4-5 Undetermined Coefficients – Annihilator Approach For a linear DE: Annihilator Operator: 能夠「殲滅」 g(x) 的 operator 4-5-1 方法適用條件 (1) Linear， (2) Constant coefficients (3) g(x), g'(x), g'' (x), g'''(x), g(4)(x), g(5)(x), ………contain finite number of terms.

4-5-2 Find the Annihilator Example 1: (text page 151) annihilator: D4 annihilator: D + 3

annihilator: (D − 2)2 (D − 2)2 = D2 − 4D + 4 註：當 coefficient 為 constants 時，function of D 的計算方式和 function of x 的計算方式相同 (x − 2)2 = x2 − 4x + 4  (D − 2)2 = D2 − 4D + 4

General rule 1: If then the annihilator is 注意： annihilator 和 a0, a1, …… , an 無關 只和 , n 有關

General rule 2: If b1  0 or b2  0 then the annihilator is Example 2: (text page 151) annihilator Example 5: (text page 154) annihilator Example 6: (text page 155) annihilator

General rule 3: If g(x) = g1(x) + g2(x) + …… + gk(x) Lh[gh(x)] = 0 but Lh[gm(x)]  0 if m  h, then the annihilator of g(x) is the product of Lh (h = 1 ~ k) Proof: (因為 L1, L2 為 linear DE with constant coefficient, L1L2 = L2L1 )

Similarly, : Therefore,

Example 7 (text page 155) annihilator: D3 annihilator: D − 5 annihilator: (D − 2)3 annihilator of g(x): D3 (D − 2)3 (D − 5)

4-5-3 Using the Annihilator to Find the Particular Solution Step 2-1 Find the annihilator L1 of g(x) Step 2-2 如果原來的 linear & constant coefficient DE 是 那麼將 DE 變成如下的型態： (homogeneous linear & constant coefficient DE) 註： If then

Step 2-3 Use the method in Section 4-3 to find the solution of Step 2-4 Find the particular solution. The particular solution yp is a solution of but not a solution of (Proof): Since , if g(x)  0, should be nonzero. Moreover, . Step 2-5 Solve the unknowns

solutions of particular solution yp solutions of particular solution yp  solutions of  solutions of

4-5-4 Examples Example 3 (text page 153) Step 1: Complementary function (solution of the associated homogeneous function) Step 2-1: Annihilation: D3 Step 2-2: Step 2-3: auxiliary function roots: m1 = m2 = m3 = 0, m4 = −1, m5 = −2 Solution for :

Step 2-4: particular solution

Example 4 (text page 154) Step 1: Complementary function From auxiliary function, m2 − 3m = 0, roots: 0, 3 Step 2-1: Find the annihilator D − 3 annihilate but cannot annihilate (D2 + 1) annihilate but cannot annihilate (D − 3)(D2 + 1) is the annihilator of Step 2-2:

Step 2-3: auxiliary function: 易犯錯的地方 solution of : Step 2-4: particular solution 代回原式 並比較係數 Step 2-5: Step 3: general solution

4-5-5 本節要注意的地方 (1) 所以要先算 complementary function，再算 particular solution 4-5-5 本節要注意的地方 (1) 所以要先算 complementary function，再算 particular solution (2) 若有兩個以上的 annihilator，選其中較簡單的即可 (3) 計算 auxiliary function 時有時容易犯錯 (4) 的解和 的解不一樣。 (5) 這方法，只適用於 constant coefficient linear DE (因為，還需借助 auxiliary function)

The thing that can be done by the annihilator approach can always be done by the “guessing” method in Section 4-4, too.

4-6 Variation of Parameters 4-6-1 方法的限制 The method can solve the particular solution for any linear DE (1) May not have constant coefficients (2) g(x) may not be of the special forms

4-6-2 Case of the 2nd order linear DE associated homogeneous equation: Suppose that the solution of the associated homogeneous equation is Then the particular solution is assumed as:

代入原式後，總是可以簡化 代入 zero zero

簡化 進一步簡化： 假設 聯立方程式

where | |: determinant 可以和 1st order case (page 56) 相比較

4-6-3 Process for the 2nd Order Case Step 2-1 變成 standard form Step 2-2 Step 2-3 Step 2-4 Step 2-5

