电磁感应定律的应用

1.电磁感应中的电路问题:

在电磁感应中,切割磁感线的导体或磁通量发生变化的 回路将产生感应电动势,该导体或回路相当于电源.因此 ,电磁感应问题往往与电路问题联系在一起.解决与电路 相联系的电磁感应问题的基本方法是: (1)用法拉第电磁感应定律和愣次定律确定感应电动势 的大小和方向. (2)画等效电路. (3)运用全电路欧姆定律,串并联电路性质,电功率等公 式联立求解.

解题要点： 电磁感应问题往往跟电路问题联系在一起。产生感应电动势的导体相当于电源，将它们接上电阻等用电器，便可对其供电；接上电容器，便可使其充电。解决这类问题，不仅要运用电磁感应中的规律，如右手定则、楞次定律和法拉第电磁感应定律等，还要应用电场、电路中的相关知识，如电容公式、欧姆定律、电功率公式、串、并联电路性质等。关键是把电磁感应的问题等效转换成稳恒电路问题来处理。一般可按以下三个步骤进行。

解题步骤 第一步：确定内电路。切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势，其电阻相当于电源的内电阻。用右手定则或楞次定律判断电流方向。若在一个电路中有几个部分产生感应电动势且又相互联系，则可等效成电源的串、并联。 第二步：分析外电路。明确外电路各用电器、电表、电容器的串并联关系，画等效电路图。 第三步：立方程求解。综合运用法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律等规律，列出方程求解。

1.把总电阻为2R的均匀电阻丝焊接成一半径为a的圆环，水平固定在竖直向下，磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，一长度为2a，电阻等于R，粗细均匀的金属棒MN放在圆环上，它与圆环始终保持良好的接触。当金属棒以恒定速度v向右移动经过环心O时，求： （1）流过棒的电流的大小、 方向及棒两端的电压UMN。 （2）在圆环和金属棒上消 耗的总热功率。

解答 （1）棒MN右移时，切割磁感线，产生感应电动 势，棒MN相当于电源，内电阻为R。其等效电路如 图所示。棒两端的电压为路端电压。 金属棒经过环心时，棒中产生的感应电动势为： 此时，圆环的两部分构成并 联连接，且 ， 故并联部分的电阻为： 。

由闭合电路欧姆定律得流过金属棒的电流为： 由右手定则可判断出金属棒上的电流方向由N→M 棒两端的电压： （2）圆环和金属棒上消耗的总功率等于电路中感 应电流的电功率，即：

（1）在ab边刚进入磁场区域时，线框内的电流大小； （2）在ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压； （3）在线框被拉入磁场的整个过程 2.如图所示，在绝缘光滑水平面上，有一个边长为L的单匝正方形线框abcd，在外力的作用下以恒定的速率v 向右运动进入磁感应强度为B的有界匀强磁场区域。线框被全部拉入磁场的过程中线框平面保持与磁场方向垂直，线框的ab边始终平行于磁场的边界。已知线框的四个边的电阻值相等，均为R。求： （1）在ab边刚进入磁场区域时，线框内的电流大小； （2）在ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压； （3）在线框被拉入磁场的整个过程 中，线框中电流产生的热量。 d B a b c v

（1）ab边切割磁感线产生的感应电动势为 解答 所以通过线框的电流为 （2）ab两端的电压为路端电压 所以 （3）线框被拉入磁场的整个过程所用时间 线框中电流产生的热量

3. 如图所示，M、N是水平放置的很长的平行金属板，两板间有垂直于纸面沿水平方向的匀强磁场其磁感应强度大小为B=0. 25T，两板间距d=0 3.如图所示，M、N是水平放置的很长的平行金属板，两板间有垂直于纸面沿水平方向的匀强磁场其磁感应强度大小为B=0.25T，两板间距d=0.4m，在M、N板间右侧部分有两根无阻导线P、Q与阻值为0.3Ω的电阻相连。已知MP和QN间距离相等且等于PQ间距离的一半,一根总电阻为r=0.2Ω均匀金属棒ab在右侧部分紧贴M、N和P、Q无摩擦滑动,忽略一切接触电阻。现有重力不计的带正电荷q=1.6×10－9C的轻质小球以v0=7m/s的水平初速度射入两板间恰能做匀速直线运动，则： （1）M、N间的电势差应为多少？ （2）若ab棒匀速运动，则其运动 速度大小等于多少？方向如何？ （3）维持棒匀速运动的外力为多大？ M Q P N v0 a d c b R q

（1）粒子在两板间恰能做匀速直线运动，所受的电场力与洛仑兹力相等，即： 解答 （1）粒子在两板间恰能做匀速直线运动，所受的电场力与洛仑兹力相等，即： R d b a Q P N M c （2）洛仑兹力方向向上,则电场力方向向下,UMN＞0, ab棒应向右做匀速运动 解得： v=8m/s （3）因为只有cd端上有电流，受到安培力F=BILcd 得：

4.两根光滑的长直金属导轨MN、M'N'平行置于同一水平面内，导轨间距为l ,电阻不计,M、M'处接有如图所示的电路，电路中各电阻的阻值均为R ，电容器的电容为C。长度也为l 、阻值同为R的金属棒a b垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中。a b在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在ab运动距离为s的过程中，整个回路中产生的焦耳热为Q 。求 ⑴ a b运动速度v 的大小； ⑵ 电容器所带的电荷量q 。 N C R M M' N' b a

