幂零变换的注记 莆田学院
复数域上n维空间：一个线性变换可以看成是一个可逆变换与一个幂零变换的和。 Jordan-chevalley (约旦-谢瓦莱定理） 比如林老师：《高等代数》 229页 在《高等代数》与《线性代数》的很多教材中都有看到关于幂零变换的相关试题。 比如林老师：《高等代数》 132页习题6
设f是n维线性空间V上的线性变换，若存在正整数k,满足fk=0,fk-1≠0, f称为k-幂零变换。 在《高等代数》如132页习题6 设f是m维线性空间V上的线性变换，满足fm=0,fm-1≠0,则存在V的一个基，使得f在这个基下的矩阵是 J(0,m)的秩=m-1
n维空间上k-幂零变换：若存在正整数k,满足fk=0,fk-1≠0,则存在V的一个基，使得f在这个基下的矩阵是 其中 ；且 A称为Jordan规范型矩阵
幂零变换在相似等价的情形下，我们来查看幂零变换类别
由 …… 拼成的首个为 且可重复排列的Jordan规范型矩阵 ，
表示 的个数， ……… 的个数， 表示 表示0的个数
k-幂零变换在相似等价的情形下： xk , xk-1 , …… , x1不同，看成不同的k-幂零变换
n维线性空间V上，不同的k-幂零变换所对应的象的维数，即k-幂零变换下矩阵A的秩 当 ， 时，秩r最小，即
，其中 秩的取值范围为： 或
当 时，秩 可取到最大
若 ， 时，秩 可取到最大 最大秩 且秩最大的 规范型只有一个
当 ， 时，秩最大的 规范型并不唯一. 当 ，3-幂零变换时， ，此时： 秩为4。但是， ，秩也为4。
2-幂零变换： 对任意的秩，2-幂零变换的Jordan规范型矩阵都是唯一的。
3-幂零变换
3-幂零变换：若存在正整数3,满足f3=0,f2≠0,则存在V的一个基，使得f在这个基下的矩阵是 其中 ， ，
由 、 拼成的首个为 且可重复排列的Jordan规范型矩阵 ，
表示 的个数， 表示 的个数， 表示0的个数
当 时， 秩的范围： 。
在象的维数给定的情况下，幂零变换在相似等价的前提下，有多少种可能呢？
3-幂零变换：A为一个基下的Jordan规范型。 令C为A的秩， 当 时， 秩为C的所有n阶3-幂零变换的Jordan规范型的个数为
当 时， 或 或
当 时， 当 时， 而且不同的秩的Jordan规范型的个数为1。
当 时， 当 时， 的Jordan规范型的个数为1。 时， 当 的Jordan规范型的个数为2。
在相似等价的情形下，关于2-幂零变换与3-幂零变换我们有一定的了解， 那么不考虑相似等价，幂零变换？
平面二维空间 1、f是2维平面到2维平面的线性变换，即为可逆变换 2、g是2维平面到平面上直线的线性变换，
2-幂零变换：在x轴单位向量和y轴单位向量这个基下的矩阵
超过2维的空间在不考虑相似等价的情形下，幂零变换？
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