函数值分布论从欧洲到中国 杨乐 （中国科学院数学与系统科学研究院） 2006.6

数 数量关系 函数 复变函数 全纯函数

柯西（A. L. Cauchy, 1789-1857）

黎曼（G. F. B. Riemann, 1826-1866）

外尔斯特拉斯（K. T. W. Weierstrass, 1815-1897）

最大模原理 唯一性定理 Cauchy 积分公式 Cauchy-Riemann 定理 Riemann 映照定理

Liouville 定理 Picard 定理 Borel 定理

皮卡（C. É. Picard, 1856-1941）

波莱尔(F. É. J. É. Borel, 1871-1956)

多项式 整函数 有理函数 亚纯函数 次（数） （增长）级

Picard, Borel, Poincaré, Hadamard, Valiron, Montel, Julia, Denjoy Milloux, Littlewood Nevanlinna, Ahlfors

奈望林纳（R. Nevanlinna, 1895-1980）

熊庆来（1893-1969）

特征函数 T（r, f） 两个基本定理 亏值、亏量、亏量关系 Borel 方向

云南弥勒人 1913 比利时 路矿 1915--1920 法国 数学 1921--1925 东南大学数学系主任、教授 1926--1937 清华大学数学系主任、教授 (其中1932--34年，法国，获国家博士学位。） 1937--1949 云南大学校长 1949--1957 旅居法国，从事数学研究 1957--1969 中科院数学所研究员

熊氏无穷级:

培育人才: 华罗庚、陈省身、林家翘、 许宝禄、徐贤修、段学复、 庄圻泰、柯 召、严济慈、 钱三强、赵忠尧

庄圻泰（1909-1998） 1927-1936 清华大学 1936-1939 留学法国 获法国国家博士 博士论文：关于亚纯函数正规族与拟正 1927-1936 清华大学 1936-1939 留学法国 获法国国家博士 博士论文：关于亚纯函数正规族与拟正 规族的研究 1939-1945 云南大学 1946-1998 北京大学

庄圻泰的研究工作 : f: 亚纯函数， T(r, f)与T(r, f’)的比较 Nevanlinna 猜想：整函数时完全解决 正规族的研究

成长历程 : 1956-1962年 北京大学 1962-1966年 中科院研究生 1966-1971年 文化大革命”、部队农场等 1956-1962年 北京大学 1962-1966年 中科院研究生 1966-1971年 文化大革命”、部队农场等 1972年 研究工作重新开始 1974年10月 A. C. Offord 访华 1976年5月 美国数学代表团访华 团长：S. Maclane

早期研究工作: R. Nevanlinna: “ Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes” G.Valiron: “ Directions de Borel des fonctions méromorphes.” 1964. Yang L. & Zhang G. H.:正规族， 中国科学1965年9月号上 1964. W. K. Hayman 伦敦会议提出问题 1967 问题集出版 1969 D. Drasin Acta Math. 引用 1975 得到问题集的复印件

f 亚纯函数，有穷正级 p f 的亏值数目 q f 的Borel方向数目 则 亏值 模分布基本概念 Borel 方向 辐角分布基本概念 等号可以成立 整函数有更精确结果

f 亚纯函数，有穷正级λ 存在 Borel 方向 集合 E是非空闭集 给定λ，0＜ λ ＜+∞ ，与单位圆周上的非空闭集，则存在级为的亚纯函数f，其 Borel 方向恰为

A Mathematical Visit to China, May 1976 (Notice AMS, 1977, Vol.24, No.2, 110-113) S. MacLane, W. Feit, J.J. Kohn, H.O. Pollak, H.H. Wu E.H. Brown, G.F. Carrier, J.B. Keller, V.L. Klee Even under these restricted circumstances, much of the research in pure mathematics is first-rate, and some of the recent results are important contributions. Particular mention should be made of the Goldbach conjecture and Nevanlinna theory.

Analysis. A very small number of mathematicians are doing research in analysis. Some of the original work is really outstanding, and it is even more impressive when one takes into account the isolation in which it has taken place. In particular, work on analytic number theory and meromorphic functions is excellent. Complex Analysis. The most noteworthy contribution of Chinese mathematics in complex analysis lies in classical Nevanlinna theory, in work done by Yang Le and Chang Guang-hou of the Mathematics Institute of Peking. This area, which requires formidable analytic techniques, has been ploughed over carefully by many specialists all over the world for fifty years. Yang and Chang found something both new and deep to say about Borel directions and the number of deficient values of meromorphic functions. For instance, Theorem ……

Joel L. Schiff, Normal Families, Springer-Verlag, 1993, 236 pages.

Yang L. Sur les valeurs quasi-exceptionnèlles des functions holomorphes, Sci. Sinica 13(1964), 879-885 [66] Meromorphic functions and their derivatives, J. London Math. Soc.,(2)25(1982), 288-296. [144] Normal families and differential polynomials, Sci. Sinica, Ser.A, 26(1983), 673-686. [159] A general criterion for normality, Acta Math. Sinica (New Series) 1(1985), 181-193. [151] Normal families and fix-points of meromorphic functions, Indiana Univ. Math. J.，35(1986), 179-191. [150] Normality for families of meromorphic functions, Sci. Sinica, Ser. A 29 (1986), 1263-1274. [150]

Yang L., ChangK. Recherches sur la normalité des familes des functions analytiquès a des valeurs multiples, I. Un noveau critère et quelques applications, Sci. Sinica 14(1965), 1258-1271, [58，65，66，132] II. Généralizations, Sci. Sinica 15 (1966), 433-453. [105.150] Normality for families of meromorphic functions, Sci. Sinica, Ser. A 29 (1986), 1263-1274. [150] PP. 144 - 150

Encyclopaedia of Mathematical Sciences A.A.Gonchar,V.P.Havin, N.K.Nikolski(Eds): Complex Analysis, Springer-Verlag, 1997, 261 pages. (Russian edition, 1991)

Author Index Yang Lo, 103,104, 116, 117, 121, 123, 124, 176, 193

By J(f) and B(f) we shall denote the set of Julia and Borel directions, respectively, of a function f. Yang Lo and Zhang Guanghou (1975, 1976) described the set B(f) completely. Let 0＜ λ ＜+∞ and let E be a non-empty closed set on a unit circumference. Then there exists a meromorphic function f of order λ , for which Yang Lo and Chang Guanghou (1976) discovered an interesting relation between the number of deficient values and the number of Borel’s directions: card , where the equality may be achieved if .