第四章 樣本大小

樣本大小之選擇 樣本不要過大, 過大浪費成本；但也不要過小, 過小 則會有太大的抽樣誤差。如何決定適當的樣本大小？ 在機率抽樣的情況下, 有關樣本大小的決定及樣本統 計顯著性的判斷, 可藉由機率法則的運用。（也就是 說, 有公式可供計算啦！） 但在非機率抽樣的情況下, 除了依靠抽樣人員的主觀 判斷或假設外, 實無客觀之科學方法可資應用。

估計平均數時的樣本大小 母體變異數已知 於母體變異數（σ2）已知之情況下, 樣本數（n）之 求算公式為： α為顯著水準或風險水準, （1-α）即信賴係數或信賴水準；顯著水準表示檢定者主觀認定統計量出現「極端數值」的機率。信賴係數愈高愈好，表示估計精準。 e為可容忍誤差 σ為母體標準差：是用來衡量觀測值與平均值間的離散程度。 先別忙著計算樣本數, 由於本書是介紹Excel之書籍, 故得對所使用到的各相關函數先介紹一下。

基本定義 標準差 變異數 標準隨機變數 平均值 m

常態分配之Z值 一般統計學之常態數值（Z）, 係利用查常態分配表 （附錄二）來得知。如：Z0.025為1.96、Z0.05為1.645。 但於Excel下, 則可利用NORMSINV()標準常態分配 反函數來查得；而若知道Z值, 也可以NORMSDIST() 函數來求得其機率。

標準常態分配NORMSDIST() NORMSDIST(z)：由z值求機率

有了此函數, 即可省去查常態分配表某z值之機率的麻煩。 如：（詳範例光碟Ch04.xlsx『NORMSDIST』工作表）

常態分配（normal distribution）是次數分配呈中間集中, 而逐漸向左右兩端勻稱分散的鐘形曲線分佈。根據中央極 限定理, 不論原母體的分配為何？只要樣本數夠大 （n>=30）, 樣本平均數 的分配, 會趨近於常態分配。

標準常態分配反函數NORMSINV() NORMSINV(累計機率) ：由機率求z值 NORMSINV(probability) 其作用為於標準常態分配（μ = 0, σ = 1）, 求某累計 機率所對應之Z值。有了此函數, 即可省去查常態分 配表之Z值的麻煩。如：（詳範例光碟Ch04.xlsx 『NORMSINV』工作表） =NORMSINV(0.025) 為-1.96 =NORMSINV(0.05) 為-1.645 =NORMSINV(0.5) 為0 =NORMSINV(0.95) 為1.645 =NORMSINV(0.975) 為1.96

標準常態分配表 一般統計學之教科書, 均會附有標準常態分配表（如： 附錄二）, 以利查常態數值（Z）。由於, 常態分配是 對稱的分配, 故一般僅附上正值之部分, 表內之累計 機率, 是由Z值為0時開始累計。如：Z值1.96, 查得 1.96之0.475, 表示由標準常態分配中央（Z=0）開始, 累計到Z=1.96的機率。即, 下圖之陰影部份：

如要查負值之部份, 仍以正值查表。然後, 以0. 5減去 表內之累計機率即可。如：Z值-1. 96, 查得1. 96之 0. 475, 以0 如要查負值之部份, 仍以正值查表。然後, 以0.5減去 表內之累計機率即可。如：Z值-1.96, 查得1.96之 0.475, 以0.5-0.475=0.025, 即是自左尾開始累計到Z 值為-1.96的機率。 相反地, 若要計算由Z值為-1.96開始累計到右尾的機 率, 則將查得之值（0.475）加上0.5, 即0.975。通常, α=0.05時, 如要查Zα/2值, 是找尋右尾機率為0.025時 之Z值, 即找出由左尾累積得0.975之Z值1.96。若用 Excel之NORMSINV()函數來求算, 其公式應為： （詳範例光碟Ch04.xlsx『依α査Z值』工作表） =NORMSINV(1-0.05/2)

