Next section: crystal symmetry 结晶学与矿物学 下面是第三章: 晶体的宏观对称 Next section: crystal symmetry
结晶学与矿物学 晶体的宏观对称 对称的概念 晶体的对称要素 对称要素的组合规律 对称型(点群)及其符号 晶体的对称分类
结晶学与矿物学 对称的概念 Symmetry 是宇宙间的普遍现象 是自然科学最普遍和最基本的概念 是建造大自然的密码 是永恒的审美要素
结晶学与矿物学 对称的概念 物体(或图形)中相同部分之间有规律重复
结晶学与矿物学 晶体的对称 晶体都是对称的 晶体外形上对称 晶体宏观性质上对称 是晶体的基本性质之一 是晶体科学分类的依据
对称操作(symmetry operation) 结晶学与矿物学 对称操作(symmetry operation) 能够使对称物体(或图形)中的各个相同部分作有规律重复的动作(对称操作) some acts that reproduce the motif to create the pattern Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern
对称元素 对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 对称元素种类 对称元素的符号 结晶学与矿物学 对称元素 对称元素(symmetry element)：在进行对称操作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 对称元素种类 对称中心(center of symmetry) 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis) 倒转轴(rotoinversion axis) 映转轴(rotoreflection axis) 对称元素的符号 国际、习惯、图示符号：教材之表3-1、表7-1
结晶学与矿物学 对称元素符号 宏观晶体的对称要素
晶体对称定律 结晶学与矿物学 只能出现轴次(n)为一次、二次、三次、四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的对称轴 轴次 n 的确定: n = 360/a a + 2a cosa = ma cosa = (m-1)/2 1 m = 3, 2, 1, 0, -1 a = 0, 60, 90, 120, 180 n = 1, 6, 4, 3, 2
对称操作 ＝ 对应点的坐标变换 (x, y, z) (X, Y, Z) 结晶学与矿物学 对称元素之对称操作 对称操作 ＝ 对应点的坐标变换 (x, y, z) (X, Y, Z) or 对称变换矩阵
6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 = 360o/2 rotation 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern A Symmetrical Pattern 6 6
6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 = 360o/2 rotation 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern Operation A Symmetrical Pattern 6 Motif Element 6 = the symbol for a two-fold rotation
6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 = 360o/2 rotation 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) = 360o/2 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern A Symmetrical Pattern 6 Motif 第一步 Element 第二步 6 = the symbol for a two-fold rotation
6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 结晶学与矿物学 二次(two-fold rotation) 变换矩阵 A Symmetrical Pattern 6 第一步 第二步 6
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子
结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 二次(two-fold rotation) 等效的例子
对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 结晶学与矿物学 二次(two-fold rotation) 等效的例子 1st 180o rotation makes it coincident 2nd 180o brings the object back to its original position
6 6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 = 360o/3 rotation 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 三次(three-fold rotation) = 360o/3 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern A Symmetrical Pattern 6 6 6
6 6 6 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 = 360o/3 rotation 结晶学与矿物学 对称轴(Ln)之对称操作 对称轴 三次(three-fold rotation) = 360o/3 rotation to reproduce a motif in a symmetrical pattern A Symmetrical Pattern 6 step 1 6 step 3 6 step 2
对称轴(Ln)之对称操作 其他的对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的) 结晶学与矿物学 6 6 6 6 6 变换矩阵：
对称面(m)之对称操作 对称面(mirror) 结晶学与矿物学 对称面(m)之对称操作 对称面(mirror) Reflection across a “mirror plane” reproduces a motif = symbol for a mirror m
对称面(m)之对称操作 对称面(mirror) m 结晶学与矿物学 变换矩阵 m包含x、z轴 ? m包含y、z轴 ? m在其他位置 ? ( m包含x、y轴) m包含x、z轴 ? m包含y、z轴 ? m在其他位置 ?
对称心之对称操作 对称心(C, 1) 结晶学与矿物学 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z) 变换矩阵：
结晶学与矿物学 对称心之对称操作 对称心(C, 1) 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z)
对称心之对称操作 对称心(C) 结晶学与矿物学 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z) Step 1: rotate 360o/1 (identity)?
