本著作除另有註明外，採取創用 CC 「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣 3.0 版授權釋出 魔方陣 Magic Square 本課程將透過最為人所熟悉的生活藝術與文化藝術，以藝術與數學相通的特質，啟發學生在生活中的數學感覺，使學生不再畏懼數學，樂於親近數學。 本著作除另有註明外，採取創用 CC 「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣 3.0 版授權釋出

杜勒 Albrecht Durer (1471 ~ 1528) Self-Portrait (1500) by Albrecht Dürer 確信「科學中最精確、最富邏輯和圖形結構」的數學、一定是藝術中最重要的成分。 據聞向帕西歐理學習透視法 專研幾何原本，「沒有幾何的知識，就不算是一一位真正的藝術家」

郵票—杜勒的簽名

杜勒 Albrecht Durer (1471 ~ 1528) 憂鬱 Melencolia I 1514 年 銅版畫，23. 9 x 18 杜勒 Albrecht Durer (1471 ~ 1528) 憂鬱 Melencolia I 1514 年 銅版畫，23.9 x 18.9 公分 國立美術館，卡爾斯魯厄﹝Karlsruhe﹞，德國

四階魔方陣 四階常數（34費氏數）

魔方陣是什麼 ? 把數字 1, 2, …, n2，填入 n  n 個小正方形組成的正方形方陣裡，使得縱、橫、對角線的和都相同。 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

3階魔方陣 6、7、8 ? 2、4 ? 3階魔方陣的常數是 15 9 9 5 1 1

3 階的魔方陣只有一種 ! 8 3 4 1 5 9 6 7 2 2 7 6 9 5 1 4 3 8 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 3 8 9 5 1 2 7 6 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 9 4 7 5 3 6 1 8 8 1 6 3 5 7 4 9 2 6 7 2 1 5 9 8 3 4

是否對於任意正整數 n，都存在一個 n 階的魔方陣？ 德國數學家 L. Bieberbach 證明： 「對於任意大於等於 3 的數 n，都存在一個 n 階的魔方陣。」 n 愈大，不同構的 n 階魔方陣就愈多。 n = 3：1 個 n = 4：880 個 n = 5：275305224 個

魔方陣又稱為縱橫圖 魔方陣最早發現於中國，人們把它叫做「縱橫圖」 。 有些東西方的國家都相信它具有不可思議的力量，因而把它稱為「魔方」或「幻方」。 最早的中國「縱橫圖」要算是早在四、五千年前出現的「河圖」和「洛書」。

河圖洛書 烏龜背書（洛書）＆ 龍馬負圖（河圖） Flickr weifly

洛書的傳說 4 9 2 3 5 7 8 1 6 傳說一於黃帝時代時，在洛水浮出一隻神龜，其背甲有九宮花紋上有數字，黃帝記之謂之洛書。 傳說二在夏禹治好滔滔洪水後，洛水裡出現一隻大烏龜，背馱著一幅跟「河圖」相似的圖，其中黑白色小圈共四十五個，也用直線串聯著，顯示出一至九的數字，稱為「洛書」。 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Philolo 口訣：「戴九履一、左三右七、二四為肩、六八為足、五居中央。」

河圖 伏羲時代在黃河出現身上有文彩圖案的龍馬，而有河圖傳世。

洛書 4 9 2 3 5 7 8 1 6

河圖 7 2 9 4 8 3 6 1 5 10 http://diary.blog.yam.com/z2210193/article/4344700

南宋數學家---楊輝 （約 1238 年－約 1298 年） 楊輝是第一個對縱橫圖（幻方）有深入探究的數學家。 在《續古摘奇演算法》中，楊輝列出了各式各樣的縱橫圖，是宋代研究幻方最重要的著述。 書中記載三階、四階以至九階等造陣方法，將方陣圖不斷推衍能得出多種不同排列圖樣。 楊輝在著作中收錄了不少現已失傳的、古代各類數學著作中很有價值的算題和演算法，保存了許多十分寶貴的宋代數學史料。他對任意高次冪的開方計算、二項展開式、高次方程的求解、高階等差級數、縱橫圖等問題，都有精到的研究。

