第19讲　尺规作图与命题证明 考点知识精讲 中考典例精析 举一反三 考点训练

考点一 几何作图 1．尺规作图限定作图工具只有圆规和没有刻度的直尺 2．基本作图 (1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差； (2)作一个角等于已知角，以及角的和、差； (3)作角的平分线； (4)作线段的垂直平分线． 3．利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形； (2)已知两边及其夹角作三角形；

(3)已知两角及其夹边作三角形； (4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 4．与圆有关的尺规作图 (1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆． 5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型 6．作图题的一般步骤 (1)已知;(2)求作;(3)分析;(4)作法;(5)证明;(6)讨论．其中步骤(5)(6)常不作要求,步骤(3)一般不要求,但作图中一定要保留作图痕迹．

考点二 定义、命题、定理、公理 有关概念 (1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密． (2)命题：判断一件事情的语句． ①命题由题设和 两部分组成． ②命题的真假:正确的命题称为 ； 的命题称为假命题. ③互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题． 结论 真命题 错误

(3)定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理． (4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理． 温馨提示： 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题.

考点三 证明 1．证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明． 2．证明的一般步骤：①审题，找出命题的 和 ；②由题意画出图形，具有一般性；③用数学语言写出 、 ；④分析证明的思路；⑤写出 ，每一步应有根据，要推理严密． 题设 结论 已知 求证 证明过程

(2011·杭州)四条线段a，b，c，d如图所示， a∶b∶c∶d＝1∶2∶3∶4

(1) （2011·广州 ）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： ①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c； ②如果b∥a，c∥a，那么b∥c； ③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c； ④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c. 其中真命题是________．(填写所有真命题的序号) (2)（2011·黄冈） 下列说法中： ①一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等； ②数据5,2,7,1,2,4的中位数是3，众数是2；

【解答】(1)①②④　(2)C

如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点， 延长BC到E，使CE＝CD 如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点， 延长BC到E，使CE＝CD. (1)用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求证：BM＝EM. 【点拨】(1)题属于过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图；(2)题需证△BDE是等腰三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质证BM＝EM. 【解答】(1)如图，则直线DM即为所求．

1．如图，已知△ABC，分别以A、C为圆心，BC、AB长为 半径画弧,两弧在直线BC上方交于点D,连接AD,CD 1．如图，已知△ABC，分别以A、C为圆心，BC、AB长为 半径画弧,两弧在直线BC上方交于点D,连接AD,CD.则有( ) A．∠ABC与∠BAD相等 B．∠ADC与∠BAD互补 C．∠ADC与∠ABC互补 D．∠ADC与∠ABC互余 答案：B

2．下列说法正确的是( ) A．“作线段CD＝AB”是一个命题 B．三角形的三条内角平分线的交点为三角形的内心 C．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题是真命题 D．“具有相同字母的项称为同类项”是“同类项”的定义 答案：B

3．下列命题中，真命题是( ) A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等 答案：D

4．画一个等腰△ABC，使底边长BC＝a，底边上的高为h，(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明) 已知： 求作： 答案：略 5．如图，已知在等腰三角形ABC中，∠A＝∠B＝ 30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D. (1)尺规作图：过A、D、C三点作⊙O(只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法)； (2)求证：BC是过A、D、C三点的圆的切线．

答案：(1)取AD的中点为O，作出圆心O，以点O为圆心，OA长为半径作圆　(2)提示：证∠BCO＝90°

尺规作图与命题、证明 训练时间：60分钟 分值：100分 尺规作图与命题、证明 训练时间：60分钟 分值：100分

一、选择题(每小题5分，共50分) 1．(2011·扬州)已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】命题③、④是假命题． 【答案】B

2．(2011·福州)如右图所示，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B 两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 的个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】满足条件的三角形是以AB为腰的等腰三角形，共有4个． 【答案】C

3．(2011·呼和浩特)下列判断正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

4．(2010中考变式题)如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( ) A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①②去 【解析】带③能满足“ASA”，唯一作出三角形． 【答案】C

5．(2010中考变式题)仅利用一副三角板不能完成的操作是( ) A．作已知直线的平行线 B．作已知角的平分线 C．测量钢球的直径 D．找已知圆的圆心 【解析】A、B、D都能用一副三角板完成操作，故选C. 【答案】C

6．(2012中考预测题)下列给出的条件一定能画出唯一的三角形的是( ) A．两个角和其中一角的对边 B．三个角 C．两边和其中一边的对角 D．任意给出三条线段作三角形的三边 【解析】能画出唯一三角形的条件是满足判定全等的条件． 【答案】A

7．(2012中考预测题)如图所示，已知线段a、h，求作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是

(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；(3)在直线MN上截取线段h；(4)连接AB、AC，△ABC为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是( ) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) 【解析】第(3)步错在没说明怎样截取线段h. 【答案】C

8．(2010中考变式题)将直角三角形分割成四个小三角形，使得每个三角形与原直角三角形相似．下列分法错误的是( ) 【解析】B、C、D三个选项满足分割的条件． 【答案】A

9．(2012中考预测题)如图，边长为1个单位的6×6的网格中，已知线段AB，找格点C，使S△ABC＝2平方单位，则这样的C点共有( ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【解析】用尺规去画图可得C点共7个，故选D. 【答案】D

10．(2011·深圳)下列命题是真命题的个数有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解析】①中未强调过半径外端点，是假命题；②未说明被平分的弦不是直径，因为两条直径一定互相平分，但不一定互相垂直，②是假命题；只有③④是真命题． 【答案】B

二、填空题(每小题5分，共5分)

【答案】8

三、解答题(共45分) 12．(10分)(2011·新疆)请判断下列命题是否正确？如果正确，请给出证明；如果不正确，请举出反例． (1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (2)一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形． 【答案】(1)正确．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：连接AC、BD交于O点． ∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵AB＝CD，∴△AOB≌△COD， ∴OA＝OC，OB＝OD 证明：连接AC、BD交于O点． ∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵AB＝CD，∴△AOB≌△COD， ∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB， ∴∠5＝∠6，∴AD∥BC. 又AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.

(2)不正确．如图所示，CD垂直平分AB，则有OA＝OB，∠CAD＝∠CBD，但四边形ADBC不是平行四边形．

13．(11分)(2011·重庆)为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如右图所示．请在答题卷的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)．

【答案】解：如图所示，则点M即为所求．

14．(12分)(2011·新疆)如图所示，在△ABC中，∠A＝90° 14．(12分)(2011·新疆)如图所示，在△ABC中，∠A＝90°. (1)用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1(保留作图痕迹)； (2)若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1. 【答案】解：(1)如图，△AB1C1即为所求作的图形．

15．(12分)(2011·哈尔滨)如下图所示，图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上． (1)在图①中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC的面积为5，且△ABC中有一个角为45°(画一个即可)；

(2)在图②中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD的面积为5，且∠ADB＝90°(画一个即可)． 【答案】解：如图所示．