对称心之对称操作 对称心(C) 结晶学与矿物学 假想的几何点，相对于这个点的反伸 (x, y, z) (-x, -y, -z) Step 1: rotate 360o/1 Step 2: invert
倒转轴(Lin)之对称操作 种类 Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P 倒转轴 结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸 = 对称轴＋对称心 变换矩阵： 种类 Li1 = C Li2 = P Li3 = L3 +C Li4 Li6 = L3 +P
结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例
结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例
结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例 Step 1: Rotate 360/4
结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert
结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert
倒转轴(Lin)之对称操作 Li4为例 倒转轴 结晶学与矿物学 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert
倒转轴(Lin)之对称操作 Li4为例 倒转轴 结晶学与矿物学 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert
倒转轴(Lin)之对称操作 Li4为例 倒转轴 结晶学与矿物学 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert
倒转轴(Lin)之对称操作 Li4为例 倒转轴 结晶学与矿物学 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert
倒转轴(Lin)之对称操作 Li4为例 倒转轴 结晶学与矿物学 Step 1: Rotate 360/4 Step 2: Invert
结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li4为例 4-fold rotoinversion ( 4 )
结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li3 3-fold rotoinversion ( 3 ) 3 5 1 4 2 6
结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴 Li6 6-fold rotoinversion ( 6 ) Top View
结晶学与矿物学 倒转轴(Lin)之对称操作 倒转轴对称操作之图解
映转轴(Lsn)之对称操作? 结晶学与矿物学 L1i = L2s = C； L2i = L1s = P； L3i = L6s = L3 + C； L4i = L4s； L6i = L3s = L3 + P
结晶学与矿物学 对称元素的组合 二次轴(L2)+对称面(P)
结晶学与矿物学 对称元素的组合 二次轴(L2)+对称面(P) Step 1: reflect
结晶学与矿物学 对称元素的组合 二次轴(L2)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate
对称元素的组合 二次轴(L2)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 结晶学与矿物学 Is that all?? No! A second mirror is required ! So, L2 + P = L2 2P (2-D)
结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P)
结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect
结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 1
对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 1 结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 1 Step 3: rotate 2
对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 1 结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Step 1: reflect Step 2: rotate 1 Step 3: rotate 2 Step 4: rotate 3
对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Any other elements? Yes, two more mirrors 结晶学与矿物学 对称元素的组合 四次轴(L4)+对称面(P) Any other elements? Yes, two more mirrors So, L4 + P = L4 4P (2-D)
结晶学与矿物学 对称元素的组合 三次轴(L3)+对称面(P) L3 + P = L3 3P (2-D)
结晶学与矿物学 对称元素的组合 六次轴(L6)+对称面(P) L6 + P = L6 6P (2-D)
对称元素的组合 Ln P(||) Ln n P Ln L2() Ln nL2 结晶学与矿物学 对称元素的组合 Ln P(||) Ln n P Ln L2() Ln nL2 Ln P() = Ln C Ln P C (n =偶数) Lni P(||) = Lni L2() Ln i nL2 nP (n =奇数) Lni P(||) = Lni L2() Ln i n/2L2 n/2P (n =偶数)
结晶学与矿物学 对称元素的组合 几个实际的例子
点群(对称型)及其符号 宏观晶体中所有对称元素的集合 什么是点群(point group)? 结晶学与矿物学 点群(对称型)及其符号 什么是点群(point group)? 宏观晶体中所有对称元素的集合 10 unique 3-D symmetry elements: 1 2 3 4 6 i m 3 4 6 And 22 possible combinations of these elements Totally, 32 point groups
结晶学与矿物学 点群 (对称型)及其符号
点群 (对称型)及其符号 有多少种点群? 32种 (见 .gif文件) 如何得到的? 推导? 如何用符号表达? 习惯符号 国际(H-M)符号 结晶学与矿物学 点群 (对称型)及其符号 有多少种点群? 32种 (见 .gif文件) 如何得到的? 推导? 如何用符号表达? 习惯符号 国际(H-M)符号 圣佛利斯(Schoenflies)符号 参见教材: P33，表3－3
结晶学与矿物学 点群及其符号 教材：P35～36
点群及其符号 点群的国际符号 最多有三个位, 分别代表不同方向 如mmm, 432, 4/m…… 了解不同位之间的关系 结晶学与矿物学 点群及其符号 点群的国际符号 最多有三个位, 分别代表不同方向 如mmm, 432, 4/m…… 了解不同位之间的关系 全面掌握(!)32种点群的国际符号
4/mmm 点群及其符号 点群的国际符号 结晶学与矿物学 1 2 3 P91, 表7－5 1 2 3 1 2 3 晶系 三个位所表示的方向(依次列出) 等轴 c a+b+c a+b [001] [111] [110] 四方 a [100] 斜方 b [010] 单斜 三斜 任意方向 三六方 2a+b [210] 1 2 3 1 2 3
晶体的对称分类 晶族(crystal category)的划分 问题: 结晶学与矿物学 根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族 高级晶族(higher category) 中级晶族(intermediate category) 低级晶族(lower category) 问题: 什么是高次轴? 最多有多少高次轴?
晶体的对称分类 晶系(crystal system)的划分 参见教材: P34，表3－4 结晶学与矿物学 根据对称轴或倒转轴轴次的高低以及它们数目的多少，总共划分为如下七个晶系, 分属于三个晶族 等轴晶系(isometric system), 又称立方晶系(cubic system) 六方晶系(hexagonal system) 四方晶系(tetragonal system) 三方晶系(trigonal system) 斜方晶系(orthorhombic system), 亦称正交晶系 单斜晶系(monclinic system) 三斜晶系(triclinic system) 参见教材: P34，表3－4
结晶学与矿物学 晶体的对称分类 晶体的对称分类: 参见教材: P34，表3－4 --- the below and next page
32种点群的Wulff投影 See java applet