講題：數學補救教學教材教法與教學策略 主講者：竹北國小 曾美錫 新竹縣101年度攜手計畫課後扶助方案 國民中小學現職教師及非現職教師 補救教學增能研習 講題：數學補救教學教材教法與教學策略 主講者：竹北國小 曾美錫

目次 壹、21世紀的孩子需要什麼能力 貳、補救教學的策略 參、教學策略知識 肆、國小數學領域教材教法 伍、結語

21世紀孩子需要什麼能力? 六種攸關最近的未來有無前途的關鍵性能力， 它們分別是： 一.不只有功能，還重設計。 二.不只有論點，還說故事。 三.不只談專業，還須整合。 四.不只講邏輯，還給關懷。 五.不只能正經，還會玩樂。 六.不只顧賺錢，還重意義。 這六種關鍵能力來自兩種感知： 高感性（High Concept）與高體會（High Touch） * 解題 溝通 連結 理性與感性 智與美 公益事業 知與行 3

如何提升學生的 高感性(High Concept)? 釐清工具性了解與關係性了解 （skemp, 1976） 工具性了解(instrumental understanding） 優點：省時省力 缺點：不容易背頌、持久性低、再製性弱 關聯性了解（Relational understanding） 優點：容易記憶、持久性高、再製性強 缺點：費時費力

小華用電子計算器算0.4975×9428.8時， ，下列哪一個結果是正確的? （1） 469.0828 （2） 4690.828 （1） 469.0828 （2） 4690.828 （3） 46908.28 （4） 469082.84 <PowerClick><Answer>2</Answer><Option>4</Option></PowerClick>

如何提升學生的 高體會(High Touch)? 重視體驗學習 當我們用耳朵聽，我們只能記憶10％ 當我們用眼睛看，我們只能記憶30％ 當我們用身體經歷，我們卻能記憶80％ 當我們用心去感受，將無限內化於心 重視體驗學習 體驗學習係指一個人直接透過真實之情境體驗，而建構知識、獲得技能和提升自我價值的歷程。

把一個圓形平分成兩半 分數;等分 連續量分數概念知識：等分、整體量 一個圓 這是一半 這是一半 這是另一半 這是另一半 這是一半 這是另一半 右下角太極旋轉暫無法實現 這是另一半 這是一半 這是一半

把一個正方形平分成兩半 分數;等分 連續量分數概念知識：等分、整體量 這是另一半 這是一半 一個正方形 這是另一半 這是一半 這是一半 看解題

把一個正方形平分成兩半 連續量分數概念知識：等分、整體量 這是另一半 這是一半 一個正方形 這是另一半 這是一半 這是一半 這是一半 看解題

把一個正方形平分成兩半 連續量分數概念知識：等分、整體量 這是另一半 這是一半 一個正方形 這是另一半 這是一半 這是一半 這是一半 看解題

把一個正方形平分成兩半

把一個正方形平分成兩半

補救教學的策略 一、喚起學生的舊經驗，補足先備能力 二、教材簡化、淺化 三、加強語文的閱讀能力與發表能力 四、用具體的圖像表徵有助於解答

教學策略知識(Pedagogical strategy knowledge；PsK) 嚐試錯誤策略－動機與興趣的引發(猜猜看 ) 重複表徵策略－個別差異的兼顧（ 表徵） 問題簡化策略－興趣與信心的提升(簡化文字與數字) 情境化思考策略－生活與情境的融入(除法) 圖像化思考策略－視覺與知覺的統整（角度與性質 平均數） 區塊化思考策略－歸類與組織的建構(比例分類) 概念構圖思考策略－邏輯與推理的培養(概念圖) 反省式思考策略－內隱意識的連結(比例) 認知引導策略－配合認知發展的步骤化呈現(1與0教學 直式) 討論教學策略－經驗與知識的整合( 直式 ) 控制變數策略－降低問題複雜性（雞兔同籠） 遊戲融入教學策略－激發學生參與動機（加法） 支持與肯定策略－學習動機的引發（老師的啟示） 理論與教學方法－直接教學法、討論式教學法、合作學習法、同儕視導教學法、探究式教學法 實務與教學技巧 萬用揭示板

