氣體動力論 §13-1 理想氣體方程式 §13-2 氣體動力論 §13-3 溫度與分子平均動能 選讀材料：熱力學第一定律 §13-4 布朗運動 §13-5 分子速率的分布

§13-1理想氣體方程式 1. 波以耳定律： 2. 查理-給呂薩克定律： 1662年，英國化學家波以耳從實驗研究中發現，密閉容器內定量的低密度氣體，若氣體溫度 T 維持不變，其壓力 P與其體積 V 成反比。即 PV = 定值。 2. 查理-給呂薩克定律： 定容的查理－給呂薩克定律：密閉容器內的低密度氣體，若氣體體積 V 維持不變，其壓力 P 與絕對溫度 T 成正比。即 V / T = 定值 定壓的查理－給呂薩克定律：密閉容器內的低密度氣體，若氣體壓力 P 維持不變，其體積 V 也與絕對溫度 T 成正比。即 P / T = 定值

定容的查理與給呂薩克定律： 定量的低密度氣體其體積保持不變時，溫度每升高 1 ℃，其壓力增加 0℃ 時壓力的 1∕273.15。 t（攝氏） 氣壓 P

定壓的查理與給呂薩克定律： 定量的低密度氣體其壓力保持不變時，溫度每升高 1 ℃，其體積增加 0℃ 時體積的 1∕273.15。 t（攝氏） 體積 V

3. 理想氣體方程式： 綜合波以耳定律、查理-給呂薩克定律可以得到，當氣體處於低密度狀態時，其壓力 P，體積 V，溫度 T 和莫耳數 n 之間的關係為 R 是與氣體種類無關之常數，稱為理想氣體常數 http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/

例題：一氣缸中裝有 3 莫耳之理想氣體，設活塞與氣缸壁間之摩擦可以略去，氣體之起始溫度為 300K，體積為 0 例題：一氣缸中裝有 3 莫耳之理想氣體，設活塞與氣缸壁間之摩擦可以略去，氣體之起始溫度為 300K，體積為 0.45 m3。今再將 1 莫耳的同種理想氣體緩緩灌入氣缸，並將其溫度冷卻至 250K。設氣缸外壓力維持不變，則最後平衡時，氣缸中氣體的體積為 __________。 [88.日大] 答案：0.5 m3

例題：兩同體積之氣室以一體積可以忽略之細管相連通，兩氣室內含有一大氣壓、27℃之氦氣。若將其中一氣室加溫至127℃，另一氣室降溫至 - 73℃，則氣室中之氦氣之最終壓力為__________大氣壓。 [88.日大]

例題：某君找到一根玻璃毛細管，其中空部分的截面積為 0 例題：某君找到一根玻璃毛細管，其中空部分的截面積為 0.1公分2，長為 120公分。若要作成可以測量 0°C 至 100°C 間溫度之氣體溫度計，應選擇下面哪一種容器最為適當？ (A)250cc.平底燒瓶 (B)200cc.味全奶瓶 (C)100cc.養樂多膠瓶 (D)50cc.藥瓶 (E)25cc.試管。 [67.日大] 答案：E

例題：一定質量之理想氣體，在 PT（壓力－絕對溫度）圖上，由狀態 a 經圖中所示之過程再回到原狀態。圖中 ab 平行於 cd，且 ab 之延長線通過原點。下列敘述何者正確？ (B) b 到 c 之過程體積減少 (C) c 到 d 的過程體積不變 (D) d 到 a 的等壓過程中體積增加 (E) 狀態 c 之體積最小。 [82.日大] a b c d P T e 答案：ABDE

§13-2 氣體動力論 1. 氣體動力論的發展史： 1678年，英國人虎克首次用組成氣體的粒子不斷撞擊器壁（如右圖），來解釋氣體壓力的產生。 1857年，克勞休斯利用一簡化的氣體模型，假設容器中的氣體分子只在垂直於容器壁的路徑上運動，由此導出理想氣體的定律。 1859年，馬克斯威爾由更符合真實情況的理想氣體模型導出溫度與理想氣體分子平均動能的關係式。 合力 F

2. 理想氣體模型的基本假設： 理想氣體是由極大數目的分子所組成，且分子的運動是無規則的，因此在任一段時間內，向各方向運動的分子數目皆相同。 分子與分子間距離比分子直徑大得多，因此通常在低密度下，氣體分子本身的總體積與氣體占有空間的體積相比是極微小的。 分子可視為小剛球，當其互相間的碰撞或與容器壁的碰撞是作彈性碰撞，並且遵守牛頓運動定律。碰撞時間極短，除碰撞外，分子間沒有相互作用力，所以在兩次碰撞之間分子作等速直線運動。