楊輝（約 1238 年－約 1298 年） 楊輝，字謙光，錢塘（杭州）人，中國古代數學家和數學教育家。 《詳解九章算法》、《日用算法》、《乘除通變本末》、《田畝比類乘除捷法》、《續古摘奇算法》，其中後三種爲楊輝後期所着，一般稱之爲《楊輝算法》。 與秦九韶、李治、朱世傑並趁稱宋元數學四大家。 楊輝三角形，又稱賈憲三角形、帕斯卡三角形、海亞姆三角形，是二項式係數在的一種寫法，形似三角形，中國首現於南宋楊輝的《詳解九章算術》得名，書中楊輝說明是引自賈憲的《釋鎖算術》，故又名賈憲三角形。

三階魔方陣的秘訣 「九子斜排，上下對易，左右相更，四維挺出， 戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足。」 1 4 9 2 3 5 7 8 1 6 4 9 2 7 3 5 7 3 8 1 6 9

五階魔方陣 1 2 6 11 7 3 12 4 16 8 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 15 19 24 20 25

五階魔方陣 1 2 6 11 20 24 25 7 3 4 5 10 12 4 5 10 16 21 22 16 21 22 8 17 13 9 18 1 2 6 14 23 19 15 20 24 25

五階魔方陣的常數是 65 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15 n 階幻方的常數 :

奇數階魔方陣構造法 楊輝此一方法僅適用於奇數階方陣，偶數階造陣規則不適用。 目前還沒有什麼好方法可以構造所有偶數階的魔方陣。

偶數階魔方陣的構造法 4k（ 4, 8, 16, …）階魔方陣的構造法 k 2k 將一個 4k × 4k 的大方陣分成 9 個部分，如圖示： 自上而下、由左而右（或由下而上，自右而左）依序填入 1, 2, 3, …，但是黃色格子的地方跳過不填；接著倒過來由下而上，自右而左（自上而下、由左而右）依序填入 1, 2, 3, …，而且只填黃色的空格。

四階魔方陣的填法 16 2 3 13 11 10 8 5 9 7 6 12 4 14 15 1

兩個不同構的 4 階魔方陣 16 2 3 13 16 3 2 13 11 10 8 10 11 8 5 5 9 7 6 12 9 6 7 12 4 14 15 1 4 15 14 1

奇妙的四階魔方陣 每行、每列、對角線上 4 個數字和皆為 34。 四角落及中心的 4 個數的和亦皆是 34。 虛線所示的方陣上，相對的兩個邊上4個數的和亦為 34 任兩個對稱於中心點的位置上的數字其和都是 42 + 1=17。 12+14+3+5 = 15+9+8+2 = 34

本著作除另有註明外，採取創用 CC 「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣 3.0 版授權釋出 魔方陣 Magic Square 本課程將透過最為人所熟悉的生活藝術與文化藝術，以藝術與數學相通的特質，啟發學生在生活中的數學感覺，使學生不再畏懼數學，樂於親近數學。 本著作除另有註明外，採取創用 CC 「姓名標示－非商業性－相同方式分享」台灣 3.0 版授權釋出

魔方陣裡的圖像

太乙真人反卦罡圖 4 9 2 3 5 7 8 1 6 http://www.fushantang.com/1012/1012b/j2032.html 湖南省常寧市巫師訣罡密譜彙編 / 唐特凡編著 臺北市 : 施合鄭民俗文化基金會, 2009, 頁 119

1 14 15 4 12 7 6 9 8 11 10 5 13 2 3 16

16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 1 12 3 13 15 6 10 14 7 11 2 4 9 5 16 13 2 3 16 8 11 10 5 12 7 6 9 1 14 15 4 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1

Claude Fayette Bragdon(1866–1946) 美國建築師、設計家、作家、神祕主義者。 Flickr Boston Public Library, Designed by Fayette Bragdon

11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15

Benjamin Franklin's Magic Square 52 61 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17 52 61 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17 260

Benjamin Franklin's Magic Square 52 61 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17 52 61 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17

Benjamin Franklin's Magic Square 52 61 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17 52 61 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17 260

Benjamin Franklin's Magic Square 52 61 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17 52 61 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17 260

