数学软件 Matlab —— 矩阵运算

本讲主要内容 Kronecker 乘积 数组运算 函数的使用 特殊矩阵及其应用 变量的输入输出

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Kronecker 乘积 矩阵 Kronecker 乘积的定义 设 A 是 n×m 矩阵，B 是 p×q 矩阵，则 A 与 B 的 kronecker 乘积为： 是 np×mq 矩阵 任意两个矩阵都有 Kronecker 乘积 通常 Matlab 中计算两个矩阵的 Kronecker 乘积 C=kron(A,B);

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矩阵的数组运算 数组运算：对应元素进行运算 点与算术运算符之间不能有空格！ 参与运算的对象必须具有相同的形状！ 例： 数组运算包括：点乘、点除、点幂 相应的四个数组运算符为： .* ./ .\ .^ 点与算术运算符之间不能有空格！ 参与运算的对象必须具有相同的形状！ 例： A=[1,2,3; 4,5,6]; B=[3,2,1; 6,5,4]; C=A.*B D=A./B E=A.^B

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函数取值 函数作用在矩阵上的取值 f 作用在 x 的每个分量上！ 设 x 是变量， f 是一个函数 例： 当 x = a 是标量时，f(x) = f(a) 也是一个标量 当 x = [x1, x2, … , xn ] 是向量时，则 f(x) = [ f(x1), f(x2), … , f(xn)] 是一个与 x 长度相同的向量 f 作用在 x 的每个分量上！ 若 A 是矩阵，则 f (A) 是一个与 A 同形状的矩阵 例： x=[0:pi/4:pi]; A=[1,2,3; 4,5,6]; y1=sin(x) y2=exp(A) y3=sqrt(A)

矩阵的超越函数 矩阵函数 怎样计算 eA ? 将矩阵作为一个整体参与运算 Matlab 提供的矩阵函数：expm、sqrtm、logm 详情参见联机帮助（help expm / sqrtm / logm ） 更一般的矩阵函数： funm funm(A, @fun) fun 可以是 exp, log，cos，sin，... ...

Matlab中所有标点符号必须在英文状态下输入! 矩阵与数的运算 矩阵与数的运算 加减：矩阵的每个元素都与数作加减运算 数乘：矩阵的每个元素都与数作乘法运算 矩阵除以一个数：每个元素都除以这个数 数与矩阵的点幂运算：采用数组运算 例： x=[1 2 3]; x.^2=[1^2,2^2,3^2]=[1,4,9] 2.^x=[2^1,2^2,2^3]=[2,4,8] Matlab中所有标点符号必须在英文状态下输入!

常用数学函数 sin(x)、cos(x)、tan(x)、cot(x)、sec(x)、csc(x) ... % 默认情况，以弧度为角的单位 sind(x)、cosd(x)、tand(x)、cotd(x)、secd(x)、cscd(x) % 以度为角的单位 sinh(x)、cosh(x)、tanh(x) ... asin(x)、acos(x)、atan(x)、acot(x)、asec(x)、acsc(x) ... asind(x)、acosd(x)、atand(x)、acotd(x)、asecd(x)、acscd(x) ...%度 exp(x) % ex 自然指数 (以 e 为底) pow2(x) % 2x 以 2 为底的指数 log(x) % ln(x) 自然对数 (以 e 为底) log2(x) % 以 2 为底的对数 log10(x) % 以 10 为底的对数 sqrt(x) % 平方根 abs(x) % 绝对值

常用数学函数 conj(z) % 复数的共轭 real(z) % 复数的实部 imag(z) % 复数的虚部 angle(z) % 复数的辐角 sign(x) % 符号函数 round(x) % 取整函数 (四舍五入) fix(x)、floor(x)、ceil(x) % 另外三个取整函数 mod(x,y) % 计算 x 除以 y 的余数（结果与 y 同号） rem(x,y) % 计算 x 除以 y 的余数（结果与 x 同号） gcd(x,y) % 最大公约数 lcm(x,y) % 最小公倍数