解答 （1）设a b上产生的感应电动势为E ，回路中的电流为I ，a b运动距离s所用时间为t ，则有: E = B l v ① ② ③ ④ ⑤ 由上述方程得 （2）设电容器两极板间的电势差为U，则有: U = I R ⑥ 电容器所带电荷量: q =C U ⑦ ⑧ 解得:

5. 如图所示，矩形导线框abcd固定在水平面上，ab=L、bc=2L，整个线框处于竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中。导线框上ab、cd段电阻不计，bc、ad段单位长度上的电阻为λ。今在导线框上放置一个与ab边平行且与导线框接触良好的金属棒MN，其电阻为r（r <λL）。金属棒在外力作用下沿x轴正方向做速度为v的匀速运动，在金属棒从导线框最左端（x=0）运动到最右端的过程中 ⑴请导出金属棒中的感应电流I随x变化的函数关系式; ⑵通过分析说明金属棒在运动过程中，MN两点间电压有最大值，并求出最大值Um； ⑶金属棒运动过程中，在什么 位置MN的输出功率最大？并 求出最大输出功率Pm。 M N a b c d x v

设金属棒沿x轴移动了x的距离,此时外电路的总电阻为: 解答 等效电路如图示 E r R Nc R bM R aN R Nd ⑴金属棒产生的电动势: E=BLv 设金属棒沿x轴移动了x的距离,此时外电路的总电阻为: 电路中的总电流为: ⑵MN两点间的电压: 当外电路电阻R取最大Rmax时，U有最大值Um。

从外电路电阻R与x的表示式可以看出，当x=2L-x， 解之得: ⑶ 当 R=r 时，输出功率最大， 解之得 此时，

⑴若开关S闭合,力F 恒为0.5N, CD运动的最大速度； 6.如图，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在一水平面上,两导轨间距L =0.2m，电阻R ＝0.4Ω，电容C＝2 μF，导轨上停放一质量m =0.1kg、电阻r =0.1Ω的金属杆CD，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于方向竖直向上B =0.5T 的匀强磁场中。现用一垂直金属杆CD的外力F沿水平方向拉杆，使之由静止开始向右运动。求： ⑴若开关S闭合,力F 恒为0.5N, CD运动的最大速度； ⑵若开关S闭合，使CD以⑴问中的最大速度匀速运动，现使其突然停止并保持静止不动，当CD停止下来后，通过导体棒CD的总电量； ⑶若开关S断开，在力F作用下，CD由静止开始作加速度a =5m/s2的匀加速直线运动，请写出电压表的读数U随时间t变化的表达式。

⑴ CD以最大速度运动时是匀速直线运动,有: 解答 ⑴ CD以最大速度运动时是匀速直线运动,有: 得： 又: ⑵ CD以25m/s的速度匀速运动时，电容器上的电压为UC，则有： 电容器下极板带正电带电：Q = CUC = 4×10-3C V M P N Q Ｃ F B C D S R CD停下来后,电容通过MP、 CD放电,通过CD的电量：

⑶ 电压表的示数为： 因为金属杆CD作初速为零的匀加运动， 所以： 代入数字得： 即电压表的示数U随时间t 均匀增加

7.如图所示，P、Q为水平面内平行放置的光滑金属长直导轨，间距为L1，处在竖直向下、磁感应强度大小为B1的匀强磁场中。一导体杆ef垂直于P、Q放在导轨上，在外力作用下向左做匀速直线运动。质量为m、每边电阻均为r、边长为L2的正方形金属框abcd置于竖直平面内，两顶点a、b通过细导线与导轨相连，磁感应强度大小为B2的匀强磁场垂直金属框向里，金属框恰好 处于静止状态。不计其余电 阻和细导线对a、b点的作用力。 (1)通过ab边的电流Iab是多大? (2)导体杆ef的运动速度v是多大? Q e a b d c f v P B1

解答 （1）设通过正方形金属框的总电流为I，ab边的电流为Iab，dc边的电流为Idc，有： ① ② a b d c E 金属框受重力和安培力,处于静止状态,有 ③ 由①②③解得： ④

（2）由（1）可得：　　　 ⑤ 设导体杆切割磁感线产生的电动势为E，有： E＝B1L1v　　　　　　　　　　⑥ 设ad、dc、cb三边电阻串联后与ab边电阻并联的总电阻为R，则： ⑦ 根据闭合电路欧姆定律，有： I＝E/R　　　　　　　　　　　　　⑧ 由⑤～⑧解得： ⑨

8. 平行光滑导轨置于匀强磁场中，磁感应强度为B＝0 8.平行光滑导轨置于匀强磁场中，磁感应强度为B＝0.4T，方向垂直于导轨平面。金属棒ab以速度v向左匀速运动。导轨宽度L＝1m，电阻R1＝R3＝8Ω，R2＝4Ω，导轨电阻不计（金属棒ab电阻不能忽略),平行板电容器两板水平放置,板间距离 d＝10mm , 内有一质量为m＝1×10－14kg ，电量q＝1×10－15C的粒子，在电键S断开时粒子处于静止状态, S闭合后粒子以a＝6m/s2的加速度匀加速下落, g取10m/s2。求： （1）金属棒运动的速度为多少？ （2）S闭合后，作用于棒的外界 拉力的功率为多少？ R1 R2 S m a R3 b v