於Excel下, 利用NORMSDIST()函數即可輕易建立標準常 態分配表。其建立步驟為：（詳範例光碟Ch04 於Excel下, 利用NORMSDIST()函數即可輕易建立標準常 態分配表。其建立步驟為：（詳範例光碟Ch04.xlsx『常 態分配表』工作表） 於A2輸入Z字串, A3輸入0.0（僅顯示0）, A4輸入0.1 選取A3:A4, 切換到『常用』索引標籤，按『數值』群組之 『增加小數位』鈕, 使兩數均可擁有一位小數 拖曳A3:A4右下角之複製控點, 拉到A33位置, 複製出0.0、 0.1、0.2、…、2.9、3.0等數值

於B1輸入『Z值的小數第二位』字串 於B2輸入0.00（僅顯示0）, C2輸入0.01 選取B2:C2, 按『數值』群組之 『增加小數位』鈕, 使 兩數均可擁有2位小數 拖曳B2:C2右下角之複製控點, 拉到K2位置, 複製出0.00、 0.01、0.02、…、0.08、0.09等數值

於B2:K2尚呈選取之狀態, 切換到『常用』索引標籤，按 『儲存格』群組 『格式』鈕之下拉鈕，續選「自 動調整欄寬(I)」, 將各欄調整成最適欄寬 選取B1:K1, 按『對齊方式』群組 『跨欄置中』鈕, 讓 『Z值的小數第二位』字串, 於這幾欄內跨欄置中

於B3輸入=NORMSDIST($A3+B$2)-0.5 拖曳其右下角之複製控點, 往右複製到K3

於B3:K3尚呈選取之狀態, 按兩次按『數值』群組之『增 加小數位』鈕, 使各數均可有4位小數 於B3:K3尚呈選取之狀態, 按『儲存格』群組『格式』鈕 之下拉鈕, 續選「自動調整欄寬(I)」, 調整成最適欄寬 雙按K3右下角之複製控點, 將B3:K3往下複製到K33, 即 完成整個建表工作

母體變異數已知時的樣本大小 學過所需之幾個函數後, 現在, 可以 來計算於母體變異數（σ2）已知之情況下的樣本數 （n）。式中： α為顯著水準或風險水準, （1-α）即信賴係數或信賴水準 e為可容忍誤差 σ為母體標準差

假定, 母體變異數σ2=6. 25（σ=2. 5）, 於風險顯著水準 α=0. 05（Zα/2=1 假定, 母體變異數σ2=6.25（σ=2.5）, 於風險顯著水準 α=0.05（Zα/2=1.96）的情況下, 希望對母體均數μ的估計誤 差e不超過0.3, 其樣本數應為多大？ 將σ=2.5與Zα/2=1.96代入公式 至少應取得267個樣本, 才能有95%的保證其誤差不超過 0.3。 以Excel來安排相關之數字與公式, 將為：（詳範例光碟 Ch04.xlsx『估計均數樣本數σ已知』工作表） B欄各儲存格之公式分別為： 母體標準差σ =SQRT(B1) Zα/2 =NORMSINV(1-B3/2) 樣本數n =((B4*B2)/B5)^2

假定, 電力公司根據過去之調查經驗, 知道用戶用電度數的 母體變異數為48000（σ2=48000）、於顯著水準α=0.05 （Zα/2=1.96）的情況下, 希望對母體平均用電度數μ的估計 誤差不超過5度, 其樣本數應為多大？ 將相關之數字輸入Excel即可算出, 至少應取得7376個樣本, 才能有95%的保證其估計誤差不超過5度：（詳範例光碟 Ch04.xlsx『估計均數樣本數σ已知1』工作表）

馬上練習 以範例光碟Ch04.xlsx『大學生零用金樣本數』工作 表進行計算。假定, 大學生之平均每月零用錢為1200 元, 其變異數為368,560。至少應取得多少樣本？才 能有95%的信賴水準, 保證其估計誤差不超過100元。

習題三 假定大學畢業生之平均每月收入為26500元, 其變異 數為4202500。至少應取得多少樣本？才能有 9X%(X為學號最後一位數字)的信賴水準, 保證其估 計誤差不超過1000元

平方根SQRT()函數 SQRT(數值) SQRT(number) 本函數是用來求某數值的平方根, 若數值為負值, 本 函數將回應#NUM!之錯誤。如：（詳範例光碟 Ch04.xlsx『平方根』工作表）

事實上, 有無此函數並不很重要。利用 ^ 運算符號也可達 成開方之動作。如：=64^(1/2)之結果即=SQRT(64)；但 若要求開三方, 那SQRT()可就無能為力了。但仍可利用 ^ 運算符號來解決（乘冪為1/3即等於開三方）：