3. 理論的推導： y 考慮一邊長為 L、容積為 V（= L3）的正立方密閉容器，如右圖，內含 N 個相同的氣體分子，每個分子質量均為 m。 若器壁是光滑之剛體，則分子與器壁的碰撞呈彈性碰撞。第 i 個分子與 A x 面碰撞後，其速度與此面平行的分量 v i y 與 v i z 將不改變，如右圖所示，僅 v i x 分量在碰撞後變成 - v i x，即此分子之動量變化的量值 Δp i = 2mv i x。 L y x z y x z

假如這個氣體分子彈回去後未與其它氣體分子發生碰撞，彈到對面器壁彈回來再一次碰到這面器壁所經過的時間 這個氣體分子不斷的來回碰撞這面器壁，對這面器壁所產生的平均撞擊力 全部氣體分子撞擊 A x 面所給予之總撞擊平均力為

這個平均撞擊力在 A x 這面器壁所造成的壓力 或 以上的結果是在假設氣體分子間不發生碰撞所得，實際上氣體分子間時常會互相碰撞。兩分子間的碰撞如為彈性碰撞，很容易證明碰撞後速度互換。因此並不會影響所推導出來的最後結果。

例題：假設一氣體容器的器壁上有一微小面積，氣體分子在該處反射後的速率為入射速率的 3∕4，則在該處的壓力為器壁上他處壓力的 [65.日大] (A) 1∕4 (B) 1∕2 (C) 3∕4 (D) 5∕8 (E) 7∕8。 答案：E

例題：氦分子的質量為 6.64 × 10 -27 公斤。若每秒有 10 23 個氦分子與器壁垂直方向成 60 o 角撞擊面積為 2 × 10 -4 平方公尺的器壁上，其速率為 10 3 公尺∕秒，則施於器壁的壓力為若干？ 答案：3.32 x 10 3 牛頓∕公尺2

例題：1 莫耳的氦氣在 1 大氣壓下，其體積為 22.4公升，則每個氦分子的平均動能為何？ 答案：5.65 × 10 －21 焦耳

§13-3 溫度與分子平均動能 溫度與平均動能的關係： 首先將理想氣體的物態方程式改寫成

2. 方均根速率： 即氣體分子的平均動能與氣體的絕對溫度成正比，或溫度的本質可看成是分子平均移動動能的度量。 方均根速率並不等平均速率，但與平均速率接近，分子的平均速率不容易計算，而方均根速率，利用之前的公式可導出下面的關係式

例題：將一理想氣體，在等壓條件下，使其體積增為兩倍。系統達平衡之後，下列敘述何者正確？ (A)質量密度為原來的 1∕2 倍 (B)分子方均根速率為原來的兩倍 (C)分子總動量與原來相同 (D)溫度為原來溫度的兩倍 (E)分子平均動能為原來的兩倍 [85.日大] 答案：ACDE (C) 總動量始終為零

例題：1997年若貝爾物理獎得獎者主要的貢獻是發展出以雷射冷卻原子的方法。某實驗室以此方法將納（23 Na） 原子冷卻後，測得這些氣態納原子的方均根速率為 0.20 公尺∕秒；若系統可視為理想氣體，則這些納原子的絕對溫度為為若干？

例題：已知氫分子（H2）之方均根速率在室溫（300K）時約為 2000公尺∕秒，則氧分子（O2）之方均根速率在1200K 時約為 (A)500公尺∕秒 (B)1000公尺∕秒 (C)2000公尺∕秒 (D)4000公尺∕秒 (E)8000公尺∕秒。 [83.日大] 答案：B

例題：在地球表面，若空氣平均一分子的重量為 5. 0 × 10 -25牛頓，地球的半徑為 6 例題：在地球表面，若空氣平均一分子的重量為 5.0 × 10 -25牛頓，地球的半徑為 6.4 × 10 6 米，則空氣分子要逃離地球表面時，地球表面的溫度至少須為若干？ [72.日大]

例題：某容積不變之密閉容器中裝有氦氣，最初溫度為攝氏零下 173 度，若溫度升高為攝氏 127 度，則其中氦分子每秒撞擊器壁之次數變為最初之 __________ 倍。 答案：2