國小數學領域教材教法

數學教學

數學教學 統計與機率 數與量 幾何 代數 連結

數學教學 形式運思期 運思期 運思前期 感覺動作期 數與量 幾何 統計與機率 代數 連結

創造 評鑑 分析 應用 數學教學 了解 記憶 型式運思期 運思期 運思前期 感覺動作期 數與量 幾何 統計與機率 代數 連結

幾何 數與量 統計與機率 代數 連結 感覺動作期 運思前期 運思期 型式運思期 記憶 了解 應用 分析 評鑑 創造 數學教學

教什麼? 知識向度(教) 認知歷程向度(學) 記憶 了解 應用 分析 評鑑 創造 事實知識 概念知識 程序知識 後設認知知識

教什麼? 如何教? 知識向度(教) 認知歷程向度(學) 記憶 了解 應用 分析 評鑑 創造 事實知識 概念知識 程序知識 後設認知知識 教什麼? 如何教? Anderson , Krathwohl,Airasian &Cruikshank (2000) 知識向度(教) 認知歷程向度(學) 記憶 了解 應用 分析 評鑑 創造 事實知識 概念知識 程序知識 後設認知知識 國北教大 譚寧君(2011)

加法與減法 合成 與分解 「合成」— 加法的概念；兩個數可以合成一個新的數。（如1和4合成了5）。 加法與減法 　 合成 與分解 「合成」— 加法的概念；兩個數可以合成一個新的數。（如1和4合成了5）。 「分解」— 減法的概念，一個數可以分為兩個數。（如7可以分為2和5 )。

加法與減法的問題情境 「比較」型 「併加」型 如「小新買了一顆牛奶糖以及四顆水果糖， 他總共買幾顆糖？」 加法與減法的問題情境 　 「併加」型 如「小新買了一顆牛奶糖以及四顆水果糖， 他總共買幾顆糖？」 「比較」型 如「被比較量未知」：「小新有三個機器人，小如 比他多六個機器人，小如有幾個機器人？」 以及「全體已知，求部分未知」：「草地上停著十 隻鳥，六隻是白色的，其他是黑色的，請問黑色的 有幾隻？」

「追加」型 如「小如已經有兩個徽章，還需要幾個， 他就有五個徽章了？」 「拿走」型 如「小新有五張貼紙，送了一張給妮妮後， 還剩幾張？」 「添加」型 如「胖虎回家後吃了一個布丁，寫完作業 又吃了兩個，他一共吃了幾個布丁？」。

加法與減法 教學策略 在這些問題的教學中，使用生活中的情境，讓學童掌握使用教具或畫圈圈來理解這些問題的結構，並協助解題。 加法與減法 　 教學策略 在這些問題的教學中，使用生活中的情境，讓學童掌握使用教具或畫圈圈來理解這些問題的結構，並協助解題。 經常要學生解釋題意，如：「你覺得這題的題目是在說什麼？」然後再問怎麼解題，如：「你會怎麼做？」 進展到比較型的問題時，可以問學生誰多?誰少?再問多多少?少多少？ 題型可以多變化

乘法問題知多少？-1/5 1、視為『加法問題』 2、視為『倍的問題』 3、視為『比的問題』 4、視為『單位量轉換的問題』 以問題「１盒蘋果有３個，４盒蘋果有多少個？」為例，可以從哪些不同的角度來看問題？ 1、視為『加法問題』 2、視為『倍的問題』 3、視為『比的問題』 4、視為『單位量轉換的問題』

１盒蘋果有３個，４盒蘋果有多少個？ 加法問題： 「３＋３＋３＋３＝？」，使用加法當做解題的工具。

「３的４倍是多少個？」。 倍的問題： １盒蘋果有３個，４盒蘋果有多少個？ 當相同數量相加的情境經常出現，為了提升 解題效率，發展新的工具-『乘法』-來簡化 或替代加法。 「３的４倍是多少個？」。

比的問題： １盒蘋果有３個，４盒蘋果有多少個？ 將「每１盒都有3個蘋果」視為一個單位， 使用『比』當做解題的工具。 「１：３＝４：□」 。 ３個／盒×４盒＝１２個。

１盒蘋果有３個，４盒蘋果有多少個？ 單位量轉換問題： ４『盒』蘋果有多少『個』？ 「４個３合起來是多少個１？」

單位量轉換： １２個蘋果「○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○」是一種情境： １２個蘋果「○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○」是一種情境： 當人們選擇不同的單位量時，可以有不同描述個數 的方式。(原單位是『個』，若以新單位『盤』、 『堆』…來描述時)

