第四章 矩阵 §1 矩阵概念的一些 背景 §6 初等矩阵 §4 矩阵的逆 §5 矩阵的分块 §2 矩阵的运算 §3 矩阵乘积的行列 式与秩 §1 矩阵概念的一些 背景 §4 矩阵的逆 §5 矩阵的分块 §2 矩阵的运算 §6 初等矩阵 §3 矩阵乘积的行列 式与秩 §7 分块乘法的初等 变换及应用举例
§4.1 矩阵概念的一些背景 一、矩阵的概念 二、矩阵的相等 三、一些特殊矩阵
一、矩阵的定义 1．定义 数表 称为一个 矩阵． 记作：
二、矩阵的相等 定义 设矩阵 若 则称矩阵A与B相等，记作 A＝B．
三、一些特殊矩阵 零矩阵 列阵 行阵 方阵
对角矩阵 单位矩阵 数量矩阵
负矩阵 设 矩阵 称为A的负矩阵，记作－A . 即
§4.2 矩阵的运算 一、加法 二、乘法 三、数量乘法 四、转置
一、加法 设 则矩阵 1．定义 称为矩阵A与B的和，记作 ．即
只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 说明 例如
2．性质 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) (4) 3．减法 定义
二、乘法 1．定义 设 则 矩阵 其中 称为 与 的积，记为 ．
注意 ①乘积 有意义要求A 的列数 = 的行数. ② 乘积 中第 行第 列的元素由 的第 行 乘 的第 列相应元素相加得到． 如 不存在.
例1 线性方程组 令 则（1）可看成矩阵方程
例2． 而 无意义． 例3．
例4．
注意 ① 一般地， 若 ，称A与B可交换． ② 未必有 或 ． 即 且 时， 有可能 ． ③ 未必 ．
2．矩阵乘法的运算规律 (结合律) （分配律) (5)
证：1）设 令 其中 的第 i 行第 l 列元素为 的第 i 行第 l 列元素为 结合律得证.
3．矩阵的方幂 定义 设 为 级方阵． 定义 个 称 为 的次幂.
性质 (3) 一般地 ,
例5．设 求 解:
由此归纳出 用数学归纳法证明之. 当 时，显然成立. 假设 时成立，则 时，
故对于任意 都有
三、数量乘法 1．定义 设 则矩阵 称为矩阵 A 与数 k 的数量乘积.记作： 即
2．性质 注: 矩阵的加法与数量乘法合起来,统称为矩阵的 线性运算.
(6)若 A 为 n 级方阵， (数量矩阵与任意矩阵可交换) (数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法)
四、转置 1．定义 设 的转置矩阵是指矩阵 记作 或 ．
2．性质 (5) 若 为方阵，则
证 (3)： 设 中 的元素为 从而 中 的元素为 又 的第 i 行元素为 的第 j 列元素为 中的 元素为
3．对称矩阵 反对称矩阵 定义 设n级方阵 (1) 若 满足 即 则称 A 为对称矩阵； (2)若 满足 即 则称 A 为反对称矩阵.
性质 (1) 对称 对称 ; 反对称 反对称． (2) 对称， 对称 ； 反对称， 反对称． (3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零． (1) 对称 对称 ; 反对称 反对称． (2) 对称， 对称 ； 反对称， 反对称． (3) 奇数级反对称矩阵的行列式等于零． 为奇数时，
皆为 n 级对称矩阵，证明： 例7 已知 对称 证： 若AB对称，则有 反过来，若AB=BA，则有 所以 AB 对称.
例8 设 A 为 n 级实对称矩阵,且 ，证明： 证： 设
又 皆为实数
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩 一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵 三、矩阵乘积的秩
引入 行列式乘法规则 则 其中
一、矩阵乘积的行列式 定理1 设 为数域 上的 级矩阵，则 推论1 为数域上的 n级方阵，则
二、非退化矩阵 定义 设 为数域 上的 级方阵， 若 ，则称 为非退化的； 若 ，称 为退化的． 注： 级方阵 非退化 ； 级方阵 退化
推论2 设 为数域 上的 级矩阵，则 非退化 都非退化 退化 或 退化 证： 非退化 且 都非退化 .
三、矩阵乘积的秩 定理2 设 为数域 上的矩阵，则 证： 令 设 的行向量组为 的行向量组为 则向量组合
即有 故 可由 线性表示. 所以 ． 同理，
推论3 如果 ，则
§4.4 矩阵的逆 一、可逆矩阵的概念 二、可逆矩阵的判定、求法 三、逆矩阵的运算规律 四、矩阵方程
一、可逆矩阵的概念 定义 注： 设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得 AB＝BA＝E 则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.
二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法 1、伴随矩阵 定义 设 是矩阵 中元素 的代数 余子式，矩阵 称为A的伴随矩阵. 性质：
证：由行列式按一行（列）展开公式 立即可得, 同理,
2、定理3：矩阵A可逆当且仅当 （即A 非退化的），且 证：若 由 得 所以，A可逆，且 反过来，若A可逆，则有 两边取行列式，得
3、推论：设A、B为 n 级方阵，若 则A、B皆为可逆矩阵，且 证： 从而 由定理知，A、B皆为可逆矩阵. 再由 即有，
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.
