gold序列的相关特性 　Gold序列的自相关函数Ra(τ)在τ=0时与m序列相同，具有尖锐的自相关峰；当1≤τ≤p-1时，与m序列有所差别， 自相关函数值不再是-1/p，其最大旁瓣值变为-t(n)/p。 　　周期为p（=2n-1）的m序列优选对可以构成p个Gold序列， 这p个Gold序列加上2个m序列（一个m序列优选对）共有p+2（=2n+1）个序列， 它们之中任何两个序列的周期性互相关函数都是三值函数{u1，u2，u3}。  　　同长度、不同m序列优选对产生的Gold序列的周期性互相关函数不是三值函数。 　

　　2. Gold序列的均衡特性 　　与m序列不同，Gold序列并非全都具有均衡特性。 我们把具有在一个周期内“1”的个数比“0”的个数只多一个的这种均衡特性的Gold序列称为均衡的Gold序列。均衡的Gold序列在实际工程中作平衡调制时有较高的载波抑制度。对于由周期p=2n-1的m序列优选对生成的Gold序列，当n是奇数时，2n+1个Gold序列中有2n-1+1个Gold序列是均衡的，约占50％，其余的或者是“1”的码元数太多，或者是“0”的码元数太多，都是不均衡的Gold序列；当n是偶数(不是4的倍数)时，有2n-1+2n-2+1个Gold序列是平衡的，约占75％，其余的都是不均衡的Gold序列。 　　因此，只有约50％(n是奇数)或75％(n是不为4的倍数的偶数)的Gold序列可以用于CDMA通信系统中。

　　3. Gold序列的数量 　Gold序列的数量与m序列优选对的周期（也可以说与m序列优选对的长度）有关，周期越长构成的Gold序列的数量越多。周期为p（=2n-1）的m序列优选对可以构成2n+1个Gold序列，随着n的增加，Gold序列数以2的n次幂增长，因此Gold序列数比m序列数多得多，并且它们具有优良的自相关特性和互相关特性，完全可以满足实际工程的需要。 表11-2给出了m序列周期与m序列数、m序列优选对数、Gold序列数的关系。由表11-2可知，随着m序列周期的增长，m序列数、m序列优选对数和Gold序列数都增多，而且Gold序列数的增长比m序列数的要快得多。此外，n=4k(k=1, 2, 3, …)的m序列没有优选对，所以也不存在对应的Gold序列。

表11-2m序列周期与m序列数、m序列优选对数、Gold序列数的关系

11.7 正交沃尔什函数 　　沃尔什(Walsh)函数集是完备的非正弦型的二元（取值为+1与-1）正交函数集，其相应的离散沃尔什函数简称为沃尔什序列或沃尔什码。  　　沃尔什函数是定义在半开区间［0, 1)的矩形波族，每个矩形波有一个编号n(n=0, 1, 2, 3, …)。 矩形波幅度的取值为+1或-1，规定起始时矩形波的取值为+1，然后在+1与-1之间变化，变化的次数（+1变-1与-1变+1的次数之和）m=n，在+1或-1上持续的时间可以相等，也可以不相等（不相等时较长的持续时间Tl为较短的持续时间Ts的两倍）。编号为n的沃尔什函数用Wal(n, t)表示，沃尔什函数的波形如图11-7所示。

图11-7 沃尔什函数的波形

11.7.1 沃尔什函数的构成 　　1. 连续沃尔什函数的构成 　　1) 瑞得麦彻函数 　　瑞得麦彻（Rademacher）函数是定义与上述沃尔什函数的定义基本相同，不同的是，其方波的变化的次数（+1变-1与-1变+1的次数之和）m=2n-1，在+1或-1上持续的时间T=1/2n，编号为n的瑞得麦彻函数用Rad(n, t)表示。 瑞得麦彻函数的波形如图11-8 所示。 　

