第十二章 單因子變異數分析

F分配FDIST() FDIST(F,分子的自由度,分母的自由度) FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2) F為用來求算此函數的F值。由於F值是兩個均方相除： 故其自由度有兩個，一為分子的自由度；另一個為分母的自由度。且 因分子分母均為正值（均方），故其分配僅在0之右側而已。 本函數在求：於某兩個自由度下之F分配中，求自右尾累計到F值的總 面積（機率）。即傳回F分配之右尾累計機率值（下圖之陰影部份）：

F分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。範例Ch12 F分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。範例Ch12.xlsx 『FDIST』工作表，為自由度(2,10)與（3,15）之情況下，不同F值所求得之 右尾累計機率：

F分配反函數FINV() FINV(左尾機率,分子的自由度,分母的自由度) FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2) 本函數用以於已知自由度之F分配中，求某累計機率所對應之F值。 由於F分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。範例 Ch12.xlsx『FINV』工作表，是以自由度為(2,10)之情況下，所求得 之結果： 有了此函數，即可省去查『附錄五 F分配的臨界值』F分配表之麻煩。

馬上練習 查兩個自由度（d.f.）分別為1~10之情況下，單尾機率為5%之F值： （詳範例Ch12.xlsx『F分配的臨界值』工作表）

F檢定FTEST() 各樣本之母群體為常態分配(normality) 各樣本之母群體為獨立(independence) 變異數分析(Analysis-of-Variance簡稱ANOVA)，為統計學家費雪 (Fisher，R.A.)首創，最常被用來檢定兩常母體之變異數是否相等（即， 變異數同質性的檢定）與檢定多組（大於兩組）母群平均數是否相等？ （若為兩組則採用t檢定或z檢定） 要使用變異數分析的基本假設為： 各樣本之母群體為常態分配(normality) 各樣本之母群體為獨立(independence) 各組樣本之母群體變異數相同(homogeneity-of-variance)

兩常態母體之變異數檢定 FTEST(範圍1,範圍2) FTEST(array1,array2) 可傳回兩組資料（樣本數允許不同），變異數是否存有顯著差異的F檢 定之右尾機率值（P值）。判斷檢定結果時很簡單，只須看此P值之二 分之一是否小於所指定顯著水準之α值。（按理，係雙尾檢定，但通常 會將數字大者當分子，故只須看右尾之臨界值即可） 本函數，可用來測試兩組樣本的變異數是否相同？即變異數同質性的 檢定，其虛無假設與對立假設分別為： H0:σ12=σ22（兩變異數相等） H1:σ12≠σ22（兩變異數不等）

假定，要檢定甲乙兩班之母體變異數是否相同（α=0. 05）？隨機抽得範例 Ch12 假定，要檢定甲乙兩班之母體變異數是否相同（α=0.05）？隨機抽得範例 Ch12.xlsx『F-TEST1』工作表之資料，以 =FTEST(B2:B10,C2:C11)/2 求得其右尾機率（P值）並將其除以2，其值為0.043<α=0.05，故應棄卻兩變 異數相等之虛無假設：

同樣之例子，若使用『資料分析』增益集。其處理步驟為：（詳範例 Ch12.xlsx『F-TEST2』工作表） 切換到『資料』索引標籤, 點選『分析』群組『資料分析』鈕（#圖Ch12- DataAnalysis）, 於『分析工具』處選選「F-檢定：兩個常態母體變異數的 檢定」 續 鈕

於『變數1的範圍』與『變數2的範圍』處，設定兩組資料之範圍（B1:B10與 C1:C11） 點選「標記(L)」（因兩組資料均含『甲班』、『乙班』之字串標記） α維持0.05 設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之E2位置

依此結果：自由度為(8,9)，F值3. 4192>臨界值3. 2296（F10處之P值0. 0426<α=0 依此結果：自由度為(8,9)，F值3.4192>臨界值3.2296（F10處之P值0.0426<α=0.05，同於B15之值；E15處以FINV所算得之F值為3.419，同於F9之值），故可知甲乙班之變異數有顯著差異。（應棄卻兩變異數相等之虛無假設） 按 鈕結束，即可獲致檢定結果