4-6-4 Examples Example 1 (text page 159) Step 1: solution of Step 2-2:

Step 2-4: Step 2-5: Step 3:

Example 2 (text page 159) Note: (a) 的算法 (b) Interval (0, /6) 改為(0, /3) Example 3 (text page 160) Note: 沒有 analytic 的解 所以直接表示成 (複習 page 43)

4-6-5 Case of the Higher Order Linear DE Solution of the associated homogeneous equation: The particular solution is assumed as:

Wk: replace the kth column of W by For example, when n = 3,

4-6-6 Process of the Higher Order Case Step 2-1 變成 standard form Step 2-2 Calculate W, W1, W2, …., Wn (see page 234) Step 2-3 ……… Step 2-4 ……. Step 2-5

4-6-7 本節需注意的地方 養成先解 associated homogeneous equation 的習慣 記熟幾個重要公式 4-6-7 本節需注意的地方 養成先解 associated homogeneous equation 的習慣 記熟幾個重要公式 這裡 | | 指的是 determinant (4) 算出 u1(x) 和 u2(x) 後別忘了作積分 (5) f(x) = g(x)/an(x) (和 1st order 的情形一樣，使用 standard form) (6) 計算 u1'(x) 和 u2'(x) 的積分時，+ c 可忽略 因為 我們的目的是算particular solution yp yp 是任何一個能滿足原式的解 (7) 這方法解的範圍，不包含 an(x) = 0 的地方 特別要小心

4-7 Cauchy-Euler Equation 4-7-1 解法限制條件 k not constant coefficients but the coefficients of y(k)(x) have the form of ak is some constant associated homogeneous equation particular solution

4-7-2 解法 Associated homogeneous equation of the Cauchy-Euler equation 4-7-2 解法 Associated homogeneous equation of the Cauchy-Euler equation Guess the solution as y(x) = xm , then

auxiliary function 比較: 和 constant coefficient 時有何不同？ 規則：把 變成

4-7-3 For the 2nd Order Case auxiliary function: roots [Case 1]: m1  m2 and m1, m2 are real two independent solution of the homogeneous part:

[Case 2]: m1 = m2 Use the method of reduction of order Note 1: 原式 Note 2: 此時

If y2(x) is a solution of a homogeneous DE then c y2(x) is also a solution of the homogeneous DE If we constrain that x > 0, then

[Case 3]: m1  m2 and m1, m2 are the form of two independent solution of the homogeneous part: 同理

Example 1 (text page 164) Example 2 (text page 164) Example 3 (text page 165)

4-7-4 For the Higher Order Case Process: auxiliary function Step 1-1 roots independent solutions Step 1-2 solution of the associated homogeneous equation Step 1-3

(1) 若 auxiliary function 在 m0 的地方只有一個根 是 associated homogeneous equation 的其中一個解 (2) 若 auxiliary function 在 m0 的地方有 k 個重根 皆為 associated homogeneous equation 的解

(3) 若 auxiliary function 在  + j 和  − j 的地方各有一個根 (未出現重根) 是 associated homogeneous equation 的其中二個解 (4) 若 auxiliary function 在  + j 和  − j 的地方皆有 k 個重根 是 associated homogeneous equation 的其中2k 個解

Example 4 (text page 166) auxiliary function

4-7-5 Nonhomogeneous Case To solve the nonhomogeneous Cauchy-Euler equation: Method 1: (See Example 5) (1) Find the complementary function (general solutions of the associated homogeneous equation) from the rules on pages 241-248. (2) Use the method in Sec.4-6 (Variation of Parameters) to find the particular solution. (3) Solution = complementary function + particular solution Method 2: See Example 6，重要 Set x = et, t = ln x

Example 5 (text page 166) Step 1 solution of the associated homogeneous equation auxiliary function Step 2-2 Particular solution Step 2-3

Step 2-4 Step 2-5 Step 3

Example 6 (text page 167) Set x = et, t = ln x (chain rule) Therefore, the original equation is changed into

(別忘了 t = ln x 要代回來) Note 1: 以此類推 Note 2: 簡化計算的小技巧：結合兩種解 nonhomogeneous Cauchy-Euler equation 的長處

4-7-6 本節要注意的地方 255 (1) 本節公式記憶的方法： 把 Section 4-3 的 ex 改成 x，x 改成 ln(x) 4-7-6 本節要注意的地方 (1) 本節公式記憶的方法： 把 Section 4-3 的 ex 改成 x，x 改成 ln(x) 把 auxiliary function 的 mn 改成 (2) 如何解 particular solution? Variation of Parameters 的方法 (3) 解的範圍將不包括 x = 0 的地方 (Why?)