52 61 4 13 20 29 36 45 14 3 62 51 46 35 30 19 53 60 5 12 21 28 37 44 11 6 59 54 43 38 27 22 55 58 7 10 23 26 39 42 9 8 57 56 41 40 25 24 50 63 2 15 18 31 34 47 16 1 64 49 48 33 32 17 Green 130 Orange 260 Yellow 260

班傑明·富蘭克林 （Benjamin Franklin，1706－1790） 美國著名政治家、科學家、出版商、印刷商、記者、作家、慈善家、外交家及發明家。 http://www.bud.org.tw/museum/s_star08.htm

楊輝幻圓 攅九圖 四條直徑和皆 147 半徑 （不含9) 69

20 27 16 33 1 15 23 3 13 10 22 24 7 19 31 12 5 25 28 11 30 18 2 26 14 由於這兩個四階幻方縱數橫數之和都是69，只需從第一幻方和第二幻方中隨意各取一行，或隨意各取一列，構成同一條直徑上的兩對半徑，一共組成四條直徑，每直徑8個數，最後在圓心安方9，就不但可以排出楊輝幻圓；而且可以排除許許多多不同排列的幻園。 69 17 29 21 32 8 4 6

楊輝幻圓 攅九圖 27 8 6 15 3 17 32 26 29 24 2 18 9 4 30 14 21 5 25 28 11 7 22 10 具有16個同和線段（和數為69）的幻圓不止一個，可依靠四個圓圈的不同排列得到，共有4x3x2=24種。 19 13 23 31 1 16 12 33 20

楊輝八陣圖 三七 1~64 每圈260 三一 三八 三九 五九 十五 六三 六 五四 三四 四三

參考資料 http://calculus.nctu.edu.tw/upload/calculus_web/maple/Site/carnival/magic/index.htm

版權聲明 頁碼 作品 授權條件 作者/來源 2 Wikimedia Commons Albrecht Dürer, Source/Photographer Web Gallery of Art http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Durer_selfporitrait.jpg 2014/7/25 visited 3 Wikimedia Commons Albrecht Dürer, Source scanned by NobbiP http://commons.wikimedia.org/wiki/File:DBP_1971_677_Albrecht_D%C3%BCrer.jpg 4 Wikimedia Commons Albrecht Dürer, Source/Photographer BIBLIOTECA DIGITAL HISPANICA http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Melencolia_I_%28Durero%29.jpg 5 Wikimedia Commons Albrecht Dürer, User Kdkeller http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Albrecht_D%C3%BCrer_-_Melencolia_I_%28detail%29.jpg

版權聲明 頁碼 作品 授權條件 作者/來源 11 Flickr weifly https://www.flickr.com/photos/weifly/2351601655/sizes/m/in/photolist-4zNzf8-gvYknf/ 2014/7/25 visited 12 Philolo http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jiushutu.png 13 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B2%B3%E5%9C%96%E6%B4%9B%E6%9B%B8#mediaviewer/File:Shishutu.png 15 Gregory Maxwell http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Yin_yang.svg

版權聲明 頁碼 作品 授權條件 作者/來源 17 Wikimedia Commons Yang Hui, User Gisling http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jiaxian.jpg 2014/7/26 visited 29 九紫罡，湖南省常寧市巫師訣罡密譜彙編 / 唐特凡編著 臺北市 : 施合鄭民俗文化基金會, 2009, 頁 119 32 Zombie Aesthetics - Claude Bragdon, Author Unknown http://zombie-aesthetics.wikispaces.com/Claude+Bragdon Flickr Boston Public Library, Designed by Fayette Bragdon https://www.flickr.com/photos/boston_public_library/10559699146/

版權聲明 頁碼 作品 授權條件 作者/來源 39 Wikimedia Commons Joseph-Siffrein Duplessis http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Benjamin_Franklin_by_Joseph-Siffred_Duplessis.jpg 2014/7/26 visited 40、41 、42 Wikimedia Commons Gisling http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Magic_circle.jpg#filehistory 43 Wikipedia Gisling http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%A8%E8%BE%89%E7%AE%97%E6%B3%95#mediaviewer/File:YangHui_magic_circle_1.jpg