例題：有一充滿氦氣的氣球，由一大氣壓的地面升至 0 例題：有一充滿氦氣的氣球，由一大氣壓的地面升至 0.5 大氣壓的高空。假設氦氣的溫度不改變，又氣球皮的張力可忽略，則每單位時間撞到氣球皮單位面積的分子數為在地面時的幾倍？ [63.日大] 答案：原來一半

選讀材料：熱力學第一定律 1. 氣體分子的內能： 理想氣體分子間幾乎無作用力，因此分子間的位能可以忽略掉，氣體分子的內能即為分子的總動能，以符號 U 表示，如為單原子理想氣體 如為多原子分子的氣體，則除了移動動能外還需考慮轉動動能。有一定理稱為均分定理告訴我們，氣體分子運動時，每一自由度貢獻 1∕2 kT 的動能。對於雙原子的分子，移動加轉動共有五個自由度，因此氣體的內能

2. 熱力學第一定律： 根據能量的觀念，一個理想氣體系統可透過吸放熱或作功的形式與外界產生能量的轉移。因此一理想氣體的內能可以藉由熱量吸收 ΔQ 而增加，會因為對外做功 W 而減少，由能量守恆的原理，一系統的內能變化量為 這個關係式稱為熱力學第一定律，為能量守恆的敘述。 3. 氣體對外所作的功： 如右圖，考慮一裝有活塞（面積為 A）的圓柱形容器，內有壓力為 P 的氣體，若壓力保持不變，活塞產生了一小段位移Δx ，則氣體對外作功 F Δx A P ΔV

氣體的體積如不改變，則氣體對外界不作功。如氣體體積變化的同時，壓力也在改變，則氣體對外界所作的功可由其 P - V 圖求所圍面積。 4. 在孤立系統中將不同的氣體混合 將幾種不同的氣體加以混合，氣體如不產生化學變化，且在混合過程與外界無能量的交換，則混合後總內能保持守恆。例如兩種氣體，混合前的壓力分別為 P1、P2，體積分別為 V1、V2，溫度分別為 T1、T2，混合後達平衡時壓力變為 P，體積為 V，溫度為 T，則由內能守恆可得到下列關係式：

5. 氣體的莫耳比熱： 定容下：氣體在定容下不對外作功，則熱量變化量等於內能變化量 因此莫耳比熱

定壓下：單原子分子的氣體，在定壓下對外所作的功 因此熱量變化量 莫耳比熱

例題：一密閉於隔熱活塞筒內之氣體，若推動活塞壓縮之，則 (A)氣體之壓力增加 (B)氣體之溫度升高 (C)氣體之內能增加 (D)氣體分子之平均速率不變 (E)氣體之密度增加。 [66.日大] 答案：ABCE 說明：外界對氣體作正功，氣體內能增加，因此溫度升高，壓力變大，平均速率增加

例題：將一莫耳的單原子分子理想氣體加熱，使其溫度從27℃升至 327℃，則下列敘述中何者正確？ (A)此系統的分子方均根速率增大為原來的兩倍 (B)若加熱過程中，體積維持一定，則此系統的氣體分子總能 量（分子的總移動動能）增大為原來總能量的兩倍 (C)若加熱過程中，壓力維持一定，則此系統的氣體分子總能 量仍增大為原來總能量的兩倍 (D)加熱過程中，無論是體積維持一定，或壓力維持一定，對 此系統需要輸進的熱量均相等。 [77.夜大] 答案：BC

例題：一理想氣體物系由狀態 a 經途中所示之過程再回到狀態 a。 求每一過程（a → b，b → c，c → d，d → a）中物系所作的功 試判斷每一過程中物系是吸熱或放熱，並說明你的理由。 物系回到 a 狀態後，內能之變化為多少？請說明你的理由。 [75.日大] 壓力 容積 a b c d P1 P2 V1 V2

例題：設於某一密閉容器中裝有一莫耳之單原子理想氣體，其溫度由 300K 升高至 600K。設容器之體積不變，則下列敘述何者正確？ (A)氣體的密度為原來的兩倍 (B)氣體的壓力為原來的兩倍 (C)氣體分子之方均根速率為原來的兩倍 (D)氣體分子之平均動能為原來的兩倍 (E)在升溫過程中氣體共吸熱 3.74 × 10 3 焦耳。 [84.日大] 答案：BDE

例題：在室溫時，甲容器體積為 V，內有氦氣，壓力為 2P，乙容器體積為 V∕3，內有氦氣，壓力為 P，把乙容器之氦氣全部加到甲容器內，若氦氣可視為理想氣體，並假設溫度不變，則甲容器內的壓力變為 P 的________倍。 [83.日大]