１２個蘋果的描述~1 以１個為單位量：１２個（１２個１） 以１堆（２個）為單位量：６堆（６個２） 以１盤（４個）為單位量：３盤（３個４） 以１個為單位量：１２個（１２個１） 　 以１堆（２個）為單位量：６堆（６個２） 以１盤（４個）為單位量：３盤（３個４） 以２個為單位量時，６堆共有１２個，其中單位量 是「２」，單位數是「６」，總量「６個２」是 「１２」。

１２個蘋果的描述~2 以１箱（３６個）為單位量： 1/3 箱（1/3 個３６） 以１片（四分之一個）為單位量： ４８片（４８個 1/4） 以36個為單位量時， 1/3箱共有１２個，其中單位 量是「36」，單位數是「 1/3 」，總量「 1/3個36 」 是「１２」。

教學重點： 1.列出算式紀錄 2.解題過程 40x4=( ) 或 4x40=( )??? 解3. 40 X 4 160 解1. 40+40+40+40= 解4. 4個十枝有四個 4x4=16 所以有16個十枝 是160枝 解2. 40x4=160

乘法問題的情境 1.等組群問題（equal groups） 是由一些內含有相同個數之物體的集合所構成的情境，等組情境以不同的方式出現。 依據Greer（1992）所提出之「乘除問題的情境模式」，正整數乘法文字題有以下四種： 1.等組群問題（equal groups） 是由一些內含有相同個數之物體的集合所構成的情境，等組情境以不同的方式出現。

2.等量（equal measures）： 與等組群相似，但等量問題中的單位量是連續 量。 例如：一個人有4 公升的果汁，三個人有多少 公升的果汁？

3.乘法的比較（multiplication comparison）： 例如：俊漢的蘋果是莉莉的三倍，莉莉有四顆蘋果。那麼俊漢有幾顆蘋果呢？

笛氏積提供一個相當不同的自然數的乘法 情境。 例如：假如四個男孩和三個女孩跳舞，有 多少結伴跳舞的可能？ 4. 笛氏積（Cartesian product）： 笛氏積提供一個相當不同的自然數的乘法 情境。 例如：假如四個男孩和三個女孩跳舞，有 多少結伴跳舞的可能？ 小明有３件不同款式的衣服，４條不同顏色的褲子，請問有幾種搭配的穿著方式？

5. 矩形面積（rectangular area）： 是由長乘以寬去計算出矩形的面積。

以上四點，只有第三、四兩個類型中的乘法的乘數、被乘數可交換；而前兩個的乘法意義中的乘數、被乘數都代表著不同的意義，所以是無法被交換使用的。

分數的多重意義 分數 1、部分-整體模式： 2、子集合-整體集合模式： 3、數線模式： 4、商模式：一個蔥油餅分給6個人 1÷6 ＝ 5、比值模式(乘比非差比)：兩個集合 （包括同單位與不同單位）相比的結果。 例如：2杯葡萄酒對3杯七喜混成的雞尾酒為 2：3＝ 0 1

分數意義的引入

幾分之幾？ 添加型 併加型 四份中的兩份 兩個四分之一

單位分量 ¼張 ¼張 ¼張 ¼張 ¼張 ¼張 ¼張 ¼張 ¼張 ¼張 1張可以分成4個1/4張 4個1/4張可以合成1張 分數的數詞序列1/4… ¼張 ¼張 ¼張 ¼張 ¼張 ¼張

分數意義的擴張 從「部分/整體」到「單位分量」

單位分量之分數問題

單位量之轉換 （整數的分數倍） 除法 乘法 排幾排？ 排幾顆？ 12÷4=3 4×3=12 8÷4=2 4×2=8 7÷4=1 3/4 1排 7÷4=1 3/4 4×1 3/4=7 1排 5÷4=1 1/4 4×1 1/4=5 1排 3÷4=3/4 4×3/4=3

分數量？分數倍？ 5

現在想要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊， 應怎樣排? (用拼成長方形的操作活動引進因數)