图11-8 瑞得麦彻函数的波形

　　2) 连续沃尔什函数的构成 　　用瑞得麦彻函数可以构造沃尔什函数。设沃尔什函数的编号为n，瑞得麦彻函数的编号为nr，则有用瑞得麦彻函数构成沃尔什函数的公式如下： （11-27） 式中,n=0,1,2, …；nr=0,1,2, …, 由2nr-1-1＜n≤2nr-1确定nr；gi为n的格雷码（Gray Code）的第i位（从右往左数），当gi=1时， ［Rad(i,t)］gi=Rad(i, t)，当gi=0时，［Rad(i, t)］gi=1。n的格雷码转换过程是：先把n的十进制数(n)10转换为n的二进制数(n)2， 再用公式gi=bi+1bi(i=1~N)和bN+1=0把n的二进制数(n)2转换为n的格雷码(n)g。

　　例如用公式（11-27）求Wal(11,t)，由23-1=7＜n=11≤24-1=15确定nr=4，(11)10(11)2=［1011］2，g1=b2⊕b1=1⊕1=0，g2=b3⊕b2=0⊕1=1，g3=b4b3=1⊕0=1，g4=b5⊕b4=0⊕1=1，则有

　　2. 离散沃尔什函数的构成 　　离散沃尔什函数也称沃尔什序列或沃尔什码，用WN(n)表示，n为离散沃尔什函数的编号，N为离散沃尔什函数长度（即元素或码元的个数）。两个离散沃尔什函数只有当它们的编号和长度相同时，这两个离散沃尔什函数才是相同的。 　　1) 用哈达马矩阵的行(或列)构成离散沃尔什函数 　　离散沃尔什函数可由哈达马(Hadamard)矩阵的行(或列)构成。 一阶哈达马矩阵为

高阶哈达马矩阵的递推公式如下： (11-28) 式中, Nm=2m，m=1，2，3，…。 例如, m=1时

m=2时 m=3 时

Nm阶哈达马矩阵的通式可表示为 (11-29) 式中, Nm=2m, m=1, 2, 3, …。

　　用哈达马矩阵HNm的行(或列)可以构成离散沃尔什函数WNm(n)，它们的对应关系如下： (11-30) 式中,Nm=2m(m=1,2,3, …); n=0,1,2,…,2m-1;nh=1, 2,3, …, 2m。 　　上式表明编号为n、长度为Nm的离散沃尔什函数WNm(n)是由Nm阶哈达马矩阵HNm的第nh行(或列)所构成的。  　　长度为Nm的离散沃尔什函数WNm(n)的编号n与Nm阶哈达马矩阵HNm的行(或列)号nh的换算关系可由式（11-31）和式（11－32）确定。

定义： 当m=0, Nm=20=1时 当nh=im为奇数时 (11-31) 当nh=im为偶数时 (11-32)

式中,m=1,2,3, …；Nm(=2m)为哈达马矩阵HNm的阶数（或离散沃尔什函数WNm(n)的长度）；nh=im(=1,2,3, …,2m)为Nm阶哈达马矩阵HNm的行（或列）号。 　　nNm(im)的值就是Nm阶哈达马矩阵HNm的第im行（或列）所对应的离散沃尔什函数WNm(n)的编号n。

　　2) 用连续沃尔什函数构成离散沃尔什函数 　　上述用哈达马矩阵的行(或列)构成离散沃尔什函数的方法， 其离散沃尔什函数WNm(n)的编号n与相应的哈达马矩阵HNm的行(或列)号nh之间的换算关系比较繁琐。 我们也可以通过在半开区间［0, 1)上对连续沃尔什函数Wal(n,t)进行等间隔抽样来得到离散沃尔什函数WNm(n)。具体的方法是：抽样的次数N等于将要构成的离散沃尔什函数WNm(n)的长度Nm(=2m,m=0,1, 2, …)，同时被抽样的连续沃尔什函数的最大编号nmax=Nm-1， 从而可以得到对应的离散沃尔什函数WNm(n)。例如，欲构造长度Nm=26=64的离散沃尔什函数，可以通过对连续沃尔什函数Wal(0,t)～Wal(63,t)的每一个函数进行N(=Nm)次等间隔抽样来得到。 　

11.7.2 沃尔什函数的基本性质 沃尔什函数具有如下一些基本性质： (1) 在半开区间［0, 1)上正交， 即 (11-33) 该性质为沃尔什函数基本性质中最重要的性质。