還有很多 linear DE 沒有辦法解，怎麼辦 (1) numerical approach (Section 4-9-3) (2) using special function (Chap. 6) (3) Laplace transform and Fourier transform (Chaps. 7, 11, 14) (4) 查表 (table lookup)

(1) 即使用了 Section 4-7 的方法，大部分的 DE還是沒有辦法解 (2) 所幸，自然界真的有不少的例子是 linear DE 甚至是 constant coefficient linear DE

Exercise for practice Section 4-4 5, 6, 14, 17, 18, 24, 26, 33, 39, 42 Section 4-5 2, 7, 13, 18, 31, 45, 69, 70 Section 4-6 4, 5, 8, 13, 14, 18, 21, 24, 25, 28 Section 4-7 11, 17, 18, 20, 21, 32, 34, 36, 37 Review 4 2, 13, 14, 17, 19, 20, 23, 24, 27, 32 得出 implicit solution 即可 Homework 2 (Due: 28th Oct.) (1) Sec. 2-4 8 (2) Sec.2-5 9 (3) Sec.2-5 15 (4) Review 2 18 (5) Sec. 4-2 5 (6) Sec. 4-2 12 (7) Sec. 4-3 25 (8) Sec. 4-4 22 (9) Sec. 4-5 39 (10) Sec. 4-6 11

Chapter 5 Modeling with Higher Order Differential Equations 自然界，有不少的系統可以用 linear DE 來表示 其中有不少的系統可以進一步簡化成 linear DE with constant coefficients

5-1 Linear Models: Initial Value Problem 260 5-1 Linear Models: Initial Value Problem 位置：x, 速度： 加速度 v: 速度， v: 磨擦力

5-1-1 ~ 5-1-3 Spring / Mass Systems 彈力 F Figure 5.1.1 Spring/mass system

Solution: Figure 5.1.4

彈力 F 摩擦力 Figure 5.1.5

解有成三種情形

需要注意的概念 (1) 名詞一 被稱作 input 或 deriving function 或 forcing function 被稱作 output 或 response

(2) 名詞二 對一個 2nd order linear DE with constant coefficients auxiliary function 當 時，稱作 overdamped 當 時，稱作 critical damped 當 時，稱作 underdamped 當 , a1 = 0 時，稱作 undamped

(3) 當中 a1 的值將影藉衰減速度 當 a2 , a1 , a0 的值皆為正， a1/ a2 的值越大，衰減的進度越快 When When

5-1-4 RLC circuit inductance 的電壓 capacitor 的電壓 resistor 的電壓 using 一定可以解

auxiliary function roots: Case 1: R2  4L/C > 0 (m1  m2, m1, m2 are real) (overdamped) 註：由於 R, L, C 的值都是正的, 必定可以滿足 所以 m1, m2 都是負的 when t  

Particular solution (1) E(t) 有的時候可用”guess” 的方法來解 (2) E(t) 用 variation of parameters 的方法一定解得出來(但較耗時)

Specially, when E(t) = E0 where E0 is some constant (m1m2 = 1/LC)

Case 2: R2  4L/C = 0 (m1 = m2 = R/2L) (critically damped) when t   Particular solution When E(t) = E0 ,

(underdamped) Case 3: R2  4L/C < 0 when t   Particular solution General solution

When E(t) = E0 where E0 is some constant When R = 0 , then  = 0 When R = 0 , E(t) = E0

以 DE 的觀點來解釋 RLC 電路的問題 (1) R2 < 4L/C 產生弦波 (2) R 越小，弦波衰減得越慢

例子 E(t) = 1, L = 0.25, C = 0.01

R = 100 R = 25 R = 10

R = 5 R = 1.5 R = 0.2

5-1-5 Express the Solutions by Other Forms (1) Express the Solution by the Form of Amplitude and Phase 當　　　　　　　時，solution 為 　　　　　　　　　　　 Solution 可改寫成

damped amplitude damped frequency phase angle

281 (2) Express the Solution by Hyperbolic Functions 當 a1 = 0 且 a2 > 0, a0 < 0 (或 a0 > 0, a2 < 0)

