第10章 含有耦合电感的电路 重点 1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.空心变压器和理想变压器

10.1 互感 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。 + – u11 u21 i1 11  21 N1 N2 1. 互感 线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为互感磁通。两线圈间有磁的耦合。

注 定义 ：磁链 (magnetic linkage)， =N 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，与i 成正比,当只有一个线圈时： 当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和： （1）M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足M12=M21 注 （2）L总为正值，M值有正有负.

2. 耦合系数 (coupling coefficient) 用耦合系数k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。 当 k=1 称全耦合: 漏磁 F s1 =Fs2=0 即 F11= F21 ，F22 =F12 一般有： 耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关 利用——变压器：信号、功率传递 互感现象 避免——干扰 克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。

3. 耦合电感上的电压、电流关系 当i1为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。 当i1、u11、u21方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感应定律和楞次定律： 自感电压 互感电压 当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：

注 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正， 否则取负。表明互感电压的正、负： （1）与电流的参考方向有关。 （2）与线圈的相对位置和绕向有关。 注

4.互感线圈的同名端 u11 对自感电压，当u, i 取关联参考方向，u、i与符合右螺旋定则，其表达式为 i1 上式 说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。 对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端的概念。

* 同名端 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。 + – u11 u21 11  0 N1 N2 u31 N3  s i1 * i2 i3  △ 注意：线圈的同名端必须两两确定。

例  i 1 1' 2 2' 确定同名端的方法： (1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电流产生的磁场相互增强。 * 3' 3  *  * * *   (2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。

当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。 i 1 1' 2 2' R S 同名端的实验测定： * V + –  *  如图电路，当闭合开关S时，i增加， 电压表正偏。 当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。

i1 * u21 + – M i1 * u21 – + M 由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。 i1 * u21 + – M i1 * u21 – + M

例 i1 * L1 L2 + _ u1 u2 i2 M i1 * L1 L2 + _ u1 u2 i2 M 写出图示电路电压、电流关系式

例 i1 * L1 L2 + _ u2 M R1 R2 u 2 1 10 i1/A t/s 解

10.2 含有耦合电感电路的计算 * 1. 耦合电感的串联 i M u2 + – R1 R2 L1 L2 u1 u （1） 顺接串联 i R 10.2 含有耦合电感电路的计算 1. 耦合电感的串联 i M * u2 + – R1 R2 L1 L2 u1 u （1） 顺接串联 i R L u + – 去耦等效电路

i R L u + – （2） 反接串联 i M * u2 + – R1 R2 L1 L2 u1 u 互感不大于两个自感的算术平均值。

互感的测量方法： 顺接一次，反接一次，就可以测出互感： 全耦合时 当 L1=L2 时 , M=L 4M 顺接 0 反接 L=

+ – R1 R2 j L1 j L2 j M * 在正弦激励下：   + – 相量图： (b) 反接 (a) 顺接

2. 耦合电感的并联 i = i1 +i2 * M i2 i1 L1 L2 u i + – （1） 同侧并联 解得u, i 的关系： （1） 同侧并联 i = i1 +i2 解得u, i 的关系： 等效电感：

i = i1 +i2 如全耦合：L1L2=M2 当 L1L2 ，Leq=0 (物理意义不明确) L1=L2 ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变) * M i2 i1 L1 L2 u i + – （2） 异侧并联 i = i1 +i2 解得u, i 的关系： 等效电感：

3.耦合电感的T型等效 （1） 同名端为共端的T型去耦等效 j(L1-M) 1 2 3 jM j(L2-M) * jL1 1 2 3

（2） 异名端为共端的T型去耦等效 j(L1＋M) 1 2 3 －jM j(L2＋M) * jL1 1 2 3 jL2 j M

* M i2 i1 L1 L2 u + – * M i2 i1 L1 L2 u i + – j(L1－M) jM j(L2－M) j(L1－M) jM j(L2－M)

4. 受控源等效电路 * M i2 i1 L1 L2 u + – j L1 j L2 + –

例 解 M=4H 6H 2H 3H 5H a b M=1H M=3H 6H 2H 0.5H 4H a b 9H 2H 0.5H 7H a b Lab=6H Lab=5H