　　(2) 除Wal(0,t)外，其他的Wal(n,t)在半开区间［0, 1)上的均值为0。  　　(3) 两个沃尔什函数相乘仍为沃尔什函数， 即  　　Wal(i, t)Wal(j, t)=Wal(k, t) (11-34) 这表示沃尔什函数对于乘法是自闭的。  　　(4) 沃尔什函数集是完备的， 即长度为N的离散沃尔什函数(沃尔什序列)一共有N个。  　　(5) 沃尔什函数与瑞得麦彻函数的关系由式（11-27）确定。  　　(6) 沃尔什函数在同步时是完全正交的。  　　(7) 沃尔什函数在不同步时，其自相关和互相关特性均不理想，并随同步误差值的增大而快速恶化。

11.8 伪随机序列的应用 11.8.1 扩展频谱通信 　　扩展频谱通信系统简称扩频（SS）系统，它将待传送的基带信号在频域上扩展为远远大于原来信号带宽的频谱，再在接收端把已扩展频谱的信号变换到原来信号的频带上，以恢复出原来的基带信号的。 数字基带扩展频谱通信系统的模型如图11-9所示。

图11-9 数字基带扩展频谱通信系统的模型

　　扩展频谱技术的理论基础是香农公式。对于具有加性高斯白噪声的连续信道，其信道容量C与信道传输带宽B及信噪比S/N之间的关系可以用下式表示： (11-35) 这个公式表明，在保持信息传输速率不变的条件下，信噪比和带宽之间具有互换关系。就是说，可以用扩展信号的频谱作为代价，换取用很低的信噪比来传送信号，同样可以得到很低的差错率。

扩频系统有以下特点：  (1) 有利于加密，防止窃听；  (2) 抗干扰、抗衰落和抗阻塞能力强；  (3) 具有选择地址能力，多址通信时频谱利用率高； (4) 信号的功率谱密度很低，有利于信号的隐蔽；  (5) 在扩频信道中可同时容纳大量（瞬时）用户；  (6) 可以进行高分辨率的测距。

　　1. 直接序列扩频方式 　　直接序列扩频(Direct Sequence Spread Spectrum, DSSS)又称为直扩(DS)，它是用高速率的伪随机序列与信息序列模二加后的序列去控制载波的相位而获得直扩信号的。 图11-10(a)和(b)就是直扩系统的原理方框图和扩频信号传输图。

图11-10 直扩系统的原理方框图和扩频信号传输图 (a) 原理方框图； (b) 扩频信号传输图

　　2. 跳变频率扩频方式 　　跳变频率扩频(Frequency Hopping Spread Spectrum, FHSS)又称为跳频(FH)，它是用伪码构成跳频指令来控制频率合成器，并在多个频率中进行选择的移频键控。跳频指令由所传信息码与伪随机码模二加的组合来构成，因此， 它又称为跳频图案。  　　跳频系统原理如图11-11所示。在发送端信息码与伪码调制后，按不同的跳频图案去控制频率合成器，使其输出频率在信道里随机跳跃地变化。在接收端，为了对输入信号解跳，需要有与发送端相同的本地伪码发生器构成的跳频图案去控制频率合成器，使其输出的跳频信号能在混频器中与接收到的跳频信号差频出一个固定中频信号，经中频放大器后，送到解调器恢复出原信息。 　

图11-11 跳频系统原理

　　3. 跳变时间扩频方式 　　跳变时间扩频(Time Hopping Spread Spectrum， THSS)又称为跳时(TH)，它是用伪码序列来启闭信号的发射时刻和持续时间的。 该方式一般和其他方式混合使用。

　　4. 混合式扩频方式 　　在实际系统中， 当仅仅采用单一工作方式而不能达到所希望的性能时，往往采用两种或两种以上工作方式的混合式扩频， 如FH/DS、 DS/TH、 FH/TH等。

11.8.2 码分多址(CDMA)通信 　　多址系统是指多个用户通过一个共同的信道交换消息的通信系统。传统的信号划分方式有频分和时分， 相应地可构成频分多址系统和时分多址系统。  　　一种新的多址方式是码分多址系统，它给每个用户分配一个多址码, 要求这些码的自相关特性尖锐，而互相关特性的峰值尽量小，以便准确识别和提取有用信息,同时各个用户间的干扰可减小到最低限度。

　　码分多址系统有以下特点：  　　(1) 所有用户可以异步地共享整个频带资源，也就是说，不同用户码元发送信号的时间并不要求同步；  　　(2) 系统容量大；  　　(3) 信道数据率非常高。