要請 8 位 小朋友 排成長方形路隊， 應怎樣排? 排成１隊，每隊有８人。 1 × 8 = 8 因數 8的因數有: 1 8

Polya怎樣解題 1.瞭解題意 2.擬訂計畫 3.執行計畫 4.反省檢討 哥哥想在一個長16公尺、寬12公尺的長方形花園四周種小樹苗，四個角落都要種，每株樹苗之間的距離都相同，他最少要種幾株樹苗？ Polya怎樣解題 1.瞭解題意 2.擬訂計畫 3.執行計畫 4.反省檢討 題目的意思什麼？ 1.已知的是什麼？ 長16公尺，寬12公尺的長方形 長方形四個角都要種樹 每株樹苗之間距離相同 2.未知的是什麼？ 最少需要多少樹苗？ 下一步 看題目

哥哥想在一個長16公尺、寬12公尺的長方形花園四周種小樹苗，四個角落都要種，每株樹苗之間的距離都相同，他最少要種幾株樹苗？ Polya怎樣解題 1.瞭解題意 2.擬訂計畫 3.執行計畫 4.反省檢討 哥哥想在一個長16公尺、寬12公尺的長方形花園四周種小樹苗，四個角落都要種，每株樹苗之間的距離都相同，他最少要種幾株樹苗？ 1.先做什麼？ 2.關鍵訊息是什麼？ 四個角都種 每株樹苗之間距離相等 3.怎麼樣算出每株樹苗之間 的最大距離？ 求16、12的最大公因數 4×4=16 4×3=12 16公尺 4公尺 4公尺 4公尺 4公尺 12公尺 4公尺 4公尺 下一步 看題目

Polya怎樣解題 1.瞭解題意 2.擬訂計畫 3.執行計畫 4.反省檢討 哥哥想在一個長16公尺、寬12公尺的長方形花園四周種小樹苗，四個角落都要種，每株樹苗之間的距離都相同，他最少要種幾株樹苗？ 16公尺 1先求出最大公因數 2再求出四邊需要的樹苗 ( 3＋2 ) × 2＝10 3再加上四個角的樹苗 10＋4＝14 (4公尺) 4公尺 4 16 12 4 3 12公尺 下一步 看題目

哥哥想在一個長16公尺、寬12公尺的長方形花園四周種小樹苗，四個角落都要種，每株樹苗之間的距離都相同，他最少要種幾株樹苗？ Polya怎樣解題 1.瞭解題意 2.擬訂計畫 3.執行計畫 4.反省檢討 哥哥想在一個長16公尺、寬12公尺的長方形花園四周種小樹苗，四個角落都要種，每株樹苗之間的距離都相同，他最少要種幾株樹苗？ 想一想，還有其他方法嗎？ 我想用周長來算 周長：( 16＋12 ) × 2＝56 周長÷樹苗距離：56 ÷ 4＝14 16公尺 答：最少要種14株樹苗 12公尺 4公尺 4公尺 4公尺 4公尺 4公尺 4公尺 4公尺 下一步 看題目

結 語（續） 一、 診斷學生迷思概念，發展適切教學策略

一、 診斷學生迷思概念，發展適切教學策略

結 語（續） 二、利用網路資源，蒐集教學素材。 http://teach.eje.edu.tw/國民教育社群網 結 語（續） 二、利用網路資源，蒐集教學素材。 http://teach.eje.edu.tw/國民教育社群網 教育部國民教育司委託國立中山大學建置，提供關心國民教育社群相關資源 http://3w.nioerar.edu.tw/math.jsp 國立教育資料館 製作卡通數學教學相關影片與媒體資源 http://elearning.tp.edu.tw/台北市政府數位學習網 提供教材資源包括教案、教學影片等，學生可以居家學習 http://isp.moe.edu.tw/教育部數位資源入口 教育部為整合已開發數位資源建立之入口網站 http://www.naer.edu.tw/naer國家教育院數學教材叢書 國家教育院研究發展處製作數學教材教法叢書與教學影片，提升國小教師數學教學專業知能

結 語（續） 二、利用網路資源，蒐集教學素材。 http://teaching.moe.gov.tw/中小學資訊融入創意競賽 結 語（續） 二、利用網路資源，蒐集教學素材。 http://teaching.moe.gov.tw/中小學資訊融入創意競賽 教育部每年進行國中小資訊融入教學創意比賽，得獎者成果公告上網，提供中小學教師參考使用 http://163.21.236.74/台灣數學教育學會 2004年台灣數學教育學會成立，提供教師數學教育相關資訊，並出版電子期刊，一年四期，內容以充實高中、國中與小學數學教學、課程與教材為主，提升教師數學教學研究專業知能。 http://museum.math.ntnu.edu.tw/台灣數學博物館 台灣第一所數學教育虛擬博物館，館中不只收藏豐沛的數學知識相關資源，蒐羅的數學教育相關主題更是包羅萬象。 http://mathseed.ntue.edu.tw/ 數學領域課程與教學輔導網 教育部於2002年成立數學領域課程與教學輔導團隊，連結各縣市輔導網絡，提供國中小教師相當豐富的資源，包括 疑難問題討論、繪本融入教學、資訊融入教學等。 http://blog.ilc.edu.tw/blog/blog國小數學寶庫 中央輔導團數學領域團隊建置，提供課程綱要修訂相關資訊， 以及數學相關活動資源。

