第三模块 函数的微分学 第三节 复合函数的导数 一、复合函数的求导法则 二、复合函数的求导举例
一、复合函数的求导法则 定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导. 且 或 或
证 设变量 x 有增量 x， 相应地变量 u 有增量 u， 从而 y 有增量 y. 由于 u 可导， 即
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导， 且
二、复合函数求导举例 例 1 设 y = (2x + 1)5，求 y . 将 y = (2x + 1)5看成是 解 把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5看成是 y = u5，u = 2x + 1 复合而成， 由于 所以
例 2 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利用乘法的导数公式， 这里， 我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而 所以
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成， 所以 复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.
例 4 求 y . 解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中. 这样可以直接写出下式
例 5 设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x). 解
例 6 求 y . 解 这个复合函数有三个复合步骤 把这些中间变量都记在脑子中．
例 7 求 y . 解
例 8 ,求 y . 解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则.
例 9 设 y = sin(xln x)， 求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式 y = cos(xln x) · (xln x) = cos(xln x) · (x · (ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
例 10 解 先用复合函数求导公式， 再用加法求导公式， 然后又会遇到复合函数 的求导.
例 11 设 y = sh x， 求 y . 解 即 (sh x) = ch x . 同理可得 (ch x) = sh x .
补证一下 (x) = x -1 . 所以 (x) = (elnx) = elnx · (ln x)
例 12 求证： 证明
代入等式左边得 所以有