第三章 數字系統與資料表示法 課前指引 也許您也早已聽過，電腦實際處理的資料，其實只有0 與1這兩種資料。對電腦來說，所有東西都是一個數字(0 或1 所組成)。字母、字串和標點符號是數字，聲音和圖片是數字，甚至電腦本身的指令也是數字。

章節大綱 3-1 資料表示法 3-2 數值資料表示法 3-3 電腦與數字系統 3-4 數字系統的轉換 備註：可依進度點選小節

3-1 資料表示法 淺談資料處理(1) 電腦真正在處理資料時，並不是以位元為單位而進行處理，而是以「位元組」（Byte）為基本的處理單位，一個位元組等於八個位元，所以可以代表28=256 個資料。 有了位元組，電腦可以表示256 個不同的符號或字元的其中一種。例如一般英文字母，數字或標點符號（如+、–、A、B、%）都可由一個位元組來表示。 當各位讀者在操作電腦時，只要按下鍵盤上的鍵，即可立刻顯示代表的字母與符號。

淺談資料處理(2) 不過對於電腦龐大的記憶體容量而言，位元組單位仍然太小，為了計量方便起見，定義了更大的儲存單位。例如：

編碼系統簡介(1) ASCII 採用8 位元表示不同的字元，最左邊為核對位元，故實際上僅用到7 個位元表示。其中0 ∼ 9 表示阿拉伯數字，65 ∼ 90 表示大寫英文字母，97 ∼ 122 表示小寫英文字母，下表為部份ASCII 編碼與二進位、十進位表示法的對應： 續下頁

編碼系統簡介(2) ASCII 在電腦系統中是相當重要的編碼系統，早期電腦與電腦之間的溝通與資料交換上面臨編碼不同的問題，例如早期的IBM 電腦上所使用的編碼系統是EBCDIC（Extended Binary Coded Decimal Interchange Code）編碼，稱為「擴展式BCD 碼」。 其原理乃採用8 個位元來表示不同之字元，因此EBCDIC 碼最多可表示256 個不同字元，比ASCII 碼多表示128 個字元。例如EBCDIC編碼的'A' 編碼11000001，'a' 編碼為10000001。EBCDIC 仍為IBM 公司主電腦和中型系統所使用，但是鮮少用在個人電腦上。

中文編碼(1) 在中文編碼的發展上，中文電腦也許是因為早期倚天中文推銷之成功（即使是現在，仍可以在一些店家看到它的存在），使得Big-5 碼成為中文電腦的編碼依據，一般俗稱為「大五碼」，Big-5 碼一共有13000 多個元素，其中常用字為5401 個，不常用字為7652 個，符號為408 個，至於中國大陸盛行的簡體字標準內碼則為GB 碼。

中文編碼(2) Big-5 碼的組成位元數較多，相對地字集中也包含了較多的字元，在Big-5 碼的字集中包含了5401 個常用字、7652 個次常用字，以及408 個符號字元，可以編出約一萬多個中文碼。 不過在大陸所使用的簡體中文，卻是GB 的編碼格式。因此如果這些文字內碼無法適當地進行轉換，那麼就會顯示成亂碼的模樣。

Unicode碼(1) Unicode 碼也是使用兩個位元組來表示一個文字符號，因此可以表示216=65536 個文字符號，不過Unicode 編碼在處理時，是將兩個位元組同時處理，而不是加以組合，也就是從1 到第16 個位元全部拿來使用，而不是區分為高低兩個位元，因此稱之為「定長式編碼系統」，這避免了像Big-5 碼合併位元組所會造成的衝突問題。 Unicode 碼的最大好處就是對於每一個字元提供了一個跨平台、語言與程式的統一數碼（digit）。

Unicode碼(2) 為了與ASCII 相容，Unicode 的0 ∼ 127 對應原來的ASCII 編碼，沒有使用到的位元全部設為0，而其它的部份則依不同的國家語系而有所不同；16 位元的Unicode 又稱之為UCS2，新的Unicode 版本則稱之為UCS4，它使用32 個位元來進行編碼，為了與原來的Unicode 相容，其它0 ∼ 65535 與原先的Unicode 編碼相同，其餘的部份用來表示少數語言或其它罕見文字。 在新的作業系統或軟體上，都已經支援使用Unicode 編碼，例如較新版本的Internet Explorer 與Windows2000、Windows XP、Vista 等等。

3-2 數值資料表示法 認識補數 1補數系統（1's Complement 2補數系統（2's Complement） 是指如果兩數之和為1，則此兩數互為1 的補數，亦即0 和1 互為1 的補數。也就是說，打算求得二進位數的補數，只需將0 變成1，1 變成0 即可；例如01010102 的1 補數為101001012。 2補數系統（2's Complement） 「2 補數系統」的作法則是必須事先計算出該數的1 補數，再加1 即可。