* 5. 有互感的电路的计算 例1 (1) 有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的 相量分析的方法均适用。 (2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感 电压。 (3) 一般采用支路法和回路法计算。 例1 列写下图电路的回路电流方程。 M uS + C － L1 L2 R1 R2 * ki1 i1

M uS + C － L1 L2 R1 R2 * ki1 i1 解 2 1 3

例2 求图示电路的开路电压。 M12 + _ *   M23 M31 L1 L2 L3 R1 解1

解2 作出去耦等效电路，(一对一对消): M12 *  M23 M13 L1 L2 L3 * M23 M13 L1–M12 L2–M12   M23 M13 L1 L2 L3 *  M23 M13 L1–M12 L2–M12 L3+M12 L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13 L3+M12–M23 –M13 L1–M12 +M23 L2–M12 –M23 L3+M12 –M23  M13

L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13 L3+M12–M23 –M13 R1 + – _

* 例3 解 i 要使i=0，问电源的角频率为多少？ Z R C － L1 L2 M uS + L1 L2 C R + – M Z L1－M

10.3 空心变压器 变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。 1. 空心变压器电路 * j L1 j L2 j M + – R1 R2 Z=R+jX 副边回路 原边回路

令 Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X) * j L1 j L2 j M + – R1 R2 Z=R+jX 2. 分析方法 （1） 方程法分析 回路方程： 令 Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)

（2） 等效电路法分析 + – Z22 + – Z11 原边等效电路 副边等效电路

Zl= Rl+j Xl + – 原边等效电路 副边对原边的引入阻抗。 引入电阻。恒为正 , 表示副边回路吸收的功率是靠原边供给的。 引入电抗。负号反映了引入电抗与付边电抗的性质相反。

I12R1 消耗在原边； I12Rl 消耗在付边，由互感传输。 证明 引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。 从能量角度来说 : 电源发出有功 P= I12(R1+Rl) I12R1 消耗在原边； I12Rl 消耗在付边，由互感传输。 证明

利用戴维宁定理可以求得空心变压器副边的等效电路 。 + – Z22 副边开路时， 原边电流在副边产 生的互感电压。 原边对副边的引入阻抗。 副边等效电路 利用戴维宁定理可以求得空心变压器副边的等效电路 。 （3） 去耦等效法分析 对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电路，再进行分析。

例1 * 解 已知 US=20 V , 原边引入阻抗 Zl=10–j10. 求: ZX 并求负载获得的有功功率. + – 解： 此时负载获得的功率： 实际是最佳匹配：

L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=20W , R2=0.08W , 例2 * j L1 j L2 j M + – R1 R2 RL RL=42W , w =314rad/s, 解1 应用原边等效电路 + – Z11

+ – Z22 解2 应用副边等效电路

例3 * 解1 解2 全耦合互感电路如图，求电路初级端ab间的等效阻抗。 + – a b L1 a b L2 画出去耦等效电路 L2－M

例4 解1 L1=L2=0.1mH , M=0.02mH , R1=10W , C1=C2=0.01F , w =106rad/s, * j L1 j L2 j M + – R1 C2 R2 C1 w =106rad/s, 问：R2=？能吸收最大功率, 求最大功率。 + – 10 解1 应用原边等效电路 当 R2=40时吸收最大功率

解2 例5 应用副边等效电路 + – 当 时吸收最大功率 + 图示互感电路已处于稳态，t=0时开关打开， u2 R2 解2 应用副边等效电路 当 时吸收最大功率 * 0.2H 0.4H M=0.1H + – 10 40V u2 － 5 例5 图示互感电路已处于稳态，t=0时开关打开， 求t >0+时开路电压u2(t)。

解 i 副边开路，对原边回路无影响，开路电压u2(t)中只有互感电压。先应用三要素法求电流i(t). + – u2 － 10 10 * 0.2H 0.4H M=0.1H + – 10 40V u2 － 5 10 i