解：1） ∴ A可逆. 再由 有
∴ 当 时，A可逆. 且由于
三、逆矩阵的运算规律
(5) 若A可逆，则 亦 可逆，且 (6) 若A可逆，则 亦 可逆，且 注： 当 时，定义 则有
例2 设方阵 A 满足 证明： 与 皆可逆，并求其逆. 证： 由 得 即 故 A 可逆，且 再由 得 即 故 可逆，且
四、矩阵方程 1. 线性方程组 令 则（1）可看成矩阵方程 若A为可逆矩阵，则
2. 推广 ① 矩阵方程 若A为可逆矩阵，则 ② 矩阵方程 若A为可逆矩阵，则 ③ 矩阵方程 若A, B皆可逆，则
3. 矩阵积的秩 定理4 若 可逆，则 证： 令 由定理2， 又P可逆， 有 故
例3 解矩阵方程 解： 一般地， 可逆 注: .
§4.5 矩阵的分块 一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算 三、准对角矩阵
一、分块矩阵的概念 定义 设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上 一些线，把这个矩阵分成若干小块．用这种 方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵． 每一个分块的方法叫做A一种分法．
特殊分法 设矩阵 按行分块 其中 按列分块 ，其中
一、分块矩阵的运算 1、加法 设 A, B是两个 矩阵，对它们 用同样的分法分块: 其中子块 与 为同型矩阵，则
2、数量乘法 设分块矩阵 则
3、乘法 把矩阵 分块成
4、转置 设分块矩阵 则
例1 设
解
则 又
于是
例2 设 其中 A, B 分别为 k 级和 r 级可逆矩阵，C为 证明：D 可逆，并求其逆． 证 ∴ D 可逆. 设逆阵
于是 即
三、准对角矩阵 定义 形式如 的分块矩阵，其中 为 级方阵 称为准对角矩阵.
性质 (1) 设准对角矩阵 A, B 级数相同，并且分法相同,则 则
(2) 准对角矩阵 可逆
解：
附： 一些特殊分块乘积 ① 一般线性方程组 则有 即
② 若 则
若 则
③ 设矩阵 若把矩阵B, C按行分块，则 于是有 即C的行向量组可由B的行向量组线性表出.
若把矩阵A, C按列分块，则 于是有 即C的列向量组可由A的列向量组线性表出.
证： 为 B 的列向量， 即B的每一列向量皆为齐次线性方程组 的解向量 .
可由 的基础解系线性表出，
§4.6 初等矩阵 一、初等矩阵 二、等价矩阵 三、用初等变换求矩阵的逆
一、初等矩阵 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵. 定义 三种初等变换对应着三种初等方阵:
以数 乘单位矩阵的第 i 行 得初等矩阵
初等矩阵的性质 1 初等矩阵皆可逆，且 其逆仍为初等矩阵.
2 引理 对任一矩阵 作一初等行(列)变换相当于 对 左(右)乘一个相应的初等矩阵． : 对换 的 两行； :对换 的 两列． ：用非零数 乘 的第 列； ：用非零数 乘 的第 列． ： 的第 行乘以 加到第 行 .
二、等价矩阵 定义 若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价的．（也称A与B相抵） 注： ① 矩阵的等价关系具有： ① 矩阵的等价关系具有： 反射性、对称性、传递性. ② 等价矩阵的秩相等．
矩阵等价的有关结论 1) 定理5 任一 矩阵 A 都与一形式为 的矩阵等价，称之为 A 的标准形, 且主对角线上1的个数 等于R(A)(1的个数可以是零).
2) 矩阵A、B等价 存在初等矩阵 使 3) n 级方阵A可逆 A的标准形为单位矩阵E. A与单位矩阵E等价. 4) 定理6 n 级方阵A可逆 A能表成一些初等 矩阵的积, 即
推论1 两个 矩阵A、B等价 存在 s 级可逆矩阵P及 n 级可逆矩阵Q, 使 由此得定理5的另一种叙述： 对任一 矩阵A，存在可逆矩阵 , 使 ，其中 ． 推论2 可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成单位矩阵.
三、利用初等变换求逆阵 原理:
例１ 解
即 初等行变换
例２ 解
列变换 列变换
§4.7 分块乘法的初等变换 及应用举例 一、分块乘法的初等变换 二、应用举例
一、分块乘法的初等变换 E分块成 ，作1次“初等变换”可得
且有 特别地, 若A可逆，令 ．上式变为：
二、应用举例 例1 A，D可逆，求 ． 由 解： 及
有
例2． ，求 把A分块成 解： 则 又
例3．证明： (A、B为n级方阵)． 作 证： 作2n P级方阵 中除 的元素为 外，其余元素皆为0． 由初等矩阵与初等变换的关系 , 得
而消法变换不改变行列式的值,
又
例设 ,且 ， 证明：存在下三角矩阵 ，使 为上三角形． 证：对 作归纳法． n=1时 为上三角形． 假设对 级矩阵命题成立，即对 结论成立，于是存在 矩阵 ，满足: 为上三角形．
下面考虑 级矩阵 对A作分块 则 为上三角形．
即为所要求的下三角形．