　　码分多址扩频通信系统模型如图11-12所示，同时工作的通信用户共有k个，各自使用不同的伪随机码PNi(t)(i=1, 2, …,k)，发射的信息数据分别是di(t)(i=1, 2, …,k)。对于扩频通信系统中的某一接收机，尽管想接收第i个通信用户发送来的信息数据di(t)，实际进入接收机的信号除第i个发来的信号外，也有其他(k-1)个用户发射出来的信号。 由于伪随机码的相关特性，因此，该接收机可以识别和提取有用信息， 而把其他用户的干扰减小到最低。

图11-12 码分多址扩频通信系统模型

　　在CDMA数字蜂窝移动通信系统中，可为每个基站分配一个PN序列，以不同的PN序列来区分基站地址； 也可只用一个PN序列，而用PN序列的初始相位来区分基站地址， 即每个基站分配一个PN序列的初始相位。Qualcomm-CDMA数字蜂窝移动通信系统就采用给每个基站分配一个PN序列的初始相位的方法。它用周期为215=32 768码片（人为插入一个码片）的PN序列，每64个码片为一初始相位，共有512种初始相位， 分配给512个基站。CDMA数字蜂窝移动通信系统中，移动用户的识别需要采用周期足够长的PN序列，以满足对用户地址量的需求。在Qualcomm-CDMA数字蜂窝移动通信系统中的反向信道采用周期为242（人为插入一个码片）的PN序列，用于区分不同的移动台，这利用了m序列良好的自相关特性。

　　沃尔什函数最重要的性质是正交性。正交码最重要的应用之一就是用作CDMA通信系统的地址码。例如，码长为64的沃尔什码共有64个，用于区分同一小区下64个移动通信用户的前向信道，由基站发向某用户的信号需经过该前向信道码调制（二次调制）。由沃尔什函数的正交性可知， 只有具有相同沃尔什码的用户才可从接收到的信号中取出有用信息， 而其他用户不可以，这样就实现了码分多址。若采用码分双工技术实现双工通信，发送信号和接收信号各用一个码分信道（地址码），64个沃尔什码只能作为32个移动通信用户的地址码。为了提供足够多的用户地址码，可以采用码长更长的沃尔什码。

11.8.3通信加密 　　数字通信的一个重要优点是容易做到加密,在这方面m序列的应用很多。数字加密的基本原理框图如图11-13所示。将信源产生的二进制数字消息和一个周期很长的m序列模二相加,这样就将原消息变成不可理解的另一序列。将这种加密序列在信道中传输，被他人窃听也不可理解其内容。在接收端再加上一同样的m序列，就能恢复为原发送消息。

图11-13数字加密的基本原理框图

　　设信源发送的数码为X1={1011010011…},m序列Y={1100001011…}。数码X1与m序列Y的各对应位分别进行模二加运算后，获得序列E，显然E不同于X1，它已失去了原信息的意义。如果不知道m序列Y，就无法解出携带原信息的数码X1,从而起到保密作用。假设信道传输过程中无误码，序列E到达接收端后与m序列Y再进行模二加运算，可恢复原数码X1 ，即

图11-14数字信号的加密与解密

11.8.4误码率的测量 　　在数字通信中，误码率是一项主要的性能指标。在实际测量数字通信系统的误码率时，一般测量结果与信源送出信号的统计特性有关。通常认为二进制信号中0和1是以等概率随机出现的，所以测量误码率时最理想的信源应是随机信号产生器。 　　由于m序列是周期性的伪随机序列，因而可作为一种较好的随机信源，它通过终端机和信道后，输出仍为m序列。在接收端，本地产生一个同步的m序列，与收码序列逐位进行模二加运算，一旦有错，就会出现“1”码，用计数器计数，如图11-15所示。

图11-15误码率测试

11.8.5数字信息序列的扰码与解扰 　　数字通信系统的设计及其性能都与所传输的数字信号的统计特性有关。例如，我们在分析计算系统的误码率时，常假定信源送出的“0”、“1”码元是等概的。在一些数字通信设备中，从“0”、“1”码元的交变点提取位定时信息，若经常出现长的“0”、“1”游程，则将影响位同步的建立与保持。如果数字信号有周期性，则信号频谱中将存在离散谱线。电路中存在的不同程度的非线性，有可能使其在多路通信系统其他路中造成串扰。为了限制这种串扰，常要求数字信号的最小周期足够长。

