机器人运动学 2005年3月24日
运动学正问题 杆件参数的意义 坐标系的建立原则 杆件坐标系间的变换过程-相邻关节坐标系的齐次变换 机器人的运动学方程
杆件参数的意义- 和 关节i轴线与i+1轴线在垂直于li平面内的夹角 li 关节Ai轴和Ai+1轴线公法线的长度 杆件参数的意义- 和 串联关节，每个杆件最多与2个杆件相连，如Ai与Ai-1和 Ai+1相连。由运动学的观点来看，杆件的作用仅在于它能保持其两端关节间的形态不变。这种形态由两个参数决定，一是杆件的长度 li（ ），一个是杆件的扭转角 Ai+1 li 关节Ai轴和Ai+1轴线公法线的长度 关节i轴线与i+1轴线在垂直于li平面内的夹角 Ai
杆件参数的意义- 和 是从第i-1坐标系的原点到Zi－１轴和Ｘi轴的交点沿Ｚi-1轴测量的距离 杆件参数的意义- 和 确定杆件相对位置关系，由另外2个参数决定，一个是杆件的距离： ，一个是杆件的回转角： Ai+1 是从第i-1坐标系的原点到Zi－１轴和Ｘi轴的交点沿Ｚi-1轴测量的距离 绕 Zi-1轴由Ｘi-1 轴转向Ｘi轴的关节角 Ai Ai-1
坐标系的建立原则 Ai+1 为右手坐标系 原点Oi：设在Li与Ai+1轴线的交点上 Zi轴：与Ai+1关节轴重合，指向任意 Ai Xi轴：与公法线Li重合，指向沿Li由Ai轴线指向Ai+1轴线 Yi轴：按右手定则 Ai Ai-1 Li —沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到 0i 的距离 αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至∑0i –1 坐标系原点的距离 θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
杆件坐标系间的变换过程 -相邻关节坐标系的齐次变换 杆件坐标系间的变换过程 -相邻关节坐标系的齐次变换 将xi-1轴绕zi-1轴转i 角度，将其与xi轴平行； 沿zi-1轴平移距离di ，使zi-1轴与zi轴重合； 沿xi轴平移距离Li，使两坐标系原点及x轴重合； 绕xi 轴转i角度，两坐标系完全重合．
D-H变换矩阵 机器人的运动学方程
运动学逆问题 多解性，剔除多余解原则 可解性 根据关节运动空间合适的解 选择一个与前一采样时间最接近的解 根据避障要求得选择合适的解 逐级剔除多余解 可解性 所有具有转动和移动关节的系统，在一个单一串联中总共有6个（或小于6个）自由度时，是可解的，一般是数值解，它不是解析表达式，而是利用数值迭代原理求解，它的计算量要比解析解大 如若干个关节轴线相交和或多个关节轴线等于0或90°的情况下，具有6个自由度的机器人可得到解析解
例题： 在机器人工作台上加装一电视摄像机，摄像机可见到固联着6DOF关节机器人的机座坐标系原点，它也可以见到被操作物体（立方体）的中心，如果在物体中心建一局部坐标系，则摄像机所见到的这个物体可由齐次变换矩阵T1来表示，如果摄像机所见到的机座坐标系为矩阵T2表示。 x y z 试求立方体中心在机座坐标系∑0中的位置 该手爪从上方把物体抓起，同时手爪的开合方向与物体的Y轴同向，那么，求手爪相对于∑0的姿态是什么？
解1： 因此物体位于机座坐标系的（11，10，1）T处，它的X，Y，Z轴分别与机座坐标系的 -Y，X，Z轴平行。
解2：
机器人末端操作器位姿的其它描述方法 用矩阵表示刚性体的转动简化了许多运算，但它需要9个元素来完全描述旋转刚体的姿态，因此矩阵并不直接得出一组完备的广义坐标。 一组广义坐标应能描述转动刚体相对于参考坐标的方向，被称为欧拉角的三个角度，φ、θ、ψ就是这种广义坐标。 有几种不同的欧拉角表示方法，它们均可描述刚体相对于固定参考系的姿态三种最常见的欧拉角类型列在表中
3种最常见的欧拉角类型 类型1：表示法通常用于陀螺运动 x(u) y (v) z (w) o u׳׳׳ ③ v׳׳׳ θ u" v" w" 步1 步2 步3 类型1 绕OZ轴转φ角 绕当前OU' 轴转θ角 绕当前OW″轴转ψ角 类型2 绕当前OV '轴转θ角 类型3 绕OX轴转φ角 绕OY轴转θ角 绕OZ轴转ψ角 类型1：表示法通常用于陀螺运动 x(u) y (v) z (w) o u׳׳׳ ③ ψ v׳׳׳ W׳׳׳ θ u" v" w" ② φ u′ v′ w′ ①
类型2：所得的转动矩阵为右乘
类型3：一般称此转动的欧拉角为侧倾，府倾和偏转角，这种形 式主要用于航空工程中分析飞行器的运动，其旋转矩阵为（这种方法也叫做侧倾，府倾和偏转角表示方法）
解：
斯坦福机器人运动学逆问题解
式中： 由两端矩阵对应元素相等可得：
作三角变换： 式中： 得到： 即有： （ ）
由1, 4和2, 4元素对应相等，得：
式中第四列：
式中第三列：