5-1-6 本節要注意的地方 (1) 將力學現象寫成 DE 時，要注意正負號 (根據力的方向) (2) 注意 page 266 的四個專有名詞 (3) 注意 linear DE with constant coefficients 的解，有其他的寫法 (see pages 279 and 281)

5-2 Linear Models: Boundary-Value Problem Section 5-2 的問題，和 Section 5-1 類似 (都是 Linear DE) 只是將 initial value problems 變成 boundary value problems 複習： 將 IVP 改成 boundary value problems， 對 solution 有什麼影響？

Section 5-1 的例子 (1) 牛頓運動定律 (2) 彈簧運動　 (subsection 5-1-1~5-1-3) (3) RLC Circuit (subsection 5-1-4) Section 5-2 的例子 (1) 樑彎曲 (a) 橫放 (subsection 5-2-1) (b) 上方施力 (subsection 5-2-2) (2) 跳繩 (subsection 5-2-3)

5-2-1 Deflection of a Beam 兩端固定 兩端固定 受懸掉物本身重量的影響而向下彎曲 Figure 5.2.1

y-axis embedded 嵌入 x-axis embedded embedded 非固定 free 懸掛 hinged hinged Figure 5.2.2

M(x): bending moment at the point x w(x): load per unit length EI: flexural rigidity (some constant)

Boundary values for the 3 cases (plotted on page 286) (a) embedded at x0: y(x0) = 0, y'(x0) = 0 (b) free at x0: y''(x0) = 0, y'''(x0) = 0 (c) simply supported or hinged: y(x0) = 0, y''(x0) = 0 Case of the 2nd example on page 286 y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(L) = 0, y'''(L) = 0

5-2-2 Bucking of a Thin Vertical Column P: 在上方施力 Figure 5.2.4

5-2-3 Rotating String 繞著軸旋轉 y-axis x-axis 假設 T1 = T2 = T

F (朝著旋轉點方向拉力) = m a 朝著旋轉點方向拉力= Tsin1  Tsin2  T1  T2  Ttan1  Ttan2 = T y'(x)  T y'(x + x) tan1 = y'(x) tan2 = y'(x+x) m =  x, a = y 2 : 密度，: 角速度 假設 T1 = T2 = T y(x+x) y(x)

T y'(x)  T y'(x + x) =  xy 2 boundary condition: y(0) = 0, y(L) = 0

4-8 Solving Systems of Linear Equations by Elimination 4-8-1 方法適用的情形和限制 處理有 2 個以上 dependent variables 的問題 例如：Section 3-3 電路學上 “並聯” 的例子 限制：必需是 linear and constant coefficients

4-8-2 方法 (Step 1) 先將 寫成 D n (Step 2) 再用聯立方程(或線性代數)的方式 將各個 dependent variable 所對應的 DE 寫出 (Step 3) 再運用 Sections 4-3, 4-4 的方法， 得出各 dependent variables 的解 (Step 4) 代回原式，求出 unknowns 之間的關係 (別忘了這一步，可以參考講義 page 298)

4-8-3 範例 Figure 3.3.4 的例子 (See Pages 94, 95) 4-8-3 範例 Figure 3.3.4 的例子 (See Pages 94, 95) 令 L1 = L2 = 1, R1 = 6, R2 = 4, E(t) = 10 求解

Step 1 …….. (式 1) …….. (式 2) Step 2-1 (D + 4)  (式 1) − 4  (式 2) Note: Step 3-1 auxiliary function: roots

Step 2-2 4  (式 1) − (D+10)  (式 2) Step 3-2 auxiliary function: roots complementary function for i3,c(t) = Particular solution: i3, p(t) = A

Step 4 代回(式 1) 將 此即 i2(t) 和 i3(t) 的解

問題：需要代回另一式嗎？ 將 代回(式 2) 無論 c1 和c2 的值為多少，等號皆成立

  較快速的解法 Step 2-2 將 i2(t) 解出來以後 直接將 i2(t) 代回 (式1) 但這種簡化的解法不是任何情形都適用 (式子當中沒有對第二個 dependent variable i3(t) 作微分時才適用)