負數表示法(1) 帶號大小值法 (Sign Magnitude) 若用N 位元表示一個整數，最左邊一位元代表正負號，其餘N-1 位元表示該數值，則此數的變化範圍在 -2N-1-1~ +2N-1-1。如果是以8 個位元來表示一個整數，則最大的整數為（01111111）2 ＝127，而最小的負數（11111111）2 ＝ -127。而0 的表示法有(0000000)2 或(1000000) 2。

負數表示法(2) 1's 補數法（1's Complement）

負數表示法(3) 2's 補數法（2's Complement） 最左邊的位元還是符號表示位元，正數的表示法則與帶號大小值法相同，但負數的表示法是用1 補數法求得，並在最後一位元上加1。基本上，「2‘s 補數法」的做法就是把「1’s 補數法」加1 即可。例如9=（00001001） 2 的「1‘s 補數」為（11110110） 2 ，其「2’s 補數」則為（11110111） 2 。 由於使用「2's 補數法」的處理流程最為簡單，而且運算成本最低，至於末端進位，可直接捨去不需加1，並且0 的正負數表示法只有一種，這也是目前電腦所採用的表示法。

3-3 電腦與數字系統 數字系統簡介 從科學的角度來看，使用哪一種進位系統並沒有任何不同，人類最後使用十進位系統，大概與人類雙手共有10 根手指頭有關，十進位系統並不是到現在才普及，古代的各國家或民族早就在使用十進位系統，舉凡埃及、巴比倫、希臘、羅馬、印度、中國等等，雖然各國家民族所使用的符號不同，但計算法則都是相同的。 進位系統要看使用於何種場合，在電腦的世界中因為都在處理0 與1 兩種訊號，使用二進位系統來表示是最佳的選擇，您當然也可以使用十進位系統來表示，不過只是徒增困擾而已。

二進位系統(1) 電腦內部所進行的數學運算為二進位系統，只有0 與1 兩個數字，每兩個數目就往前進一位，例如：

二進位系統(2) 二進位的加法 在進行二進位的加法時，與十進位加法類似，每個位數上下對應相加，如果數目為二就往前進位，進位後與前一位相加結果數目如果為二，也是往前進一位，如下所示：

二進位系統(3) 二進位轉十進位 二進位如果要轉換為十進位表示法，可參考十進位系統的做法，十進位系統若要表示219 這個數字，可以如下表示： 同樣的，如果要將二進位表示為十進位，例如將11011011（十進位219）表示為十進位數字，則可以如下進行運算：

二進位系統(4) 十進位轉二進位 要將十進位的數字轉為二進位的數字，則可以利用輾轉相除法求出每個指數的係數，我們可以先看看十進位數字是如何求出係數： 依照同樣的方法，我們可以用二進位來表示一個十進位數字，如右所示：

八進位與十六進位系統(1) 八進位系統 八進位系統其實與十進位系統相彷，只不過是以8 為基底，也就是只用到數字01234567 這八個數字，超過則往前進一位，要將八進位轉為十進位也很簡單，如八進位的333 就表示十進位的219，計算方式如下所示：

八進位與十六進位系統(2) 十六進位系統 十六進位系統是以16 為進位的基底，除了使用十進位系統的0123456789 數字之外，還使用了ABCDEF 來表示十進位系統的10 ∼ 15 的數字，超過這16 個數字則往前進一位，所以十位進位的F4 就表示十進位的244，F 表示十進位的15，所以其計算方式如下所示：

3-4 數字系統的轉換 10進位轉成2、8、16進位(1) 將12610換算成二進位

10進位轉成2、8、16進位(2) 將12610換算成八進位 十進位轉換成十六進位，作法和上面兩種相同，如下所示：

2進位轉成8、16進位(1) 如果要將二進位變換成十六進位，其方法與轉換規則如下： (1)將二進位的數字，以小數點為基礎點，小數點左側的整數部份由右向左，每四位打一逗點，不足四位則請在其左側補足0；小數點右側的小數部份由左向右，每四位打一逗點，不足四位則請在其右側補足0。 (2)將步驟１中的每四位二進數字，換成十六進位數字，即成十六進制。 續下頁

以範例來為各位說明。將100110101011.0101001換算成十六進位

進位轉成8、16進位(2) 如果要將二進位變換成八進位，其方法與轉換規則如下： (1)將二進位的數字，以小數點為基礎點，小數點左側的整數部份由右向左，每三位打一逗點，不足三位則請在其左側補足0；小數點右側的小數部份由左向右，每三位打一逗點，不足三位則請在其右側補足0。 (2)將步驟１中的每三位二進數字，換成八進位數字，即成八進制。 續下頁

以範例示範說明。將100110101011.0101001換算成八進位

8、16進位轉成2進位 如果要將八進位變換成二進位，其轉換規則是只要將每位八進位數字，換成三位二進位數字即可。同理要將十六進位變換成二進位，轉換規則是只要將每位十六進位數字，換成四位二進位數字即可。例如將73648 換算成二進位，其結果為111 011 110 1002。

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