　　如果我们能够先将信源产生的数字信号变换成具有近似于白噪声统计特性的数字序列，再进行传输；在接收端收到这个序列后先变换成原始数字信号，再送给用户。这样就可以给数字通信系统的设计和性能估计带来很大方便。 　　所谓加扰技术，就是不用增加多余度而扰乱信号，改变数字信号统计特性，使其近似于白噪声统计特性的一种技术。具体做法是使数字信号序列中不出现长游程，且使数字信号的最小周期足够长。这种技术的基础是建立在伪随机序列理论之上的。

图11-16自同步加扰器和解扰器原理框图

　　设加乱器的输入数字序列为{ak}，输出为{bk}； 解乱器的输入数字序列为{bk}，输出为{ck}。加扰码器的输出为 　 而解扰器的输出为 上两式表明，解扰后的序列与加扰前的序列相同。

　　这种解扰器是自同步的，因为如果信道干扰造成错码，则它的影响只持续错码位于移存器内的一段时间，即最多影响连续7个输出码元。 　　如果断开输入端，扰码器就变成一个线性反馈移存器序列产生器，其输出为一周期性序列，一般设计反馈抽头的位置，使其构成为m序列产生器。这样可以最有效地将输入序列扰乱，使输出数字码元之间的相关性最小。 　　加扰器的作用可以看做是使输出码元成为输入序列许多码元的模二加。因此可以把它当作是一种线性序列滤波器；同理，解扰器也可看做是一个线性序列滤波器。

11.8.6噪声产生器 　　测量通信系统的性能时，常常要使用噪声产生器，由它给出具有所要求的统计特性和频率特性的噪声，并且可以随意控制其强度，以便得到不同信噪比条件下的系统性能。 　　在实际测量中，往往需要用到带限高斯白噪声。使用噪声二极管这类噪声源构成的噪声发生器，由于受外部因素的影响，其统计特性是时变的。在一段较长的观察时间内，其统计特性可能是服从高斯分布的，但在较短的一段观察时间中，其统计特性一般是不知道的。因此，测量得到的误码率常常很难重复得到。

　　m序列的功率谱密度的包络是(sinx／x)2形的。设m序列的码元宽度为T1秒，则大约在0～(1／T1)×45％Hz的频率范围内，可以认为它具有均匀的功率谱密度。将m序列进行滤波，就可取得上述功率谱均匀的部分并将其作为输出,所以可以用m序列的这一部分频谱作为噪声产生器的噪声输出。虽然这种输出是伪噪声，但其对多次进行的某一测量都有较好的可重复性，且性能稳定，噪声强度可控。

11.8.7时延测量 　　时延测量可以用于时间测量和距离测量。在通信系统中有时需要测量信号经过某一传输路径所受到的时间迟延，例如,多径传播时不同路径的时延值以及某一延迟线的时间延迟。另外，无线电测距就是利用测量无线电信号到达某物体的传播时延值而折算出到达此物体的距离的，这种测距的原理实质上也是测量迟延。

　　由于m序列具有优良的周期性自相关特性，因此，利用它作测量信号可以提高可测量的最大时延值和测量精度。图11-17为这种测量方法示意图。发送端发送一周期性m序列码，经过传输路径到达接收端。接收端的本地m序列码发生器产生与发送端相同的周期性m序列码，并通过伪码同步电路使本地m序列码与接收到的m序列码同步。接收端本地m序列码与发送端的m序列码的时延差即为传输路径的时延。

图11-17时延测量示意图

　　一般情况下，这种方法只能在闭环的情况下进行测量，即收、发端在同一地方，其测量精度取决于伪码同步电路的精度及m序列码的码元宽度，m序列码的周期即为可测量的最大时延值。由于伪码同步电路具有相关积累作用，因此，即使接收到的m序列码信号的平均功率很小，只要m序列码的周期足够大，在伪码同步电路中仍可得到很高的信噪比，从而保证足够的测量精度。除m序列外，其他具有良好自相关特性的伪随机序列都可用于测量时延。