* 例6 解 uS(t) 问Z为何值时其上获得最大功率，求出最大功率。 ＋ － Z 100  C L1 L2 M （1）判定互感线圈的同名端。 * 解 （2）作去耦等效电路 j100 －j20 j20 100 j(L-20) － ＋ j100 100 j(L-20) － ＋

j100 100 j(L-20) － ＋ uoc j100 100 j(L-20) ＋ － uoc

10.4 理想变压器 理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。 1.理想变压器的三个理想化条件 线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的磁导率无限大。 （1）无损耗 （2）全耦合 （3）参数无限大 以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。

 i 1 1' 2 2' 2.理想变压器的主要性能 N1 N2 （1）变压关系 * n:1 + _ u1 u2 理想变压器模型 * n:1 若

i1 * L1 L2 + _ u1 u2 i2 M n:1 （2）变流关系 理想变压器模型 考虑到理想化条件： 若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：

（3）变阻抗关系 * + – n : 1 Z + – n2Z 理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。 注

表明： i1 i2 （4）功率性质 n : 1 u1 u2 （a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。 * + – n : 1 u1 i1 i2 u2 （4）功率性质 （a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。 表明： （b）理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。

已知电源内阻RS=1k，负载电阻RL=10。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比n。 例1 * n : 1 RL + – uS RS n2RL + – uS RS 当 n2RL=RS时匹配，即 应用变阻抗性质 10n2=1000  n2=100， n=10 .

例2 * + – 1 : 10 50 1 方法1：列方程 解得

方法2：阻抗变换 + – 1 方法3：戴维南等效 * + – 1 : 10 1

求Req： Req * 1 : 10 1 Req=1021=100 戴维南等效电路： + – 100 50

例3 理想变压器副边有两个线圈，变比分别为5:1和6:1。 求原边等效电阻R。 5 : 1 4 5 6 : 1 把次级线圈看作串联 + * + – 5 : 1 4 6 : 1 5 把次级线圈看作串联

* + – 5 : 1 4 6 : 1 5 把次级线圈看作并联

例4 解 n=0.5 or n=0.25 已知图示电路的等效阻抗Zab=0.25，求理想变压器的变比n。 1.5 n : 1 + * n : 1 1.5 10 － + 解 应用阻抗变换 外加电源得： + – + – 1.5 n=0.5 or n=0.25

求电阻R 吸收的功率 例5 解 应用回路法 * + – 1 : 10 1 R=1 3 1 2 解得

* + – n1 : 1 R1 n2 : 1 R2 R3 a b 例6 求入端电阻Rab 解

1.理想变压器(全耦合，无损，m= 线性变压器) 10.5 实际变压器的电路模型 实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合， k 1。且 L1，M，L2 , 。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还常用含有理想变压器的电路模型来表示。 1.理想变压器(全耦合，无损，m= 线性变压器) i1 * + _ u1 u2 i2 n:1 理想变压器模型

2.全耦合变压器(k=1，无损 ，m， 线性) * j L1 j L2 j M + – 由于全耦合，所以仍满足： 又因 * j L1 + – n : 1 理想变压器 （空载激磁电流） L1：激磁电感 (magnetizing inductance ) 全耦合变压器的等值电路图

3.无损非全耦合变压器(忽略损耗，k1，m 线性) 21 i1 i2 + – u1 u2 12 1s 2s N1 N2 线圈中的磁通看成是漏磁通加全耦合磁通，即： 全耦合 磁通 在线性情况下，有：

4. 有损耗的非全耦合变压器(k1，m， 线性) 由此得无损非全耦合变压器的电路模型： * L1 + – n : 1 L1S L2S i1 u1 u2 i2 u1' u2' L1S, L2S：漏电感 (leakage inductance) 全耦合变压器 4. 有损耗的非全耦合变压器(k1，m， 线性) * L1 + – n : 1 L1S L2S i1 u1 u2 i2 Rm R1 R2 考虑了导线和铁芯损耗

以上是在线性情况下讨论实际变压器。实际上铁心变压器由于铁磁材料 B–H特性的非线性, 初级和次级都是非线性元件，原本不能用线性电路的方法来分析计算，但漏磁通是通过空气闭合的，认为漏感LS1，LS2 基本上是线性的，磁化电感L1虽是非线性的，但其值很大，并联在电路上只取很小的电流影响很小，电机学中常用这种等值电路。

例 解 图示为全耦合变压器，求初级电流和输出电压。 做全耦合变压器等效电路 j2 k=1 j8 8 j2 n : 1 8 j2 * j2 k=1 + – j8 8 * j2 + – n : 1 8 j2 + – 2