FTEST()函數實際上是以 計算求得F值，再代入FDIS()以(n1-1,n2-1)為自由度，求得其右尾機率。如以 前面例子n1=9、n2=10、 、 此值恰等於詳範例Ch12.xlsx『F-TEST3』工作表中，B16以FINV()函數所計 算之結果。將其代入FDIS()以(8,9)為自由度，求得其右尾機率為0.0426，恰 等於B15以FTEST()函數所計算之結果（該值係將雙尾機率除以2）：

先檢定變異數再進行均數檢定 當以t檢定，進行兩獨立樣本（小樣本）均數檢定時，將視其變異數相 同或不同，而使用不同之計算方法。實務上，很多知名的統計套裝軟 體（如：SPSS、SAS），就先以F檢定，判斷其變異數是否相同？然 後再進行適當之t檢定。 如，要對範例Ch12.xlsx『F&T』工作表之資料，進行兩班抽樣成績 之均數檢定：

以前，我們是假設變異數相等（或不等）後，才來進行t檢定。但這種假設合 理否？誰都不知道！所以，就先以F檢定，判斷其變異數是否相同： 由其F10處之P值為0.27>α=0.05，故無法棄卻兩變異數相等之虛無假設。

由於，F檢定之結果顯示甲乙兩班之變異數相等。故可使用『t檢定：兩個母 體平均數差異檢定，假設變異數相等』之方法進行檢定。假定，要判斷在 α=0.05之顯著水準下，乙班之平均成績是否高過甲班？由於是變異數相同，t 檢定之類型為2。且虛無假設與對立假設分別為： H0:μ1≧μ2 H1:μ1<μ2 故此類檢定為單尾檢定。所以，以 =TTEST(C2:C11,B2:B10,1,2) 或以『資料分析』之「t檢定：兩個母體平均數差異檢定，假設變異數相等」 增益集：

均可進行檢定： 無論由B16或F27之單尾P值來看，均顯示其值0.1856>α=0.05，故仍無法棄 卻兩班之均數相等的虛無假設，所以並無法證明乙班之平均成績會高過甲班。

馬上練習 以範例Ch12.xlsx『F&T馬上練習』工作表，利用F檢定，判斷北區與 南區給予剛畢業之大學生的薪資變異數是否相等（α=0.05）？續以適 當之t檢定，判斷北區給剛畢業之大學生的平均薪資是否高過南區 （α=0.05）？

由其G10處之P值為0.17>α=0.05，故無法棄卻兩變異數相等之虛無假設，故得使用兩個母體變異數相等之均數檢定：

單因子變異數分析（ANOVA） 變異數分析的另一種用途，是用來檢定多組（>2）母群平均數是否相 等？亦即，Z與t檢定是用於兩組資料比較平均數差異時；而比較二組 以上的平均數是否相等時，就須使用到變異數分析。其虛無假設與對 立假設為： H0:μ1=μ2=…=μk（每組之均數相等） H1:至少有兩個平均數不相等 假定，範例Ch12.xlsx『ANOVA』工作表資料，為調查各地區對政府 施政的整體滿意程度（滿分為100分），試以α=0.01之顯著水準，檢 定各地區之滿意程度是否存有顯著差異？

本例，以使用『資料分析』進行處理最為便捷。其步驟為： 切換到『資料』索引標籤, 點選『分析』群組『資料分析』鈕, 於『分析工具』 處選「單因子變異數分析」 續按 鈕

於『輸入範圍』處，設定三組資料之範圍，選取可包括所有資料之最小範圍 即可（本例為B2:D12，別管其內可能仍含有空白儲存格） 將『分組方式』安排為「逐欄(C)」 點選「類別軸標記在第一列上(L)」（因各組資料均含標題之字串標記） α設定為0.01 設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之G2位置

按 鈕結束，即可獲致單因子變異數分析之ANOVA表 依此結果：自由度為(2,24)，F值10.79886>臨界值5.61（L13處之P值 0.00045<α=0.01），故可知三個地區之整體滿意度存有顯著差異。南區的滿意 度86.5要比其餘兩區（66.30與79.89）來得高。

馬上練習 某公司於報紙上進行廣告，範例Ch12.xlsx『廣告ANOVA』工作表， 為不同方式廣告當天所獲得之回應人數： 試以α=0.05之顯著水準，檢定不同方式廣告之回應人數是否存有顯著 差異？