解答 （1）当S断开时：由于粒子处于静止： mg=qE ① ② 由 ①②解得： ③ 流过ab棒的电流： ④ 由闭合电路欧姆定律得： ⑤

S闭合时：粒子作匀加速运动，由牛顿第二定律有： mg-qE1 =ma ⑥ ⑦ 又： 由⑥⑦解得： ⑧ 又 ⑨ 由⑤⑨解得：

∵ ε =BLV　　　　　　　　　⑩ 得金属棒的速度： （2）∵金属棒匀速运动，外力与安培力平衡 安培力： F安＝BI1L ∴外力的功率： P=FV=BI1LV=0.2W

9.如下图甲所示，边长l为和L的矩形线框、互相垂直，彼此绝缘，可绕中心轴O1O2转动，将两线框的始端并在一起接到滑环C上，末端并在一起接到滑环D上，C、D彼此绝缘，外电路通过电刷跟C、D连接，线框处于磁铁和圆柱形铁芯之间的磁场中，磁场边缘中心的张角为450，如下图乙所示(图中的圆表示圆柱形铁芯，它使磁铁和铁芯之间的磁场沿半径方向，如图箭头方向所示)．不论线框转到磁场中的什么位置，磁场的方向总是沿着线框平面．磁场中长为的线框边所在处的磁感应强度大小恒为B，设线框aa'和bb'的电阻都是r，两个线框以角速度ω逆时针匀速转动，电阻R=2r。

(1) 求线框aa' 转到如乙图所示位置时，感应电动势的大小； (2) 求转动过程中电阻R上电压的最大值； (3) 从线框aa'进入磁场开始计时，作出0～T(T是线框转动周期)的时间内通过R的电流随时间变化的图象； (4) 求在外力驱动下两线框转动一周所做的功． a b C L R O2 O1 b′ a′ D l 甲 a′ b′ b a ω N S 乙 45°

解答 (1) 不管转到何位置,磁场方向、速度方向都垂直, 所以有： (2) 在线圈转动过程中，只有一个线框产生电动势， 相当电源，另一线框与电阻R并联组成外电路，故：

通过R的电流随时间变化的图象图象如图所示。 i 4 6 2 8 (3) 流过R的电流： 通过R的电流随时间变化的图象图象如图所示。 (4) 每个线圈作为电源时产生的功率为： 根据能量守恒定律得两个线圈转动一周外力所做的功为

2.电磁感应现象中的力学问题:

(1)通过导体的感应电流在磁场中将受到安培力作用, 电磁感应问题往往和力学问题联系在一起,基本解题 方法是: ①用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的 大小和方向. ②求回路中电流强度. ③分析研究导体受力情况(包括安培力.用左手定则确 定其方向. ④列动力学方程或平衡方程求解.

(2)电磁感应力学问题中,要抓好受力分析.运动情况的动 态分析.导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电 导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→ 周而复始地循环,循环结束时,加速度等于零,导体达稳定 运动状态,抓住a=0时,速度v达最大值特点.

解题要点： 电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，从而影响导体棒（或线圈）的受力情况和运动情况。解决这类力电综合问题，要将电学、力学中的有关知识综合起来应用。常用的规律有：楞次定律、法拉第电磁感应定律、左右手定则、安培力公式及牛顿运动定律、动量定理、动量守恒定律。一般可按以下步骤进行。

1. 确定对象：明确产生感应电动势的是哪一根（两根）导体棒或是哪一个线圈。 2. 分析情况：分析研究对象的受力情况：一共受几个力，哪些是恒力，哪些是变力，画出受力图。分析研究对象的运动情况：初始状态怎样，作什么运动，终了状态如何。此类问题中力的变化与运动的变化往往交错在一起。可以从感应电动势开始分析：感应电动势→感应电流→安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，循环结束时，达到稳定状态（静止、匀速、匀变速）。 3. 运用规律：根据电学规律、力学规律列方程求解。

1. 两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数为 μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R。整个装置处于磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度v1沿导轨匀速运动时，cd杆正好以速率向下v2匀速运动。重力加速度为g。以下说法正确的是（ ） A、ab杆所受拉力F的大小为 μmg＋ B、cd杆所受摩擦力为零 C、回路中的电流为 D、μ与v1大小的关系为

AD ab杆、cd杆的受力分析如图。 ab杆匀速运动，合力为零： cd杆水平方向弹力与安培力平衡： 竖直方向匀速运动，合力也为零： 于是得： BLv1，电流为： 解答 mg FN1 F安 F f1 ab杆、cd杆的受力分析如图。 ab杆匀速运动，合力为零： AD 。 cd杆水平方向弹力与安培力平衡： mg FN2 F安 f2 竖直方向匀速运动，合力也为零： 于是得：

2.如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab、cd与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动。ab、cd 两棒的质量之比为2∶1。用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉cd 棒，经过足够长时间以后（ ） A、ab 棒、cd 棒都做匀速运动. B、ab 棒上的电流方向是由a 向b. C、cd 棒所受安培 力的大小等于 . D、两棒间距离保 持不变. a F B d c b

由b向a 。cd 棒做加速度减小的加速运动，ab 棒 做加速度增大的加速运动，两棒加速度相等时，系 统达稳定状态。 解答 对整体有：F= (2m+m) a C 对ab棒有：F安＝2ma 得ab棒所受安培力为： cd棒所受安培力与ab棒所受安培力大小相等。 由于开始时cd棒的加速度大于ab棒的加速度， cd棒的速度必始终大于ab棒的速度，因此两棒间 距离不断增大。

⑴ 若将ab由静止释放，它将如何运动？最终速度为 多大？ ⑵ 若开始就给ab竖直 向下的拉力F，使其由静 止开始向下作加速度为 a 3. 如图所示，两根竖直的平行光滑导轨MN、PQ，相距为L。在M与P之间接有定值电阻R。金属棒ab的质量为m，水平搭在导轨上，且与导轨接触良好。整个装置放在水平匀强磁场中，磁感应强度为B。金属棒和导轨电阻不计，导轨足够长。 ⑴ 若将ab由静止释放，它将如何运动？最终速度为 多大？ ⑵ 若开始就给ab竖直 向下的拉力F，使其由静 止开始向下作加速度为 a （a > g）的匀加速运动， 请求出拉力F与时间t的关 系式； ⑶ 请定性在坐标图上画出第（2）问中的F-t 图线。 M b a R Q P N B O t F

⑵ 经过时间t，ab的速度为：v = a t 由牛顿第二定律：F+mg-F安= ma ⑶ F与t的关系为一次函 数,图像如图示。 解答 后作匀速运动。 解答 匀速时速度达到最大，最大速度满足： 得： ⑵ 经过时间t，ab的速度为：v = a t t 时刻的安培力： 由牛顿第二定律：F+mg-F安= ma 解之得： F t O ⑶ F与t的关系为一次函 数,图像如图示。

（1）磁感应强度为B=B0 保持恒定，导体棒以速度v向右做匀速直线运动； 4. 如图所示，水平导轨间距为L，左端接有阻值为R的定值电阻。在距左端x0处放置一根质量为m、电阻为r的导体棒，导体棒与导轨间无摩擦且始终保持良好接触，导轨的电阻可忽略，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，问：在下列各种情况下，作用在导体棒上的水平拉力F的大小应如何？ （1）磁感应强度为B=B0 保持恒定，导体棒以速度v向右做匀速直线运动； （2）磁感应强度为B=B0+kt 随时间 t均匀增强，导体棒保持静止； （3）磁感应强度为B=B0保持恒定， 导体棒由静止始以加速度 a 向右做 匀加速直线运动； （4）磁感应强度为B=B0+kt 随时 间 t 均匀增强，导体棒以速度v向右 做匀速直线运动。 x0 L F B

（1）电动势为：E=BLv 解答 电流为： I= 匀速运动时，外力与安培力平衡：F=B0IL= (2) 由法拉第电磁感应定律得： 静止时水平外力与安培力平衡： （3）任意时刻 t 导体棒的速度为：v=a t 由牛顿第二定律得： F-BIL=ma·

于是水平力为： （4） 由法拉第电磁感应定律得： 导体棒作匀速运动时水平外力与安培力平衡：

感应电流：I=ΔQ/Δt=CBLΔv/ Δt=CBl a 5.如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个电容器 , 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动. 现让ab由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒做什么运动？棒落地时的速度为多大？ 解答 ab在重力与安培力的合力 作用下加速运动，设任意时刻 t ,速度为v，感应电动势为： E=Bl v 感应电流：I=ΔQ/Δt=CBLΔv/ Δt=CBl a B C h a b mg F 安培力： F=BIl =CB2 l 2a 由牛顿运动定律： mg-F=ma ∴ab做初速为零的匀加直线运动, 加速度为： a= mg / (m+C B2 l 2) 落地速度为：

匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运 动，其v-t关系如图（b）所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小 6.（07上海）如图（a）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为 f 的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。 （1）求导体棒所达到的恒定速度v2； （2）为使导体棒能随磁场运动，阻力最大 不能超过多少？ （3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间 内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率 各为多大？ （4）若t＝0时磁场由静止开始水平向右做 匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运 动，其v-t关系如图（b）所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小 为vt，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。 （b）

解答 （1）导体棒的感应电动势为：E＝BL（v1－v2）， 导体棒所受安培力为： 速度恒定时安培力与阻力平衡： 可得导体棒所达到的恒定速度： 所以阻力最大不能超过：

（3）导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做 的功为： 电路中消耗的电功率： （4）导体棒要做匀加速运动，必有v1－v2为常数，由牛顿 第二定律 可得： 磁场由静止开始做匀加速直线运动 ，有 v1=at 又，v2=vt 可解得导体棒的加速度：

7. 如图，在水平面上有两条平行导电导轨MN、PQ,导轨间距离为l，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B，两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为m1、m2和R1 、 R2,两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度v0沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克服摩擦力做功的功率。 1 M N P Q 2 v0

BIL= μm2g (3) 解答 设杆2的运动速度为v，两杆运动时回路中产生的感应电动势 ：E=Bl(v0-v) (1) 感应电流： (2) 感应电流： (2) 杆2作匀速运动,其安培力与摩擦力平衡： 1 M N P Q 2 v0 f Fm BIL= μm2g (3) 导体杆2克服摩擦力做功的功率 P = μm2gv (4) 解得：

8. 如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0 8.如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r0=0.10Ω/m，导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离 l = 0.20m.有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感强度B与时间t 的关系为B=kt,比例系数k=0.020T/s.一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直，在t=0时刻，金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t=6.0s时金属杆所受的安培力. Q P

解答 以 a 表示金属杆运动的加速度， 在t 时刻，金属杆与初始位置的距离： v= a t 此时杆的速度： 这时，杆与导轨构成的回路的面积： S=Ll ， 回路中的感应电动势： E=SΔB/ Δt + Bl v =Sk+Bl v 回路的总电阻： R=2Lr0 回路中的感应电流： i = E/R Q P l L v 作用于杆的安培力： F =B l i 解得： F= 3k2 l 2 t ／ 2r0 ， 代入数据解得： F =1.44×10 -3 N

﹡9．两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L，足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒ab和cd，它们的质量分别为2m、m，电阻阻值均为R，金属导轨及导线的电阻均可忽略不计，整个装置处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中． （1）现把金属棒ab锁定在导轨的左端，如图甲，对cd施加与导轨平行的水平向右的恒力F，使金属棒cd向右沿导轨运动，当金属棒cd的运动状态稳定时，金属棒cd的运动速度是多大？ （2）若将金属 棒ab解除锁定，如 图乙，使金属棒cd 获得瞬时水平向右 的初速度v0，求： 在它们的运动状态达到稳定的过程中，流过金属棒ab的电量是多少？整个过程中ab和cd相对运动的位移是多大？

解答 （1）易知，稳定时水平外力与安培力平衡： 得金属棒cd的运动速度： （2）cd棒作减速运动，ab棒作加速运动，最终达 共同速度。由系统动量守恒： mv0=(m+2m)V 对ab棒，由动量定理： 因此，流过金属棒ab的电量为：

由法拉第电磁感应定律得： 得平均电流为： 于是有： ∴ 整个过程中ab和cd相对运动的位移是：

3.电磁感应中的图象问题

一、线圈在均匀磁场中运动时的i-t图象 二、线圈在均匀磁场中运动时的i-x图象 三、线圈在非均匀磁场中运动时的i-t图象 四、图象的应用

思考:你能作出ad间电压与时间的关系图象吗? 例1.如图所示，一宽40cm的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里．一边长为20cm的正方形导线框位于纸面内，以垂直于磁场边界的恒定速度v＝20cm/s通过磁场区域，在运动过程中，线框有一边始终与磁场区域的边界平行．取它刚进入磁场的时刻t＝0. 在下列图线中，正确反映感应电流随时间变化规律的是 [ c ] d c b a 思考:你能作出ad间电压与时间的关系图象吗?

例2、如图所示，边长为L正方形导线圈，其电阻为R，现使线圈以恒定速度v沿x轴正方向运动，并穿过匀强磁场区域B，如果以x轴的正方向作为力的正方向，线圈从图示位置开始运动，则 （3）磁场对线圈的作用力F随x变化的图线为哪个图？ 1 2 3 4 5 6 x/L × L 3L X B [ 1 ] A 1 2 3 4 5 6 x/L 1 2 3 4 5 6 x/L 1 2 3 4 5 6 x/L [ 3 ] [ 2 ] B C D

例3、磁棒自远处匀速沿圆形线圈的轴线运动，并穿过线圈向远处而去，如图所示，则下列图中正确反映线圈中电流与时间关系的是（线圈中电流以图示箭头为正方向） [ B ] t i A B C D N S

例4、一金属圆环位于纸面内，磁场垂直纸面，规定向里为正，如图所示。现今磁场B随时间变化是先按oa图线变化，又按图线bc和cd变化，令E1、E2、E3分别表示这三段变化过程中感应电动势的大小，I1、I2、I3分别表示对应的感应电流，则E1、E2、E3的大小关系是___________;电流I1的方向是___________;I2的方向是___________;I3的方向是____________. E2=E3>E1 逆时针方向 顺时针方向 顺时针方向 顺时针 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B t a b c d

例5、如图所示竖直放置的螺线管和导线abcd构成回路，螺线管下方水平桌面上有一导体环。当导线abcd所围区域内的磁场按下列哪一图示方式变化时，导体环将受到向上的磁场力作用？ t B A C D a d c b × B

4.电磁感应中能量转化问题:

电磁感应过程总是伴随着能量变化.解决此类问题的基 本方法是: (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势 的大小和方向. (2)画出等效电路,求出回路中电阻消耗电功率的表达式 .(3)分析导体机械能的变化,用能量守恒关系得到机械 功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方程.

一、导体切割磁感线或磁通量发生变化在回路中产 生感应电流，机械能或其他形式能量便转化为电能 ，具有感应电流的导体在磁场中受安培力作用或通 过电阻发热，又可使电能转化为机械能或电阻的内 能。因此，电磁感应过程总是伴随着能量转化。 二、电磁感应现象中出现的电能是克服安培力作功 将其他形式的能转化而来的，若安培力作正功则将 电能转化为其他形式的能。 三、中学阶段用能量转化的观点研究电磁感应问题 常常是导体的稳定运动（匀速直线运动或匀变速运 动）。对应的受力特点是合外力为零，能量转化过 程常常是机械能转化为电阻的内能，解决这类问题 问题的基本方法是：

1、用法拉第电磁感应定律和愣次定律确定感应电 动势的大小和方向。 2、画出等效电路，求出回路中电阻消耗的电功率 表达式。 3、分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到 机械功率的改变与回路中电功率的改变所满足的方 程。

例题1、如图甲所示，足够长的金属导轨竖直放在水平 方向的匀强磁场中，导体棒MN可以在导轨上无摩 擦的滑动。已知匀强磁场的磁感应强度B＝0.4T， 导轨间距为L＝0.1m，导体棒MN的质量为m=6g 且电阻r=0.1Ω,电阻R＝0.3Ω,其它电阻不计， （g取10m/s2)求： （1）导体棒MN下滑的最大速度多大？ （2)导体棒MN下滑达到最大速度后，棒克服安培力 做功的功率，电阻R消耗的功率和电阻r消耗的功率 为多大？ 甲

分析与解答： 甲 等效电路如图乙所示，棒由静止开始 下滑，最后达到匀速运动。当匀速运 动时，由平衡条件得： 乙 （2）匀速时，克服安培力做功的功率为： 电阻R消耗的功率：

电阻r消耗的功率： 例题2、如图所示，质量为m，边长为L的正方形线框，在有界匀强磁场上方h高处由静止自由下落，线框的总电阻为R，磁感应强度为B的匀强磁场宽度为2L。线框下落过程中，ab边始终与磁场边界平行且处于水平方向，已知ab边刚穿出磁 场时线框恰好作匀速运动，求： （1）cd边刚进入磁场时线框的 速度。 （2）线框穿过磁场的过程中， 产生的焦耳热。 恰好作匀速运动

过程一：线框先作自由落体运动， 直至ab边进入磁场。 过程二：作变速运动，从cd边进入 磁场到ab边离开磁场，由于穿过 线框的磁通量不变，故线框中无感 应电流，线框作加速度为g的匀加速 运动。 过程三：当ab边刚穿出磁场时，线框作匀速直线运 动。 整个过程中，线框的重力势能减小，转化成线框的 动能和线框电阻上的内能。

(1)设cd边刚进入磁场时线框的速度为V0，ab边刚 件，得：

总结与提高： （2）线框由静止开始运动，到cd边刚离开磁场的 过程中，根据能量守恒定律，得： 解之，得线框穿过磁场的过程中，产生的焦耳热 为： 总结与提高： 电磁感应现象的实质是不同形式的能量转化的过 程，理清能量转化过程，用“能量”观点研究问题， 往往比较简单，同时，导体棒加速时，电流是变 化的，不能直接用Q＝I2Rt求解（时间也无法确 定），因而能用能量守恒的知识解决。

练习1、在闭合线圈上方有一条形磁铁自由下落，直至穿过线圈过程中，下列说法正确的是： A、磁铁下落过程机械能守恒； B、磁铁的机械能增加； C、磁铁的机械能减小； D、线圈增加的热能是由磁铁减小的机械能转化而 来的。

4、如图所示，水平光滑的“ ”形导轨置于匀强 磁场中，磁感应强度为B＝0.5T，方向竖直向下， 回路的电阻R＝2Ω，ab的长度L＝0.5m，导体ab以 垂直于导轨向右运动的速度V＝4m/s匀速运动，在 0.2S的时间内，回路中发出的热能为————J，外力 F做的功为———J。

综合应用

F vm=I2 R= B2 L2 vm2/ R vm=FR / B2 L2 例1. 水平放置于匀强磁场中的光滑导轨上，有一根导体棒ab，用恒力F作用在ab上，由静止开始运动，回路总电阻为R，分析ab 的运动情况，并求ab的最大速度。 分析：ab 在F作用下向右加速运动，切割磁感应线，产生感应电流，感应电流又受到磁场的作用力f，画出受力图： a=(F-f)/m v E=BLv I= E/R f=BIL 最后，当f=F 时，a=0，速度达到最大， a b B R F=f=BIL=B2 L2 vm /R vm=FR / B2 L2 f1 F F F vm称为收尾速度. f2 f 又解：匀速运动时，拉力 所做的功使机械能转化为 电阻R上的内能。 F vm=I2 R= B2 L2 vm2/ R vm=FR / B2 L2

例2. 在磁感应强度为B的水平均强磁场中，竖直放置一个冂形金属框ABCD，框面垂直于磁场，宽度BC＝L ，质量m的金属杆PQ用光滑金属套连接在框架AB和CD上如图.金属杆PQ电阻为R，当杆自静止开始沿框架下滑时： (1)开始下滑的加速度为 多少? (2)框内感应电流的方向怎样？ (3)金属杆下滑的最大速度是多少? (4)从开始下滑到达到最大速度过程中重力势能转化为什么能量 Q B P C D A 解: 开始PQ受力为mg, 所以 a=g F PQ向下加速运动,产生感应电流,方向顺时针, 受到向上的磁场力F作用。 达最大速度时, F=BIL=B2 L2 vm /R =mg I mg ∴vm=mgR / B2 L2 由能量守恒定律,重力做功减小的重力势能转化为使PQ加速增大的动能和热能

(3) F=BIL=B2 L2 vm /R =mg vm=mgR / B2 L2 =10m/s, 例3. 竖直放置冂形金属框架，宽1m，足够长，一根质量是0.1kg，电阻0.1Ω的金属杆可沿框架无摩擦地滑动.框架下部有一垂直框架平面的匀强磁场，磁感应强度是0.1T，金属杆MN自磁场边界上方0.8m处由静止释放(如图).求： (1)金属杆刚进入磁场时的感应电动势； (2)金属杆刚进入磁场时的加速度； (3)金属杆运动的最大速度及此时 的能量转化情况. N M 答：(1) E=BLv=0.4V; (2) I=E/R=4A F=BIL=0.4N a=(mg-F)/m=6m/s2; (3) F=BIL=B2 L2 vm /R =mg vm=mgR / B2 L2 =10m/s, 此时金属杆重力势能的减少转化为杆的电阻释放的热量

例4. 如图所示，竖直平行导轨间距l=20cm，导轨顶端接有一电键K。导体棒ab与导轨接触良好且无摩擦，ab的电阻R=0 例4.如图所示，竖直平行导轨间距l=20cm，导轨顶端接有一电键K。导体棒ab与导轨接触良好且无摩擦，ab的电阻R=0.4Ω，质量m=10g，导轨的电阻不计，整个装置处在与轨道平面垂直的匀强磁场中，磁感强度B=1T。当ab棒由静止释放0.8s 后，突然接通电键，不计空气阻力，设导轨足够长。求ab棒的最大速度和最终速度的大小。（g取10m/s2） K a b

则闭合K瞬间，导体棒中产生的感应电流大小 I＝Blv/R=4A ab棒受重力mg=0.1N, 安培力F=BIL=0.8N. 解: ab 棒由静止开始自由下落0.8s时速度大小为 v=gt=8m/s 则闭合K瞬间，导体棒中产生的感应电流大小 I＝Blv/R=4A ab棒受重力mg=0.1N, 安培力F=BIL=0.8N. 因为F＞mg，ab棒加速度向上，开始做减速运动， 产生的感应电流和受到的安培力逐渐减小， 当安培力 F′=mg时，开始做匀速直线运动。 K a b t=0.8s l=20cm R=0.4Ωm=10g B=1T 此时满足B2l2 vm /R =mg mg F 解得最终速度， vm = mgR/B2l2 = 1m/s。 闭合电键时速度最大为8m/s。

开始两杆做变加速运动，稳定时，两杆以相同的加速度做匀变速运动 V1≠0 V2=0 ， 不受其它水平外力作用。 V=0，2杆受到恒定水平外力作用 光滑平行导轨 示意图 分析 规律 B 2 1 v B 2 1 F m1=m2 r1=r2 l1=l2 m1=m2 r1=r2 l1=l2 滑轨问题 ※ 杆1做变减速运动，杆2做变加速运动，稳定时，两杆的加速度为0，以相同速度做匀速运动 开始两杆做变加速运动，稳定时，两杆以相同的加速度做匀变速运动 v t 2 1 2 1 v t 庞留根

例5. 光滑平行导轨上有两根质量均为m，电阻均为R的导体棒1、2，给导体棒1以初速度 v 运动， 分析它们的运动情况，并求它们的最终速度。…. 对棒1，切割磁感应线产生感应电流I，I又受到磁场的作用力F v1 E1=BLv1 I=(E1-E2) /2R F=BIL a1=F/m 对棒2，在F作用下，做加速运动，产生感应电动势，总电动势减小 a2 =F/m v2 E2=BLv2 I=(E1-E2) /2R F=BIL 当E1=E2时，I=0，F=0,两棒以共同速度匀速运动，vt =1/2 v 2 1 vt B E1 E2 F I 2 1 v B F E1 I E2

例7 如图示,螺线管匝数n=4，截面积S=0.1m2，管内匀强磁场以B1/t=10T/s 逐渐增强， 螺线管两端分别与两根竖直平面内的平行光滑直导轨相接，垂直导轨的水平匀强磁场B2=2T， 现在导轨上垂直放置一根质量m=0.02kg，长l=0.1m的铜棒，回路总电阻为R=5Ω，试求铜棒从静止下落的最大速度. (g=10m/s2) B1 B2 b a 解: 螺线管产生感生电动势 E1=nS B1/t=4V 方向如图示 I1 =0.8A F1=B2 I1 L=0.16N mg=0.2N mg > F1 ab做加速运动,又产生感应电动势E2,（动生电动势） 当达到稳定状态时,F2 =mg=0.2N F2 =BI2 L I2 =1A mg F1 I2 =(E1 +E2 )/R=(4+E2)/5 =1A mg F2 E2 =1V=BLvm vm=5m/s

(1)当杆的速度达到2m/s时，ab两端的电压； (2)回路中的最大电流和功率. 例8. 倾角为30°的斜面上，有一导体框架，宽为1m，不计电阻，垂直斜面的匀强磁场磁感应强度为0.2T，置于框架上的金属杆ab，质量0.2kg，电阻0.1Ω，如图所示.不计摩擦，当金属杆ab由静止下滑时，求： (1)当杆的速度达到2m/s时，ab两端的电压； (2)回路中的最大电流和功率. 30° b a B L 解： (1) E=BLv=0.4V I=E/R=4A 因为外电阻等于0，所以U=0 (2) 达到最大速度时， BIm L=mgsin30 ° N F mg Im=mgsin30 °/ BL = 1/0.2 = 5A Pm=Im 2R=25×0.1=2.5W