Example on text page 169 Example 1 (text page 170) Example 3 (text page 172)

Example 2 (text page 171) Step 1 (式1) (式2) Step 2-1 (式2) D − (式1) Step 3-1 complementary function: particular solution:

Step 2-2 (式1) (D+1) − (式2)  (D−4) complementary function: particular solution 注意，不可設為

Step 4 (代入式2) (因為式2比式1容易) 解

4-8-4 多個 Dependent Variables Exercise 19 (式1） (式2 ） (式3 ） Steps 2, 3：分別簡化成只包含 x, y, z 的 DE (式4 ） (式2)  D + (式3) (式4)  6 + (式1)  (1−D2) m = 1, −2, 3

(式4)  D − (式1)  (1+D) (式3)  6 + (式1) (式5 ） (式1)  D − (式2)  6 (式6 ） (式5)  (D2 −6) + (式6)  (D+6) Step 4：把 c4, c5, c6, c7, c8, c9 用 c1, c2, c3 表示 將 代回 (式1)

將 代回 (式2) 思考：y 和 z 有無快速解法？

Higher order 規則 (1) 假設有 N 個 dependent variables, 　 　則至少需要有 N 個 DE 才可以得出 solutions (2) 若每一個 DE 的 orders 分別為 k1, k2, k3, ….…., kN 最後將「可能」得出 order 為 k1 + k2 + k3 + ….…. + kN 的 DE (3) 要代回其中 N −1 個式，來求 unknowns 之間的關係

4-8-5 本節需注意的地方 (1) Section 4.8 的方法只適用於 constant coefficients 的情形 4-8-5 本節需注意的地方 (1) Section 4.8 的方法只適用於 constant coefficients 的情形 (2) 每一個 dependent variable 的解， homogeneous 的部分通常會有相同的型態 (3) 概念不難，但計算繁雜 (自我訓練解題速度和解題正確度是必要的) (4) 驗算 (5) 別忘了 Step 4 計算 unknowns 之間的關係 (6) 何時可以用較快速的解法？

勘誤： 課本 page 169 的中間 應改為

4-9 Nonlinear Differential Equations Method 1: Reduction of Order Method 2: Taylor Series Method 3: Numerical Approach

4-9-1 Method 1: Reduction of Order 精神：變成 1st order DE 再用 1st order DE 的方法求解 (這方法的名字和 Section 4-2 一樣，但是不限於 linear， 而且不必知道其中一個解) 限制：The DE should have the form of Case 1, page 313 Case 2, page 315 or (Without the term y) (Without the term x)

Case 1: The 2nd order DE has the form of (Without the term y) 解法： (Step 1) Set 此時DE 變成 (對 u 而言，是 1st order DE) (Step 2) 將 u 解出來 (用 Section 2 的方法) (Step 3) 對 u 作積分，即解出 y

Example 1 (text page 174) (Step 1) 問題： u 要用什麼方法解？ (Step 2) (Step 3)

Case 2: The 2nd order DE has the form of (Without the term x) 解法：(Step 1) Set (Chain rule) 此時DE 變成 (對 u 而言，是1st order DE, independent variable 為 y)

(Step 2) 將 u 解出來 (用 Section 2 的方法) 得出的解, u 是 y 的函數 (Step 3) 用 separable variable 的方法即可將解得出

Example 2 (text page 175) (Step 1) Set (Step 2) (Step 3)

4-9-2 Method 2: Taylor Series 更一般化的型態 Step 1 算出 Step 2 代回 Taylor series

Example 3 (text page 176) : 代回 Taylor series

限制：(1) y(x) 在 x0 的地方必需為 analytic, (x = x0 不為 singular point) (2) 在解 nth order DE 時，y(x0)， y'(x0)， y''(x0)， ….. y(n1)(x0) 的值必需皆為已知 (3) 得出的解只有在 x0 附近較為正確 問題：(1) Taylor series 應該取多少項？ (2) |x x0| 的範圍？

Figure 4.9.1

4-9-3 Method 3: Numerical Method subject to 解法 使用Section 2-6 的 Euler’s Method

Recursive 的解法 Initial: n = 0 n = n + 1

更一般化的情形 …………… 改變為 subject to

Recursive 的解法 n = n + 1

解法的限制： (1) 當 為無窮大 (例如 singular point) 或者 雖然不是無窮大，但是值相當大 用以上的方法會產生問題 (2) 必需有 k 個在同一點的initial conditions