答案：F=6. 56，d. f. =3,19，P-值=0. 00，不同方式廣告之回應人數間存有顯著 差異。全版與半版廣告之回應人數（1173

馬上練習 答案：F=0.46，d.f.=2,32，P-值=0.64，大學生每月刷卡金額並不會因其零用金來源不同而存有顯著差異。 依範例Ch12.xlsx『信用卡刷卡金額』工作表 試以α=0.05之顯著水準，檢定大學生每月刷卡金額是否隨零用金來源 不同而存有顯著差異？

馬上練習 將範例Ch12.xlsx『手機平均月費』工作表之內容 將其整理成僅剩有手機者（刪除無手機者），並以居住狀況分組：

試以α=0.05之顯著水準，檢定大學生每月手機月費是否隨其居住狀況不同而 存有顯著差異？ 答案：F=6.887，d.f.=2,116，P-值=0.001＜α=0.05，故大學生每月手機月費將隨其居住狀況不同而存有顯著差異，住家裡最高（572.36）、其次為住校外（447.59），最後為住學校宿舍（319.43）。這可能與住學校者較為節儉有關。

量表的檢定—多組 對於如： 等之評價量表，我們也經常得進行分組檢定。看對某一屬性之注重程 度，是否會因組別不同而有顯著差異？

若僅分兩組，係以『資料分析』之「Z檢定：兩個母體平均數差異檢定」來進 行檢定。若組數為兩組以上，則以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進 行檢定。 以範例Ch12.xlsx『擁有手機時間長短X附屬功能多屬性』工作表，其內僅安 排一個『附屬功能多』評價項目（非常重要-5、……、非常不重要-1）及擁有 手機之時間長短資料（1.未滿六個月、2.六個月至一年、3.一年~一年半、4.一 年半以上）：

由於分組結果超過兩組，故得以『附屬功能多』之「單因子變異數分析」來進 行檢定。先將其資料整理成：

然後，以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定

其檢定結果為：

由於本例之虛無假設及對立假設為： H0:μ1=μ2=…=μk（每組之均數相等） H1:至少有兩個平均數不相等 α=0.05 依此結果：F=2.9767，d.f.=3,115，P-值=0.0345＜α=0.05，故大學生對『附 屬功能多』評價項目的注重程度，將隨其擁有手機時間長短而存有顯著差異。 擁有手機時間一年～一年半者的注重程度（2.79），低於其他各組（3.45以 上）。

馬上練習 依範例Ch12.xlsx『擁有手機時間長短X雙頻手機屬性』工作表內容 將其資料整理成：

然後，以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定大學生對『雙頻手 機』評價項目的注重程度，是否隨其擁有手機時間長短而存有顯著差異？ 依此結果：F=2.747，d.f.=3,115，P-值=0.046＜α=0.05，故大學生對『雙頻手機』評價項目的注重程度，將隨其擁有手機時間長短而存有顯著差異。擁有手機時間一年半以上者的注重程度（4.2），高於其他各組。

於報告上量表檢定的寫法-多組 通常，我們問卷上的評價量表，絕不會是少數的幾個評價項目而已。 以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定，也是得一個一 個進行檢定，其過程相當辛苦。這也是沒辦法的事，主要是Excel並不 是專門的統計軟體，能做到這樣也算是不錯的了。 最後，將其彙總成下表：（詳範例Ch12.xlsx『手機屬性-ANOVA』工 作表）

檢定結果顯著者，於其P值後加註"*"（表其＜α=0.05），並於報告中對其詳 將解釋；檢定結果不顯著者，則僅解釋其重要程度之排序即可。如： 根據調查解果，受訪者較注重之手機屬性，依序為：『收訊狀況佳』、『電磁 波的傷害』、『待機時間長』、『大小適中』與『重量輕巧』。 經逐一以F檢定，以擁有手機時間長短分組，對其注重程度進行檢定，發現有 『附屬功能多』與『雙頻手機』等屬性之注重程度會隨擁有手機時間長短不同， 而有顯著差異（P<α=0.05）。這些項目，均是『一年~一年半』組的著重程度 較低，可能是剛開始有手機者，會較注重這些項目，隨時間增長，慢慢地發現 其實這些項目也沒多大重要性；至於，『一年半以上』者，可能或真正發現沒 這些功能的不便性，或許也開始考慮要換手機，故其注重程度又明顯的高於其 他各組。

第十二章 結束 謝謝！