母體變異數未知的樣本大小 事實上, 實務上很多數情況是無法得知母體變異數 （σ2）。若是母體變異數未知, 則可以過去調查之樣 本變異數（S2）來替代。若過去也無類似之調查, 可 先做一小規模試訪, 以利計算樣本變異數。然後, 再 來計算樣本數： 式中： α為顯著水準或風險水準, （1-α）即信賴係數或信賴水準 e為可容忍誤差 S為樣本標準差

於Excel中, 樣本變異數可以VAR()函數來求得, 其語法為： VAR(number1,[number2],...) 數值1,[數值2],...為要計算變異數之儲存格或範圍引數, 它 是對應於某母體抽樣選出的1到255個數字引數樣本, 方括 號包圍之部份可省略。 樣本變異數（S2）的計算公式為： 其值恰為樣本標準差（S）之平方, 也是用來衡量觀測值與 平均值間的離散程度。

由於, 母體變異數未知。故舉行一次試訪, 以範例光碟Ch04 由於, 母體變異數未知。故舉行一次試訪, 以範例光碟Ch04.xlsx 『估計均數樣本數σ未知』工作表, 取得120位大學生之手機平均 月費。計算出其樣本變異數（S2）為109,593、於顯著水準 α=0.05（Zα/2=1.96）的情況下, 希望對母體手機平均月費μ的估 計誤差不超過30元, 其樣本數應為多大？ 將相關之數字輸入Excel, 即可算出, 至少應取得468個樣本, 才 能有95%的保證其估計誤差不超過30元：

馬上練習 由於, 母體變異數未知。故舉行了一次試訪, 取得40位大 學生之信用卡每月平均簽帳金額。（詳範例Ch04.xlsx 『信用卡問卷樣本數』工作表）於風險顯著水準α=0.05 （Zα/2=1.96）的情況下, 希望對母體信用卡每月平均簽帳 金額μ的估計誤差不超過50元, 其樣本數應為多大？

估計比率時的樣本大小 若研究目的是在估計比率（p, proportion）, 其樣本 數（n）之求算公式為： p為母體的真正比率 α為風險顯著水準, （1-α）即信賴係數 e為可容忍誤差 σp為母體標準差, 其運算公式為：

將其代入上式, 即可獲致新的樣本數（n）公式： 不過, 通常我們是無法得知母體之真正比率p, 要計算樣本 數時, 則以過去之調查結果替代。假定, 上個月支持執政黨 之比率為38%(p)。這個月, 於95%的信賴水準下 （α=0.05）, 希望調查結果之支持率的允許誤差（e）為 3%, 應取樣多少？ 將相關值代入公式： 至少應取得1006個樣本, 才有95%的信心, 保證其調查結果 的支持率之誤差不超過±3%。

以Excel來安排相關之數字與公式, 將為：（詳範例光碟 Ch04.xlsx『以母體比率求樣本數』工作表）

保守估計母體比率 於將前面之抽樣中, 若將不同之p值分別代入, 其樣本 數勢必不同。茲將各種結果彙集成下表來比較：（詳 範例光碟Ch04.xlsx『以母體比率求樣本數』工作表）

可發現, 其樣本數的極大值1067係發生於母體比率為0. 5時。 母體比率<0 可發現, 其樣本數的極大值1067係發生於母體比率為0.5時。 母體比率<0.5時, 隨母體比率逐漸增加, 樣本數也逐步增加。 母體比率>0.5時, 隨母體比率逐漸增加, 樣本數則逐步減少。 故而, 若我們無法得知母體真正比率p, 要計算樣本數時, 可 以採取最保守的估計, 將母體比率設定為0.5。這樣, 由於其 樣本數最大, 所獲得之結果也將是各種情況下最正確的。

馬上練習 以範例Ch04.xlsx『以保守估計求樣本數』工作表進 行計算, 保守估計執政黨的支持度為50%。要以90% 之信賴水準（風險顯著水準α=0.1）, 希望調查結果 之支持率的誤差為±3%, 應取樣多少？

重點整理 NORMSDIST(z)：由z值求機率 NORMSINV(累計機率) ：由機率求z值 母體變異數已知時樣本的大小 母體變異數未知時樣本的大小 估計比率時樣本的大小

第四章 結束 謝謝！