例題：一絕熱密閉容器以一絕熱的中間隔板隔成左、右二室。二室分別封存相同之單原子理想氣體。左室中氣體體積為 V，莫耳數為 n，絕對溫度為 T；右室中氣體體積為 2V，莫耳數為 2n，絕對溫度為 2T。今將中間隔板抽去，令左、右二室氣體混合，平衡後容器中氣體之壓力為左室起始（未抽去中間隔板前）壓力的 __________倍。 [90.日大]

例題：兩絕熱容器內充以相同的理想氣體，兩者的壓力、體積和溫度分別是（P，V，T1）及（P，2V，T2）。在兩者連通混合達平衡之後，氣體的絕對溫度為__________。 [85.日大]

例題：兩個絕熱容器內裝有相同的理想氣體，壓力相等，其中一個容器體積為 Ｖ，溫度為 150 Ｋ，另一個容器體積為 2V，溫度為 450K。若使這兩個容器相通，則熱平衡時氣體之溫度為何？

例題：有兩種理想氣體，其氣體分子的質量，平均速率及分子數分別為 m1、m2、v1、v1、N1 及 N2。兩者混合且平衡後第一種分子的平均速率為何？ [68.夜大]

例題：使 2 莫耳理想單原子氣體在定容下，溫度由 27℃加熱至127 ℃ 需吸收熱量幾焦耳？如在 1atm 的定壓下進行，則所需吸收熱量幾焦耳？ 答案：約 2459 焦耳 約 4159 焦耳

§13-4 布朗運動 1. 布朗運動： 2. 布朗運動現象的解釋： 1827年布朗在研究植物授粉的過程中，意外發現顯微鏡下懸浮水中的花粉微粒，竟然不停地作不規則的折線運動（如右圖）。這種懸浮在液體中微小顆粒的運動，稱為布朗運動。 2. 布朗運動現象的解釋： 花粉微粒隨時受各方的液體分子所衝擊 折點部分：乃微粒受各方分子撞擊不平衡，合力不為零。直線部分：微粒受各方分子撞擊平衡，合力為零。

3. 布朗運動的意義： 4. 影響布朗運動的因素： 布朗運動證實了分子是不停地在運動，而且溫度愈高其運動便愈劇烈，這種運動通常稱為熱運動。 溫度愈高，水分子運動的速度愈快，撞擊微粒的作用愈強，布朗運動便愈明顯。 若微粒大小愈大，在某瞬間與其相撞的分子數愈多，短時間較易造成平衡，固布朗運動愈不明顯。 微粒質量愈大，愈不容易改變運動狀態，布朗運動便愈不明顯

例題：關於布朗運動的下面陳述中，那幾項是對的？ (A)布朗運動是由於小質點本身具有動能而產生的雜亂運動， 不受其他質點的碰撞影響 (B)氣體中小質點的布朗運動隨其壓力減少而趨劇烈 (C)布朗運動是由於小質點受到周圍雜亂運動的分子所撞擊， 當其受力不平衡時所產生的運動 (D)布朗運動不受溫度的影響 (E)小質點的質量越小布朗運動越劇烈 [63.日大] 答案：BCE

§13-5 分子速率的分布 馬克斯威爾速率分布：在 1859年，馬克斯威爾利用統計學的方法導出分子速率分布函數，此函數顯示一重要的結論，即大量氣體分子不斷的互相碰撞並非使其速率趨於定值，而是呈現一個不隨時機變化的統計分布，如右圖所示。 由此速率分布可看出速率極大和速率極小的分子占極少數，大多數分子的速率，介於很大與很小之間 v

分子之間雖不停地碰撞，個別分子的速率與方向也隨之改變，但是其整體的分布情形並不改變。因此，分子的總動能、平均動能及方均根速率都不改變。 當溫度增加時，較大速率的分子數目增加，較小速率的分子數目則減少，分子的平均動能、總動能、與方均根速率都會增加，但曲線下總面積不變。

例題：關於一定量氣體的分子速率分佈曲線（簡稱 Nv - v曲線，分子數最多的值及曲線的最大值分別以 vM 及 NM 表示之，如右圖）在下列敘述中，何者為正確？ (A)若溫度增加，vM 則不變，但 NM 增加 (B)若溫度增加，vM 則不變，NM 但減少 (C)若溫度增加，vM 則增加，但 NM 減少 (D)若溫度增加，vM 則減少，但 NM 增加 (E)值乃是此氣體在當時溫度下氣體分子的平均速率。 [76.日大] v vM NM 答案：C

THE END