1.3.2 余弦函数的图象与性质

1. 余弦函数的图象 利用五点描图法画出y=sinx的图象, 把函数y=sinx的图象，向左平移 单位即得到y=cosx的图象 。 图象向两边延伸，得

余弦函数的图象叫做余弦曲线。 通过观察图象，我们不难发现，起着关键作用的点是五个点：(0，1)，( ，0)、(π，－1)，( ，0)，(2π，1).

2. 余弦函数的性质： (1) 定义域： y=cosx的定义域为R (2) 值域： ① 由单位圆中的三角函数线，得结论： |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论： 所以y=cosx的值域为[－1，1]；

②对于y=cosx 当且仅当x=2k kZ时 ymax=1， 当且仅当x=2k+ kZ时 ymin=－1， ③观察R上的y=cosx的图象可知 当2k－ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx>0 当2k+ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx<0

(3).周期性：（观察图象） ①余弦函数的图象是有规律不断重复出现的； ②规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现） ③这个规律由诱导公式 cos(2k+x)=cosx也可以说明余弦函数的最小正周期是T=2π.

(4). 奇偶性 由诱导公式:cos(－x)=cosx 得余弦函数是偶函数。 (5).单调性 余弦函数在每一个闭区间[2kπ, 2kπ+π], k∈Z上是减函数； 在每一个闭区间[2kπ+π, 2kπ+2π],k∈Z上是增函数。

例1、求下列函数的最值: （1）y=－3cosx+1； （2） （3） 解：(1) ∵ －1≤cosx≤1， ∴ －2≤－3cosx+1≤4. 即ymax=4，ymin= －2.

(2) 解：(2) ∵ －1≤cosx≤1， ∴ 当cosx= 时，ymin=－3， 当cosx=－1时，ymax=

（3） 解：因为cosx∈[－1, 1]，所以cos2x∈[0，1]. 当cosx=0时，ymax=1; 当cosx=1或cosx=－1时，ymin=

例2、判断下列函数的奇偶性： （1）y=cosx+2； （2）y=cosxsinx. 解：（1）f(－x)=cos(－x)+2 =cosx+2=f(x), ∴ 函数y=cosx+2是偶函数. (2) f(－x)=cos(－x)sin(－x) =－cosxsinx=－f(x). ∴ 函数y=cosxsinx是奇函数.

例3、求函数 的最小正周期. 解：因为 ∴ 原函数的最小正周期是6π.

例4、求函数 的单调区间。 解：当 时， 即 时，原函数为减函数； 当 时， 即 时，原函数为增函数；

例5. 下列各题中，两个函数的图象之间有什么关系？ （1）y=2cosx与y=cosx; （2）y=cos2x与y=cosx; （3） 与y=cosx; （4） 与y=cosx.

练习 1.下列说法中不正确的是 ( ) (A) 正弦函数、余弦函数的定义域都是R，值域都是[－1，1]； (B) 余弦函数当且仅当x=2kπ( k∈Z) 时，取得最大值1； (C) 余弦函数在[2kπ+ ,2kπ+ ]( k∈Z)上都是减函数； (D) 余弦函数在[2kπ－π, 2kπ]( k∈Z)上都是减函数 C

2.函数f(x)=cosx－|cosx|的值域为 ( ) （A）{0} (B) [－1,1] (C) [0,1] (D) [－2,0] D

3.若a=sin46° , b=cos46°, c=cos36°，则a、b、c的大小关系是 ( ) (A) c> a > b (B) a > b> c (C) a >c> b (D) b> c> a A

4. 对于函数y=sin( π－x），下面说法中正确的是 ( ) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数 (C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数 D

5.函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( ) 4 (B) 8 (C) 2π (D) 4π D

6. 函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 . 偶函数 7. 函数y=cos(sinx)的奇偶性是 .

8. 函数f(x)=lg(2sinx+1)+ 的定义域是 ; 2kπ－ <x≤2kπ+ ,( k∈Z) 9.关于x的方程cos2x+sinx－a=0有实数解，则实数a的最小值是 . －1

10. 已知函数y= f(x)的定义域是[0, ]，求函数y=f(sin2x) 的定义域. 解：由0≤sin2x≤ ，即－ ≤sinx≤ 得： kπ－ ≤x≤kπ+ , ( k∈Z)

11.已知y=a－bcos3x的最大值为 ，最小值为 ，求实数a与b的值. 解得 当b<0时, 有 解得