向量数乘运算及几何意义
= + A B C D
(- ) - (- ) + ＝ (- ) A B C D
思考1：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？ 与 分别有什么关系？ A B C D M
对于任意一个三角形， 三角形的三条高的交点叫做垂心， 三角形的三条中线的交点所为重心， 三角形的三条角平分线的交点叫内心， 三角形的三条中垂线的交点叫外心
思考1：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？ 与 分别有什么关系？ A B C D M
一、向量的数乘运算的定义： 注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向
= (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。 =
二、数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方 向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍. 当 ,沿 的反方向放大了 倍.当 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出 用数乘向量能解决几何中的相似问题.
三、向量的数乘运算满足如下运算律： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例1：计算下列各式
思考2：若存在实数λ，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？ 思考3：如图，若P为AB的中点，则 与 、 的关系如何？ A B P O
三、定理 向量 与非零向量 共线 有且仅有一个实数 ，使得 ． 例2.如图：已知 ， ， 试判断 与 是否共线． 解： ∴ 与 共线．
例3： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 三点共线。 提示：设AB = a BC = b 则MN= … = a + b MC= … = a+ b
基础知识反馈 B C (1). 设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ). A. C. B. D. (2). A.1个 B.2个 设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ). B A. C. B. D. (2). C 下列四个说法正确的个数有( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
例4:若 其中 , 是已知向量,求 ， 分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得 解：记 ①， ② 3②得 ③ ①-③得
o B A 问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化? 例5 如图所示，已知 说明 向量 与 的关系． 解： 因为 如图所示，已知 说明 向量 与 的关系． o A B 解： 因为 所以， 与 共线同方向，长度是 的3倍 问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化?
反馈演练： 1. 在 中,设D为边ＢＣ的中点,求证: 解：因为 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ （２） 所以，所证等式成立
Ａ 解2: Ｂ Ｃ Ｄ E 过点B作BE,使 连接CE 则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点. 由向量加法平行四边形法则有
如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取 点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用 . 例6: 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取 点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用 . E C O D B A 分析: 解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。 解：因为A是BC的中点，所以
练习 (1) A （ C ） B D C (2) 在平行四边形ABCD中, ,M为BC的 中点,则 等于＿＿＿＿＿＿ 分析:由 所以
课堂小结： ②向量共线定理 (a≠0) b=λa 向量a与b共线 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD