介質的彈性（12-7） 物質變形後，會有回復力，回復力與變形程度成正比！ 以同樣的材質而言，原本長度 L 越長， ΔL也越大，面積 A 越大，力也越大。 因此比例常數與長度 L成反比與面積 A成正比！ 常數E只由材質決定。Young’s modulus

Shearing 應力 Stress 應變 Strain 係數 Modulus

液體及氣體 對理想氣體 B 可以計算

Wave

將震盪器連在一個介質上

波動是透過介質擾動在空間中的傳播，來傳遞能量的物理現象。

波動 波動是透過介質擾動在空間中的傳播，來傳遞能量的物理現象。 脈衝波 波形不變。 介質只在原地振盪，並不隨波型傳播。 波源必須作功。

波源必須作功，能量在空間中傳播。

S wave 橫波

縱波 彈簧

P wave 縱波

P 波波速約1.5-8 km/s S波約是其 60%-70% Take the difference in arrival time of the P wave and the S wave in seconds and multiply by 8 kilometers per second.

海浪

如何描述一條弦上的波動？ 粒子以位置的時間函數來描述 粒子系統以一系列的位置的時間函數來描述

弦也可以用一個粒子系統來近似！ y 當粒子間隔區向無限小，離散趨向連續： 波函數

介質擾動在空間中的傳播 波函數：描述該介質擾動的物理量 相對於正常值的偏移 對於位置與時間的函數 多變數函數 了解雙變數函數，最方便的方法就是先固定一個變數： 固定 t=t0 t=t0 時的波形 固定 x=x0 x=x0 處介質的運動

波函數可以很簡單的得到： 找一個隨著波型一起移動的慣性座標系 在O’座標上看，波型靜止，波函數與時間無關 函數 f 波的形

伽利略變換

在O’座標上看，波型靜止，波函數與時間無關 函數 f 波的形 相位 Phase 在O座標上看

相位 Phase 製造出相同 x’ 的 x,t 組合一定對應相等的垂直位移 y 而製造出相同 x’ 的 x,t 組合正是等速移動

固定 t=0 t=0 時的波形 y x x=0 處介質的運動 固定 x=0 y vt

向 -x 移動的波 在O’座標上看 在O座標上看

正弦波 波型是正弦函數： 相位只代表原點的選擇不同 在O座標上看

正弦波的波函數 瞬間波型 角波數與波長 單點運動 角頻率與周期 色散關係 頻率與波長不是獨立的

正弦波可以由一簡諧震盪器連在介質上產生 觀察在 x = a 處的弦段的運動： 每一弦段皆作簡諧運動，ω即是振動的角頻率，各段的簡諧運動是彼此高度協調的，其初相角必須與位置成正比：ka

偏微分的物理意義

將牛頓定律用在一小段弦上 弦的組成元素只有垂直運動： 一小段弦的垂直受力，等於垂直加速度

假設張力因弦段長度增加而增加的部分比起兩端所拉的力小很多，所以只要考慮兩端張力，張力是一個常數，與位置時間無關。 一小段弦的左端垂直受力： 當角很小時 一小段弦的垂直受力 一小段弦的垂直受力必須等於垂直加速度！ 斜率隨x座標之變化率 x 座標變化 波方程式 質量 垂直加速度

弦整體波函數所滿足的牛頓運動方程式就是波方程式 解：

固定 t 固定 x 波速真是常數 在這些波函數的解之中，時間與空間並不獨立，而是連鎖在一起 x’，因此對空間的兩次偏微分與對時間的兩次偏微分成正比。

弦整體波函數所滿足的牛頓運動方程式就是波方程式 解： 未知的單變數函數是由起始條件決定： 起始的弦位移，起始的弦垂直方向速度 f（g） 即為向左（右）傳播的波的瞬間波型

波方程式 解： 波動的特徵皆來自此方程式： 波型以定速傳播 波型在傳播過程中不變形 疊加定律

疊加定理 兩個波方程式的解的和依舊是波方程式的解： 兩個分立的波重疊時，只要將兩個波函數相加即可。 之後若又分立，原來重疊前的波型不變。

疊加定理

如果弦所滿足的方程式不是波方程式：例如 這是在振幅加大後的弦運動方程式 不再是解 波速不再是定速 波型在傳播過程中會變形 疊加定律不成立 非線性波動

Frequency Doubling Crystal

邊界的反射：多一個邊界條件

反射現象：設計在邊界以外有一假想波，使與真實波疊加後可以達成邊界條件。

反射現象：設計在邊界以外有一假想波，使與真實波疊加後可以達成邊界條件。

邊界的反射：多一個邊界條件

困於兩邊界之間的波 能量無處傳播，因此不是波

弦上能不能形成能量不傳播的穩定狀態？ 一個向 +x傳播的波，在右固定端反射，形成一個向 –x 傳播的波，而這個向 –x 傳播的波在左固定端又反射形成向 +x傳播的波，正好補充原來的波，這樣的波動便能自給自足形成穩定狀態！

但繩子依然滿足波方程式，因此解依舊是： 姑且稱為駐波 只要一個向+x傳播的波與一個像-x傳播的波疊加，而且同時滿足邊界條件就是所要的解！ 兩端固定

穩定的駐波態 自動滿足 滿足另一邊界條件，才能有穩定態 波長不能任意 頻率不能任意

穩定的駐波態，另一個觀點 完全沒有振動，這與旅行波完全不同。 這些無振動的弦稱為節點 node，節點距半波長 自動滿足 在邊界弦固定，因此兩邊界必然是節點！ 節點的距離是半波長，因此弦長必須是半波長的整數倍！ 若已知弦長，則波長不能任意 頻率不能任意

整條弦都被同一個時間函數所控制： 駐波發生時，整條弦一起震盪，即同一時間位於簡諧振盪周期中的同一相位，所以駐波是一震盪器，如彈簧一般可以儲存能量。

一系列的駐波的震盪模式，整條弦的形狀是一起震盪 每一個模式震動頻率由自然數 n 來標定，頻率是 v/2L 的 n 倍。 不同模式震盪樣式不同，可以用節點數 n - 1來描述。 每一個模式都像一個簡諧振盪！

兩端固定的弦的任一運動可以用駐波模式的疊加來得到 第 n 態的振幅 兩端固定的弦可以看作一系列頻率成等差級數的彈簧的組合！

任一有限大小的物體的震盪也可以以一系列具有特定頻率的共振模式來描述 可以看作彈簧系列的組合！ 頻率不一定等差。

Tacoma Narrows Bridge

波的強度 Intensity 在波峰處最小！

Extra Space Dimension? String Theory?

Another unusual feature of string theory D-Brane: In 10 dim world, there could be lower dim walls or membrane. Open strings could have end points on these branes. Open strings represent gauge fields that are trapped on the brane. Open strings can emit close strings that correspond to gravitons into the extra dimension space. Maybe, only gravitation force can feel the existence of the extra dimension but not other gauge interactions.