练习1、如图所示，矩形线框的质量m＝0. 016kg，长L＝0. 5m，宽d＝0. 1m，电阻R＝0. 1Ω 练习1、如图所示，矩形线框的质量m＝0.016kg，长L＝0.5m，宽d＝0.1m，电阻R＝0.1Ω.从离磁场区域高h1＝5m处自由下落，刚 入匀强磁场时,由于磁场力作用，线框正好作匀速运动. (1)求磁场的磁感应强度； (2) 如果线框下边通过磁场 所经历的时间为△t＝0.15s， 求磁场区域的高度h2. h1 h2 d L

解：1---2，自由落体运动 在位置2，正好做匀速运动， ∴F=BIL=B2 d2 v/R= mg h1 2---3 匀速运动： m＝0.016kg d＝0.1m R＝0.1Ω h1＝5m L＝0.5m 2---3 匀速运动： t1=L/v=0.05s t2=0.1s mg F 2 3---4 初速度为v、加速度 为g 的匀加速运动， 3 s=vt2+1/2 gt22=1.05m ∴h2=L+s =1.55m 4 庞留根

mg=BIL=BEL/2R (1) mg=BI1 L=BE1 L/R (2) ∴E1=1/2 E=1.5V F2 F 2. 练习2 、如图示:两根平行光滑金属导轨竖直放置在匀强磁场中,磁场方向跟导轨所在平面垂直,金属棒ab 两端套在导轨上且可以自由滑动,电源电动势E=3v,电源内阻和金属棒电阻相等,其余电阻不计,当S1接通,S2断开时, 金属棒恰好静止不动, 现在断开S1, 接通S2,求:1. 金属棒在运动过程中产生的最大感应电动势是多少? 2. 当金属棒的加速度为1/2g时,它产生的感应电动势多大? b a S1 S2 解: 设磁场方向向外，不可能静止。 磁场方向向里,当S1接通,S2断开时静止 mg=BIL=BEL/2R (1) 断开S1,接通S2,稳定时, mg=BI1 L=BE1 L/R (2) b a E ∴E1=1/2 E=1.5V b a mg F2 mg F 2. mg - BE2 L/R=ma=1/2 mg BE2 L/R=1/2 mg (3) (3) / (2) E2=1/2 E1 =0.75V

（2）若m=0.5kg,L=0.5m,R=0.5Ω;磁感应强度B为多大？ （3）由v-F图线的截距可求得什么物理量?其值为多少? 例题1：水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，问距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆（见右上图），金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下.用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动.当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v与F的关系如右下图.（取重力加速度g=10m/s2） （1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？ （2）若m=0.5kg,L=0.5m,R=0.5Ω;磁感应强度B为多大？ （3）由v-F图线的截距可求得什么物理量?其值为多少? F(N) v(m/s) 2 4 6 8 10 12 20 16 12 8 4 F

解：（1）变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动，加速运动）。 （2）感应电动势 F 感应电流 I=E/R （2） 安培力 由图线可知金属杆受拉力、安培力和阻力作用，匀速时合力为零。 F(N) v(m/s) 2 4 6 8 10 12 20 16 12 8 4 由图线可以得到直线的斜率 k=2， (3)由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f， f=2 (N) 若金属杆受到的阻力仅为滑动摩擦力，由截距可求得动 摩擦因数 μ=0.4

（1）由b向a方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； 例题2：如图1所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L, M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略。让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。 （1）由b向a方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图； （2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小； （3）求在下滑过程中， ab杆可以达到的速度最 大值。 θ R a b B L N M Q P 图1 图2

（2）当ab杆速度为v时，感应电动势E=BLv, 此时电路电流 F （1）重力mg，竖直向下 支持力N，垂直斜面向上 安培力F，沿斜面向上 （2）当ab杆速度为v时，感应电动势E=BLv, 此时电路电流 mg N F b θ B ab杆受到安培力 根据牛顿运动定律，有 （3）当 时，ab杆达到最大速度vm

例题3．如图所示，在一均匀磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框中导线的电阻都可不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则 ( ) A．ef 将减速向右运动，但不是匀减速 B． ef 将匀减速向右运动，最后停止 C．ef 将匀速向右运动 D．ef 将往返运动 A R e d c a b f

(1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小; (2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小； 例题4:如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距lm，导轨平面与水平面成θ=37°角，下端连接阻值为R的电阻．匀强磁场方向与导轨平面垂直．质量为0.2kg、电阻不计的金属棒放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25． (1)求金属棒沿导轨由静止开始下滑时的加速度大小; (2)当金属棒下滑速度达到稳定时，电阻R消耗的功率为8W，求该速度的大小； (3)在上问中，若R＝2Ω,金属棒中的电流方向由a到b,求磁感应强度的大小与方向． (g=10m/s2，sin37°＝0.6， cos37°＝0.8) a b R θ

解: (1)金属棒开始下滑的初速为零,根据牛顿第二定律 mgsinθ－μmgcosθ＝ma ① 由①式解得a＝10×(0.6－0.25×0.8)m/s2=4m/s2 ② (2)设金属棒运动达到稳定时，速度为v，所受安培力为F，棒在沿导轨方向受力平衡 mgsinθ一μmgcos0一F＝0 ③ 此时金属棒克服安培力做功的功率等于电路中电阻R消耗的电功率 Fv＝P ④ 由③、④两式解得 (3)设电路中电流为I，两导轨间金属棒的长为l，磁场的磁感应强度为B I=Blv/R ⑥ P＝I2R ⑦ 由⑥、⑦两式解得 磁场方向垂直导轨平面向上