4-9-4 本節需注意的地方 (1) Section 4.9 的方法並非任何情形都可以解 每一種方法都有一些限制 4-9-4 本節需注意的地方 (1) Section 4.9 的方法並非任何情形都可以解 每一種方法都有一些限制 (2) Section 4.1 的定理不適用於本節 (例如 exercises 4.9 的第 1, 2 題) (3) Method 1 比較有挑戰性，要多加變通 (4) Method 1 別忘了將 u 用 dy/dx 代回

5-3 Nonlinear Models 非線性彈簧的例子 (text pages 207, 208)

5-3-1 火箭的例子 F = ma F 會隨著 y 而改變 (萬有引力定律) 萬有引力 M: 地球的質量 m: 火箭的質量  修正： 5-3-1 火箭的例子 F = ma F 會隨著 y 而改變 (萬有引力定律) 萬有引力 M: 地球的質量 m: 火箭的質量  修正： 推進力 Figure 5.3.5

5-3-2 拿鏈子的例子 m: 質量, v: 速度, mv: 動量 m 會隨著 x 而改變 (拿鏈子的例子), m = kx(t) 5-3-2 拿鏈子的例子 m: 質量, v: 速度, mv: 動量 m 會隨著 x 而改變 (拿鏈子的例子), m = kx(t) Figure 5.3.6

F0: 施力, k: 每單位長的質量, x(t) 高度 (如前頁)

Example 4 (text page 212)

(1) Cauchy-Euler equation 缺乏應用 (2) 許多情形還是只能用 Numerical Method 來解

5-3-3 本節需注意的地方 (1) 大部分的情形，用到的 DE 都還算很簡單 但是練習將將物理問題變成 DE 的問題。 (2) 正負號 (和方向有關）易出錯 (3) tan = 斜率 (4) 儘可能用比較簡單的方法來計算一個問題

Reviews for Higher Order DE: (A) Linear DE Complementary Function 3 大解法 (1) Reduction of Order (Section 4-2) 適用情形： (2) Auxiliary Function (Section 4-3) 適用情形： 4 Cases (See pages 179, 180)

(3) Cauchy-Euler Equation (Section 4-7) 適用情形：

(B) Linear DE Particular solution 3 大解法 (1) Guess (Section 4-4) (熟悉講義 page 191 的表) 要訣： yp should be a linear combination of g(x), g'(x), g'' (x), g'''(x), g(4)(x), g(5)(x), ……………. 適用情形： 遇到重覆，乘 x 或 lnx (2) Annihilator (Section 4-5) 若原本的 DE 為 L[y(x)] = g(x) Annihilator: L1[ g(x)] = 0 Particular solution 為 L1{L[y(x)]} = 0 的解 (扣去和 L[y(x)] = 0 的解重複的部分) 適用情形： Annihilator 算法三大規則： Pages 210-212

(3) Variation of parameters (Section 4-6) Wk : replace the kth column of W by 適用情形：

(4) For Cauchy-Euler Equation (Section 4-7) 可採用二種方法 (1) 先用 解 complementary function 再用 Variation of parameters 解 particular solution (2) Use the method on pages 253, 254 Set x = et, t = ln x

(C) Combination of Linear DEs (Section 4-8) 方法： Step 1: 將 變成 Dn Steps 2, 3: 用代數消去法，變成只含有一個 dependent variable 的 DE，再將這個 dependent variable 解出來 Step 4: 代回原式，求各 dependent variable 的常數 ck 之間的 關係 適用情形：

(D) Nonlinear DE 的3大解法 (Section 4-9) (1) Reduction of Order (1-1) Set (1-2)

(2) Taylor Series 適用情形： (3) Numerical Method

Exercises for practicing Section 4-8 5, 10, 14, 17, 18, 20, 22, 23 Section 4-9 1, 5, 6, 8, 11, 12, 15, 18, 19 Review 4 33, 34, 38, 40 Section 5-1 11, 25, 40, 45 Section 5-2 5, 22 Section 5-3 14, 16 Review 5 21, 22