結 語（續） 二、利用網路資源，蒐集教學素材。 結 語（續） 二、利用網路資源，蒐集教學素材。 http://www.paps.kh.edu.tw/cindex.html 高雄市博愛國小學生園地 高雄市博愛國小數學園地之多媒體素材多元，包含數與量、幾何及推理遊戲等， 提供教師豐富的數位教材。 http://163.21.193.5/index.asp萬用揭示板 為國小數學虛擬教具網站，提供教師豐富教材資源，上網國小教師已超過150萬人次。 http://www.mathland.idv.tw/昌爸工作坊 提供數學故事,數學謎題,數學遊戲,試題練習,挑戰題等教學工具，並連續多次獲得教學網站特殊獎勵，可以提升學生數學學習視野 。 http://home.educities.edu.tw/oddest/尤怪之家 提供好玩又具探究價值的數學遊戲，更提供數學遊戲之相關研究論述，學生能從遊戲中學習數學 。

結 語（續） 二、利用網路資源，蒐集教學素材。 結 語（續） 二、利用網路資源，蒐集教學素材。 http://www.dale.nhcue.edu.tw/有愛無礙 為關心學生學習與行為障礙的教師設立，提供特殊教育相關資訊與資 源 http://math.ntnu.edu.tw/~horng/洪萬生教授數學史 提供數學史與數學教育相關資源、教育論壇與社會關懷等議題。 http://www.mtedu.tmue.edu.tw/數學教師知識庫 提供國小教師數學專業成長的園地，包括豐富的數學教學、課程與教材等資源，並有教學精華影片分析，能提升國小教師數學教學專業知能。 http://e-math.idv.tw譚天說數 提供國小教師一個資源共享的平台，包括以AMA系統製作之數位教材分享、教學問題討論、數學教學資源、教學建議、教學影片等可供參考。

結 語（續） S A R S 三、掌握學生學習歷程。 結 語（續） 三、掌握學生學習歷程。 學習即是認知建構的歷程，數感(number sense)的培養是國小數學教學的重要目的。欲提昇教學成效，即是重視SARS的歷程。 S A R S Sensation 感官 Recognition 辨識 Attention 注意 Sense (perception) 感覺(知覺)

以上資料來源，取自： 1.新竹縣國教輔導團 黃韋蓉輔導員 2.國立臺北教育大學數學暨資訊教育學 系兼任副教授 譚寧君老師

謝謝聆聽 敬請指教

學生的補救教學問題是什麼? 『如果我必須把所有的教育心理學理論化約成一個原則的話，我寧願這麼說：影響學習的一個最重要因素即是學習者已經知道的事（what the learner already know），只要確信「它」是什麼，並且以此作為教學的依據即可。』 (Ausubel, 1968,1978）

× ( － ) ＝？ 解決 須具備哪些能力? 四則運算 異分母相減 帶分數與假分數的轉換 等值分數 約分與擴分(因數與倍數) 分數乘以分數 × ( － ) ＝？ 解決 須具備哪些能力? 四則運算 異分母相減 帶分數與假分數的轉換 等值分數 約分與擴分(因數與倍數) 分數乘以分數 分數大小比較 乘法意義 數學性質（分配律） 其他 國北教大 譚寧君(2011)

數學表徵方式 舉例：桌上有5顆蘋果吃掉三顆蘋果，剩下幾顆蘋果？ 具體表徵 圖像表徵 符號表徵 5-3=2

以課本佈題為例 錢幣、古氏積木 具體表徵 圖像表徵 符號表徵 畫圖 100 10 1 348+228=576

具體表徵 圖像表徵 符號表徵 算式 成人直式算則

線對稱圖形教學ppt 我們來找因數