常用数学函数 若参数 x 是矩阵，则作用在其各列上 更多数学函数，参见课程主页 linspace(a,b,n) % 生成 a 到 b，n 个数的等差数列 logspace(a,b,n) % 生成 10a 到 10b，n 个数的等比数列 max(x) % 求 向量 x 中的最大值 min(x) % 求最小值 mean(x) % 求平均值 sum(x) % 求和 sort(x) % 排序 det(A) % 矩阵行列式 inv(A) % 矩阵的逆 eig(A) % 矩阵的特征值 rank(A) % 矩阵的秩 若参数 x 是矩阵，则作用在其各列上 更多数学函数，参见课程主页

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特殊矩阵 特殊矩阵的生成 例： Matlab 提供了一些函数，用于生成一些常见的特殊矩阵 A=magic(3) B=ones(4) a1=diag(A) a2=diag(A,1) a3=diag(A,-2) 注意 diag 的用法 a=[1,2,3,4] A1=diag(a) A2=diag(a,1) A3=diag(a,-2)

常见特殊矩阵生成函数 zeros(m,n) zeros(n) 生成一个 m 行 n 列的零矩阵 m=n 时可简写为 zeros(n) ones(m,n) ones(n) 生成一个 m 行 n 列的元素全为 1 的矩阵 m=n 时可简写为 ones(n) eye(m,n) eye(n) 生成一个主对角线全为 1 的 m 行 n 列矩阵 m=n 时可简写为 eye(n)，即为 n 维单位矩阵 diag(X) diag(X,k) 若 X 是矩阵，则 diag(X) 为 X 的主对角线向量 若 X 是向量，diag(X) 产生以 X 为主对角线的对角矩阵 tril(A) 提取一个矩阵的下三角部分 triu(A) 提取一个矩阵的上三角部分 rand(m,n) rand(n) 产生 0～1 间均匀分布的随机矩阵 m=n 时简写为 rand(n) randn(m,n) randn(n) 产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵 m=n 时简写为 randn(n) 其它特殊矩阵生成函数：magic、hilb、pascal 等

特殊矩阵 特殊矩阵的应用 留着练习，参见本节的习题1（P13）

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Matlab 的输出格式 输出格式 Matlab 以双精度执行所有的运算，运算结果可以在屏幕上输出，同时赋给指定变量；若无指定变量，则系统会自动将结果赋给变量 “ans” 在屏幕上输出运算结果时，可以通过 format 命令指定输出格式 format 只改变输出格式，不会改变变量的值！

各种 format 格式 解释 例 format 短格式（缺省格式），同 short 3.1416 format short 短格式（缺省格式），小数点后 4 位 format long 长格式，双精度 15位，单精度 7位 3.14159265358979 format short e 短格式e方式（科学计数格式） 3.1416e+000 format long e 长格式e方式 3.141592653589793e+000 format short g 短格式g方式 format long g 长格式g方式 format rat 分数形式 355/113 format compact 压缩格式 format loose 自由格式 format +， format bank， format hex (详情查看联机帮助)

变量的存储 将变量保存到 mat 文件中 从 mat 文件中读取变量 例： save 将所有变量保存到文件 matlab.mat 中 save fname save fname.mat 将所有变量保存到文件 fname.mat 中 save fname 变量 将指定变量保存到文件 fname.mat 中 可同时保存多个变量，各变量之间用空格隔开 例： x=2:5; A=magic(3); a=2.4; save mydata A x; 从 mat 文件中读取变量 load fname 读取 fname.mat 中的所有变量 load fname 变量 从 fname.mat 中读取指定的变量

上机要求 上机要求 将完成每题所用的命令写入一个文件，取名为 m02.m 然后将该文件作为附件，通过 foxmail 以邮件形式发给 虚拟邮箱admin@system.mail 邮件主题为：机号-学号-姓名 其中机号为 两位数 三个字段之间用英文状态下的减号链接

上机作业 教材P13的 1、 2 、3题： 【要求与提示】 用注解语句在程序文件m02.m 中写明题号；

书面作业 教材P35-38有4段关于Matlab用法的英文材料，试将其中的 (Topic 2) 段（有关 Matlab 数组与矩阵）翻译为中文. 【具体要求】将译文的手写版写在作业本上，欢迎给出进行中文、英文对照的作业！