Rainfall QC – Kriging Method 田 璦 菁 中央大學土木工程研究所 報告者 陳薏蘋

Kriging method起源 克利金法起源於地質學家研究南非礦冶工程，用以討論地下水分布問 題。主要以區域化變數理論探討自 然資源在空間上分佈之相關性，並 應用於勘查及推估自然資源上。

Kriging Method基礎概念 Kriging其基本假設為期望值與變異數 只和隨機變數的距離有關，而與其所 在空間無關。應用區域化變數所具有 之特點，分別發展出不同點或區塊等 推估系統方程式。

區域化變數理論 定義:自然現象在空間與時間中之隨機 變異的分佈，表現出空間及時間 結構，稱之為區域化。統計學上 常用一種空間隨機函數(Random Function) Z(x)，表示為任何有關 之參數，稱之為區域化變數 (Regionalized Variable)。

1. 定常性假設(Statiionary Hypothesis) (a) 在不同位置之隨機變數的期望值為一定值 基本假設 1. 定常性假設(Statiionary Hypothesis) (a) 在不同位置之隨機變數的期望值為一定值 E[Z(x)] = μ = const μ:平均值 (b) 不同位置的隨機變數之變異數為一定值 Var[Z(x)] = σ2 = const

= E{[Z(x)-μ][Z(x+h)-μ]} = Cov(h) (c) 空間中任意兩個位置之隨機變數Z(x)與 Z(x+h)之共變異函數(Covarance)只與其兩 點之相對距離有關，與其個別所位置無關 Cov[Z(x), Z(x+h)] = E{[Z(x)-μ][Z(x+h)-μ]} = Cov(h)

2. 內在假設 (Intrinsic Hypothesis) 定常性假設變異函數必須存在，且變異函 數應為有限值，但實際上許多物理現象並不滿足其假設。故提出內在假設，即不同 位置的隨機變數之差為一隨機變數，且期 望值與變異數只和隨機變數間之距離有關 ，與位置無關。當符合以下條件即滿足內 在假設。

(a) 空間中任意兩個位置之隨機變數，其差值期望為兩個點間的函數 E[Z(x+h)-Z(x)]=m(h) (b) 空間中任意兩個位置之隨機變數Z(x)與Z(x+h)的變異函數，和所在位置無關， 等於兩倍的半變異元函數 Var[Z(x+h)-Z(x)]=2γ(h) γ(h):半變異元函數(Semi-Variogram)

半變異元分析 半變異元的區域化變數可依特定方向但不同位 置的隨機函數之差來表之，其定義為 變異元γ*(h) ，可用算數平均值之方法來計算 γ(h) = ½ E[Z(x)-Z(x+h)] 2 由觀測值所以計算得知的半變異元，稱為試驗半 變異元γ*(h) ，可用算數平均值之方法來計算 Z(xi):位於x點的觀測值 Z(xi+):位於x+h之觀測值 h:平均距離 N(h):配對數

半變異圖 由半變異圖可知: (a) 臨界變異值 (b) 影響範圍 (c) 碎塊效應

半變異圖模式 半變異圖模式須滿足半 變異的結構及維度條件 ，為決定γ(h)需選用已 滿足正定條件的模式。 Kriging變差函數進行最 佳推估。

拉格蘭茲乘數 (Lagrange Multipliers) Langrange Multipliers主要應用於多變數計算，用以簡 化方程式。欲求一個函數的極限，很難用一個封閉的 方程組求之，因此必須應用一些限制條件來使函數的 差異降至最低。由於變數眾多，使方程組變的複雜， 故為了解決這些問題而發展出Langrange Multipliers， 其可以不用考慮太多的限制條件，對於額外的變數可 以忽略，只考慮有興趣的部份。

f(P) = μg(P) F(P, μ)=f(P) - μg(P)

Kriging推估法 特性: 針對區域化變數所具有之特性， 發，如定常性假設及單一或多個 變數等性質，分別發展出不同點 或區域的推估系統方程式，具有 最佳線性不偏推估的特性。

最佳線性不偏推估 線性(Linear): 估計值為觀測值之線性組合 (1-1) zi :隨機變數 z(x)在xi點上之觀測值，即z(xi) :為z(x0)之推估值，即z*(x0) :為對應zi之權重

不偏估(Unbiased): 估計值之期望值等於隨機變數 E[ ] = E[Z0] (1-2) E[ - Z0]= 0 最佳化(Optimal): 估計值與觀測值差之變異數為 最小值 min{Var ( - Z0)= E( - Z0)2]} (1-3)

由(1-1)式可知 為求最佳化之推估結果，將(1-1)代入(1-3)，並 且為同時滿足最佳化和不偏估等兩個特性，故 用拉格蘭茲法引入拉格蘭茲參數μ Var[z*(x0) – z(x0)]=Var[z*(x0)] –Var[z(x0)] Var [z*(x0)]= μ –Var[z(x0)]= μ

上式可改寫為 L= Var[z*(x0) – z(x0)]-2μ = E{[z*(x0) – z(x0)]2}-2μ = 將上式對λ0i及μ偏微分，並令微分式等於0，即可求得 克利金系統方程式及克利金變異數

克利金系統方程式 令 可得克利金系統方程式

其中 矩陣 表非觀測值之間相關特性 表示觀測點與推估點間之相關特性 為權重係數，可直接由相對距離所 控制之克利金系統方程式決定，而 不需要觀測點之觀測資料

克利金系統方程可求得最佳估計權重λ0i ，將 克利金變異數 克利金系統方程可求得最佳估計權重λ0i ，將 最佳估計權重代回(1-1)及克利金矩陣形式，即 可分別求得最佳不偏推估值及對應之克利金變 異數。

Summary 克利金推估方法雖然是現今水文分析領域中，常 使用的一種空間統計內插方法，但在水文分析中， 經常遇到需要估算遺失資料或尚未設置測站觀測 資料的情況，由於降雨內插估計包含太多不確定 性，所以目前尚未有一種空間內插方法，可以顧 及到所有降雨空間之統計特性。